陜西省西安市新城區(qū)西安中學2022年高一數學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學年高一上數學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．若函數的定義域為，滿足：①在內是單調函數；②存在區(qū)間，使在上的值域為，則稱函數為“上的優(yōu)越函數”．如果函數是“上的優(yōu)越函數”，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.2．若，則下列不等式成立的是().A. B.C. D.3．已知銳角終邊上一點A的坐標為,則的弧度數為（）A.3 B.C. D.4．圓關于直線對稱的圓的方程為A. B.C. D.5．定義在上的函數滿足，當時,,當時,.則=（）A.338 B.337C.1678 D.20136．已知集合，則（）A. B.或C. D.或7．△ABC的內角、、的對邊分別為、、,若,,,則（）A. B.C. D.8．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則AB中元素的個數為A.1 B.2C.3 D.49．設θ為銳角，，則cosθ=（）A. B.C. D.10．函數（且）與函數在同一個坐標系內的圖象可能是A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．設函數，則__________12．若，則實數的值為______.13．已知函數①當a=1時，函數的值域是___________；②若函數的圖像與直線y=1只有一個公共點，則實數a的取值范圍是___________14．設，且，則的取值范圍是________.15．兩條平行直線與的距離是__________三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．記不等式的解集為A，不等式的解集為B.（1）當時，求；（2）若，求實數a的取值范圍.17．已知函數，.（1）用函數單調性的定義證明：是增函數；（2）若，則當為何值時，取得最小值？并求出其最小值.18．已知有半徑為1，圓心角為a（其中a為給定的銳角）的扇形鐵皮OMN，現利用這塊鐵皮并根據下列方案之一，裁剪出一個矩形.方案1：如圖1，裁剪出的矩形ABCD的頂點A，B在線段ON上，點C在弧MN上，點D在線段OM上；方案2：如圖2，裁剪出的矩形PQRS的頂點P，S分別在線段OM，ON上，頂點Q，R在弧MN上，并且滿足PQ∥RS∥OE，其中點E為弧MN的中點.（1）按照方案1裁剪，設∠NOC=，用表示矩形ABCD的面積S1，并證明S1的最大值為；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面積S2的最大值，并與（1）中的結果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.19．已知函數（且）的圖像經過點.（1）求函數的解析式；（2）若，求實數的取值范圍.20．某市郊區(qū)有一加油站，2018年初汽油的存儲量為50噸，計劃從年初起每周初均購進汽油噸，以滿足城區(qū)內和城外汽車用油需求，已知城外汽車用油每周5噸；城區(qū)內汽車用油前個周需求量噸與的函數關系式為，為常數，且前4個周城區(qū)內汽車的汽油需求量為100噸.（1）試寫出第個周結束時，汽油存儲量（噸）與的函數關系式；（2）要使16個周內每周按計劃購進汽油之后，加油站總能滿足城區(qū)內和城外的需求，且每周結束時加油站的汽油存儲量不超過150噸，試確定的取值范圍.21．已知.（1）化簡；（2）若α＝－，求f(α)的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、D【解析】由于是“上的優(yōu)越函數”且函數在上單調遞減，由題意得，，問題轉化為與在時有2個不同的交點，結合二次函數的性質可求【詳解】解：因為是“上的優(yōu)越函數”且函數在上單調遞減，若存在區(qū)間，使在上的值域為，由題意得，，所以，，即與在時有2個不同的交點，根據二次函數單調性質可知，即故選：D2、B【解析】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴故選B3、C【解析】先根據定義得正切值，再根據誘導公式求解【詳解】由題意得，選C.【點睛】本題考查三角函數定義以及誘導公式，考查基本分析化簡能力，屬基礎題.4、A【解析】由題意得，圓心坐標為，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，所以對稱圓方程為考點：點關于直線的對稱點；圓的標準方程5、B【解析】,,即函數是周期為的周期函數.當時,,當時,.,,故本題正確答案為6、C【解析】直接利用補集和交集的定義求解即可.【詳解】由集合，可得：或，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本該考查了集合的運算，解決該題的關鍵是掌握補集和交集的定義..7、C【解析】由已知利用余弦定理可求的值,利用等腰三角形的性質可求的值.【詳解】解：∵,,,∴由余弦定理可得,求得：c＝1.∴∴.故選：C.【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中應用,屬于基礎題.8、B【解析】由題意可得，故中元素的個數為2，所以選B.【名師點睛】集合基本運算的關注點：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決(3)注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖9、D【解析】為銳角，故選10、C【解析】利用指數函數和二次函數的性質對各個選項一一進行判斷可得答案.【詳解】解：兩個函數分別為指數函數和二次函數，其中二次函數的圖象過點，故排除A，D；二次函數的對稱軸為直線，當時，指數函數遞減，，C符合題意；當時，指數函數遞增，，B不合題意，故選C【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查指數函數、二次函數的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、【解析】先根據2的范圍確定表達式，求出；后再根據的范圍確定表達式，求出.【詳解】因為，所以，所以.【點睛】分段函數求值問題，要先根據自變量的范圍，確定表達式，然后代入求值．要注意由內而外求值，屬于基礎題.12、【解析】由指數式與對數式的互化公式求解即可【詳解】因為，所以，故答案為：13、①.（－∞，1]②.（－1，1]【解析】①分段求值域，再求并集可得的值域；②轉化為＝在上與直線只有一個公共點，分離a求值域可得實數a的取值范圍【詳解】①當a＝1時，即當x≤1時，，當x＞1時，，綜上所述當a＝1時，函數的值域是，②由無解，故＝在上與直線只有一個公共點，則有一個零點，即實數的取值范圍是.故答案為：；.14、【解析】由題意得，，又因為，則的取值范圍是15、【解析】直線與平行，，得，直線，化為，兩平行線距離為，故答案為.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）【解析】（1）分別求出集合，再求并集即可.（2）分別求出集合和的補集，它們的交集不為空集，列出不等式求解.【詳解】（1）當時，的解為或（2）a的取值范圍為17、證明詳見解析；（2）時，的最小值是.【解析】（1）根據函數單調性定義法證明，定義域內任取，且，在作差，變形后判斷符號，證明函數的單調性；（2）首先根據函數的定義域求的范圍，再根據基本不等式求最小值.【詳解】（1）證明：在區(qū)間任取，設，，，，，即，所以函數在是增函數；（2），的定義域是，，設，時，，當時，，當，即時，等號成立，即時，函數取得最小值4.【點睛】易錯點睛：本題的易錯點是第二問容易忽略函數的定義域，換元時，也要注意中間變量的取值范圍.18、（1），證明見解析；（2），方案1可以裁剪出面積最大的矩形.【解析】（1）分別用含有的三角函數表示，寫出矩形的面積，利用三角函數求最值；（2）利用（1）的結論，根據對稱性知，矩形的最大面積為，然后利用作差法比較大小即可【小問1詳解】在圖1中，，，，，，，當時，矩形最大面積為，得證.【小問2詳解】在圖（2）中，設與邊，分別交于點，，由（1）的結論，可得矩形的最大面積為，根據對稱性知，矩形的最大面積為.因為為銳角，所以，于是.因此，.故按照方案1可以裁剪出面積最大的矩形，其最大面積為.19、（1）；（2）【解析】（1）直接代入數據計算得到答案.（2）確定函數單調遞增，根據函數的單調性得到答案.【詳解】（1）（且）的圖像經過點，即，故，故.（2）函數單調遞增，，故，故【點睛】本題考查了函數的解析式，根據函數單調性解不等式，意在考查學生對于函數知識的綜合應用.20、(1)(2)【解析】（1）根據題意前4個周城區(qū)內汽車的汽油需求量為100噸，得，；（2）每周結束時加油站的汽油存儲量不超過150噸，故，恒成立,轉化為恒成立，通過換元分別求得函數的最值即可解析：（1）由已知條件得，解得.所以..（2）由題意，，所以，恒成立，即恒成立.設，則，所以（）恒成立，由（）恒成立，得（當，即時取等號）；由（）恒成立，得（當，即時取等號）