相似三角形知識點

相似三角形知識點與經(jīng)典題型知識點1有關(guān)相似形的概念(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.(2)如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比(相似系數(shù))．知識點2比例線段的相關(guān)概念（1）如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€段比時，線段單位要統(tǒng)一。（2）在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項，那么應(yīng)得比例式為：．=2\*GB3②a、d叫比例外項，b、c叫比例內(nèi)項,a、c叫比例前項，b、d叫比例后項，d叫第四比例項，如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中項，此時有。（3）黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，即，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，其中≈0.618．即簡記為：知識點3比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）（1）基本性質(zhì)：①；②．注：由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如，除了可化為，還可化為，，，，，，．（2）更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項)：（3）反比性質(zhì)(把比的前項、后項交換)：．（4）合、分比性質(zhì)：．注：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：等等．（5）等比性質(zhì)：如果，那么．注：①此性質(zhì)的證明運用了“設(shè)法”（即引入新的參數(shù)k）這樣可以減少未知數(shù)的個數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計算變形中一種常用方法．②應(yīng)用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零．③可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．知識點4比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.由DE∥BC可得：注：①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例.②三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.③平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線段時，輔助線往往做平行線,但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。知識點5相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”．相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))．相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．注：①對應(yīng)性：即兩個三角形相似時，一定要把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊．②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．③兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．=4\*GB3④全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例．知識點6三角形相似的等價關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1)相似三角形的等價關(guān)系：①反身性：對于任一有∽．②對稱性：若∽，則∽．③傳遞性：若∽，且∽，則∽(2)三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．定理的基本圖形：用數(shù)學(xué)語言表述是：，∴∽．知識點7三角形相似的判定方法1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。知識點8相似三角形常見的圖形1、下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為“平行線型”的相似三角形（有“A型”與“X型”圖）(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：（1）若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；（3）滿足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）當(dāng)或AD·AB=AC·AE時，△ADE∽△ACB．知識點9：全等與相似的比較：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對應(yīng)相等(ASA)

兩角一對邊對應(yīng)相等(AAS)

兩邊及夾角對應(yīng)相等(SAS)

三邊對應(yīng)相等(SSS)

直角三角形中一直角邊與斜邊對應(yīng)相等(HL)相似判定的預(yù)備定理

兩角對應(yīng)相等

兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等

三邊對應(yīng)成比例

直角三角形中斜邊與一直角邊對應(yīng)成比例知識點10相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．注：相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等．知識點11相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法

1、證明四條線段成比例的常用方法：

(1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預(yù)備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系

2、證明題常用方法歸納：（1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似”

(2)找相似：通過“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共各有三個不同的字母，并且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個三角形相似，然后由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.

(3)找中間比：若沒有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共有四個字母或者三個字母，但這幾個字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。①②③(4)添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相