小學(xué)奧數(shù)26數(shù)的進(jìn)制

小學(xué)奧數(shù)26數(shù)的進(jìn)制小學(xué)奧數(shù)26數(shù)的進(jìn)制小學(xué)奧數(shù)26數(shù)的進(jìn)制小學(xué)奧數(shù)26數(shù)的進(jìn)制編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:2.8數(shù)的進(jìn)制2.8.1相關(guān)概念同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行整數(shù)四則計(jì)算時(shí)，用的都是十進(jìn)制即“滿(mǎn)10進(jìn)一”，對(duì)于其他進(jìn)制則感到陌生。實(shí)際上，你只要留惦一下，在我們?nèi)粘Ｉ钪校粌H使用十進(jìn)制還使用其他許多進(jìn)制呢！你信不信？我舉一些例子。

兩只襪子為一雙，兩只水桶為一對(duì)，這里使用的是二進(jìn)制；十二支鉛筆為一打，十二個(gè)月算一年，這里使用的是十二進(jìn)制；六十秒是一分，六十分是一時(shí)，這里使用的是六十進(jìn)制；二十四時(shí)為一天，這里使用的是二十四進(jìn)制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等于一平方分米，這里使用的是一百進(jìn)制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，這里使用的是一千進(jìn)制；……。怎么樣？實(shí)際上還可以發(fā)現(xiàn)更多的這樣的例子。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的使用日益普遍，每位同學(xué)可能都使用過(guò)電子計(jì)算器吧？可是你們要知道，計(jì)算器內(nèi)部進(jìn)行的計(jì)算就使用的是二進(jìn)制數(shù)。我們經(jīng)常和計(jì)算器打交道，應(yīng)該懂一些二進(jìn)制數(shù)方面的知識(shí)。

1、什么叫二進(jìn)制所謂二進(jìn)制，就是只用0與1兩個(gè)數(shù)字，在計(jì)數(shù)與計(jì)算時(shí)必須是“滿(mǎn)二進(jìn)一”。即每?jī)蓚€(gè)相同的單位組成一個(gè)和它相鄰的較高的單位（所以任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)只需用“0”與“1”表示就夠了）。例如：2在二進(jìn)制中是10；3寫(xiě)成二進(jìn)制是11；4寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)便是100，那么5呢？應(yīng)該是101。

同學(xué)們按照“逢二進(jìn)一”（或“滿(mǎn)二進(jìn)一”）的法則，很容易得到以下兩種進(jìn)制的數(shù)字的對(duì)照表：表1十進(jìn)制二進(jìn)制十進(jìn)制二進(jìn)制12345678110111001011101111000910111213141516100110101011110011011110111110000二進(jìn)制的優(yōu)缺點(diǎn)二進(jìn)制的最大優(yōu)點(diǎn)是：每個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上只有兩種狀態(tài)——0或1。這樣，我們便可以通過(guò)簡(jiǎn)單的方法，例如白與黑、虛與實(shí)、負(fù)與正、點(diǎn)與劃、小與大、暗與亮（在計(jì)算機(jī)中主要用電壓的高與低）等等手段加以表示。下表中列出了在二進(jìn)制中13的幾種不同表示方法。表20與1白與黑虛與實(shí)負(fù)與正點(diǎn)與劃小與大１１０１●●○●－－…－＋＋－＋――·－○○о○當(dāng)然，二進(jìn)制也有不足，正如大家看到的那樣，同一個(gè)數(shù)和在二進(jìn)制中要比在十進(jìn)制中位數(shù)多得多。2.8.2二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制為了敘述的方便，我們約定：用（）2表示括號(hào)內(nèi)寫(xiě)的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，如（1011）2；用（）10表示括號(hào)中寫(xiě)的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如（37）10。步驟：將二進(jìn)制數(shù)的各數(shù)位上數(shù)字改寫(xiě)成相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)；將各數(shù)位上對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)求和，所得結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。例1將（10110）2改成十進(jìn)制數(shù)在表1中可以看到：二進(jìn)制數(shù)10表示十進(jìn)制數(shù)2；二進(jìn)制數(shù)100，表示十進(jìn)制數(shù)4；二進(jìn)制數(shù)1000，表示十進(jìn)制數(shù)8；二進(jìn)制數(shù)10000表示十進(jìn)制數(shù)16；…；可以看出規(guī)律；二進(jìn)制數(shù)100000應(yīng)該表示十進(jìn)制數(shù)32，…。那么我們寫(xiě)下一個(gè)二進(jìn)制數(shù)10110，則應(yīng)表示它含有一個(gè)16，一個(gè)4與一個(gè)2，也就是（10110）2＝1×16＋0×8＋1×4＋1×2＋0×1=（22）10例2將（101101）2改成十進(jìn)制數(shù)。（101101）2=1×32+0×16+1×8+1×4+0×2+1×1=（45）102.8.3十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制271……1235271……1235……1217……128……024……022……01……1例如要將（71）10寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)，參見(jiàn)右式。我們將71除以2，余數(shù)1相應(yīng)寫(xiě)在右邊（如果除盡，余數(shù)則寫(xiě)0）；再將商35除以2，余數(shù)1相應(yīng)寫(xiě)在右邊；再將這步的商17除以2，重復(fù)上述過(guò)程，直到商等于1為止。并且最后一步的商“1”也寫(xiě)到右邊余數(shù)那一列的最下面。最后將這列余數(shù)由下到上寫(xiě)成一行數(shù)，這行數(shù)便是（71）10的二進(jìn)制數(shù)表示法。即（71）10＝（1000111）2例2：把十進(jìn)制數(shù)38改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。238……238……0數(shù)“滿(mǎn)二進(jìn)219……1一219……1為止，把29……29……1制數(shù)，24……01024……01011……122……0即：38（10）=100110（2）2.8.4二進(jìn)制的四則運(yùn)算二進(jìn)制四則運(yùn)算和十進(jìn)制四則運(yùn)算原理相同，所不同的是十進(jìn)制有十個(gè)數(shù)碼，“滿(mǎn)十進(jìn)一”，二進(jìn)制只有兩個(gè)數(shù)碼0和1，“滿(mǎn)二進(jìn)一”。二進(jìn)制運(yùn)算口訣則更為簡(jiǎn)單。2.8.4.1加法二進(jìn)制加法，在同一數(shù)位上只有四種情況：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10。只要按從低位到高位依次運(yùn)算，“滿(mǎn)二進(jìn)一”，就能很容易地完成加法運(yùn)算。例1二進(jìn)制加法（1）10110＋1101；（2）1110＋101011。解加法算式和十進(jìn)制加法一樣，把右邊第一位對(duì)齊，依次相應(yīng)數(shù)位對(duì)齊，每個(gè)數(shù)位滿(mǎn)二向上一位進(jìn)一。10110＋1101＝1000111110＋101011＝111001通過(guò)計(jì)算不難驗(yàn)證，二進(jìn)制加法也滿(mǎn)足“交換律”，如101＋1101＝1101＋101＝10010。多個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再把所得結(jié)果依次與下一個(gè)加數(shù)相加。例2二進(jìn)制加法（1）101＋1101＋1110；（2）101＋（1101＋1110）。解（1）101＋1101＋1110（2）101＋（1101＋1110）＝10010＋1110＝101＋11011＝100000；＝100000從例2的計(jì)算結(jié)果可以看出二進(jìn)制加法也滿(mǎn)足“結(jié)合律”。2.8.4.2減法二進(jìn)制減法也和十進(jìn)制減法類(lèi)似，先把數(shù)位對(duì)齊，同一數(shù)位不夠減時(shí)，從高一位借位，“借一當(dāng)二”。例3二進(jìn)制減法（1）11010－11110；（2）10001－1011。解（1）110101－11110＝10111；（2）10001－1011＝110。例4二進(jìn)制加減混合運(yùn)算（1）110101＋1101－11111；（2）101101－11011＋11011。解（1）110101＋1101－11111＝1000010－11111＝100011（2）101101－11011＋11011＝10011＋11011＝101101。2.8.4.3乘法二進(jìn)制只有兩個(gè)數(shù)碼0和1，乘法口訣只有以下幾條：0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1概括成口訣：零零得零，一零得零，一一得一。二進(jìn)制乘法算式和十進(jìn)制寫(xiě)法也一樣。例5二進(jìn)制乘法（1）1001×101；（2）11001×1010。解（1）1011×101＝110111；（2）11001×1010＝11111010。例6二進(jìn)制運(yùn)算（1）101×1101；（2）1101×101；（3）（101＋11）×1010；（4）101×1010＋11×1010。解（1）（2）101×1101＝1000001；1101×101＝1000001；（3）（101＋11）×1010＝1010000；（4）101×1010＋11×1010＝1010000從例6的計(jì)算結(jié)果可以看出，二進(jìn)制乘法滿(mǎn)足“交換律”；乘法對(duì)加法也滿(mǎn)足“分配律”。對(duì)這一結(jié)論，大家還可以進(jìn)行多次驗(yàn)證。2.8.4.4除法除法是乘法的逆運(yùn)算，二進(jìn)制除法和十進(jìn)制除法也一樣，而且更簡(jiǎn)單，每一位商數(shù)不是0，就是1。例7二進(jìn)制除法（1）10100010÷1001；（2）10010011÷111。解（1）（2）1010