幾何非線性與屈曲分析課件

第五章非線性問題與屈曲分析一、幾何非線性問題基本理論二、幾何非線性有限元方程的建立三、非線性結(jié)構(gòu)分析簡介四、非線性分析的基本過程五、幾何非線性 六、屈曲分析七、材料非線性第7講1第五章非線性問題與屈曲分析一、幾何非線性問題基本理論第7講一、幾何非線性問題基本理論在經(jīng)典的材料力學(xué)和彈性力學(xué)中有一個基本假設(shè)，即位移與應(yīng)變關(guān)系是線性的，且應(yīng)變?yōu)樾×?，這樣得到的最后方程是線性的。但在實際工程領(lǐng)域內(nèi)，這個線性假設(shè)往往不再適用，例如航空薄壁結(jié)構(gòu)、在某些載荷情況下的薄板和薄殼、機械上的柔軟支架等，位移可以較大，因此位移與應(yīng)變關(guān)系不可用線形關(guān)系來描述。更有一些力學(xué)現(xiàn)象，例如金屬的塑性變形、金屬輾壓成形等，應(yīng)變超過10%以上，因此要用大應(yīng)變(或稱有限應(yīng)變)理論。凡考慮位移與應(yīng)變的非線性關(guān)系或采用大應(yīng)變理論均屬于幾何非線性問題，幾何非線性包括大位移的小應(yīng)變問題以及大位移大應(yīng)變問題。2一、幾何非線性問題基本理論在經(jīng)典的材料力學(xué)和彈性力學(xué)中有一1有限應(yīng)變與應(yīng)力(2)柯西(Cauchy)應(yīng)變，也稱阿爾曼西(Almansi)應(yīng)變或歐拉(Eular)應(yīng)變(1)格林(Green)應(yīng)變，也稱格林－拉格朗日(Green－Largrange)應(yīng)變結(jié)構(gòu)的變形31有限應(yīng)變與應(yīng)力(2)柯西(Cauchy)應(yīng)變，也稱阿2變形率和本構(gòu)關(guān)系1．物質(zhì)描述2.參照描述3.相對描述很少用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和有限元法中拉格朗日描述位移是以原始構(gòu)形為出發(fā)點獨立變量為任意選擇的參照構(gòu)形中質(zhì)點P的當(dāng)前坐標(biāo)與時間t，其中參照構(gòu)形的任意選擇是任意的，而且不影響計算結(jié)果用時間tn的構(gòu)形為參考構(gòu)形的當(dāng)前質(zhì)點坐標(biāo)。更新的拉格朗日描述42變形率和本構(gòu)關(guān)系1．物質(zhì)描述2.參照描述3.相對描4.空間描述5.任意拉格朗日－歐拉描述獨立變量是質(zhì)點P當(dāng)前位置xin+1(i=1,2,3)和t。在瞬時t的運動是以變形后該時刻的構(gòu)形為觀察的依據(jù)。這種描述稱為歐拉描述。在歐拉描述中，有限元網(wǎng)格在空間是固定的，材料流過這些網(wǎng)格，因此它適用于流體及定常運動過程，如穩(wěn)態(tài)擠壓過程。由于拉格朗日描述的坐標(biāo)附著在物質(zhì)點上，因而易于引入本構(gòu)關(guān)系和處理表面載荷問題。任意拉格朗日－歐拉描述又稱耦合拉格朗日－歐拉描述。在ALE描述中，另外引入了一個獨立于初始構(gòu)形和現(xiàn)時構(gòu)形的參照構(gòu)形，在物體變形過程中，觀察者始終跟隨參照構(gòu)形運動，因而對觀察者而言，參照構(gòu)形是固定不動的，而初始構(gòu)形和現(xiàn)時構(gòu)形都相對于參照構(gòu)形運動。2變形率和本構(gòu)關(guān)系54.空間描述5.任意拉格朗日－歐拉描述獨立變量是質(zhì)點二、幾何非線性有限元方程的建立一是從虛功原理出發(fā)，直接使用應(yīng)力與共軛應(yīng)變。幾何非線性有限元法至今沒有一個統(tǒng)一的方法，從不同的能量原理，應(yīng)變位移方程和不同的應(yīng)力和應(yīng)變可以得到不同的非線性有限元方程。在建立幾何非線性方程時，選擇的能量平衡方程大體有兩類：另一類是由增量變形的變分原理出發(fā)，使用應(yīng)變率和應(yīng)變率。6二、幾何非線性有限元方程的建立一是從虛功原理出發(fā)，直接使用二、幾何非線性有限元方程的建立1全拉格朗日列式法(T.L)設(shè)一個運動的物體，假定對于時刻以前的解均已得到，當(dāng)前的目標(biāo)是去建立一個方程，由方程可解得時刻的各未知量。See:P124-1267二、幾何非線性有限元方程的建立1全拉格朗日列式法(T.L采用如下假設(shè)：1.在有限應(yīng)變中可恢復(fù)的(彈性的)應(yīng)變較之不可恢復(fù)的(非彈性的)應(yīng)變小得多，因此可把總應(yīng)變線性分解為兩部分之和，這與小應(yīng)變理論相同；2.材料各向同性硬化，材料系數(shù)量值僅隨加載歷程變化，但其軸的方向不變；3.在一個增量步內(nèi)采用線性化方法，把應(yīng)力與應(yīng)變視為線性關(guān)系。8采用如下假設(shè)：82結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題在有限元理論中列出的靜力平衡問題的非線性有限元方程，可以用于分析結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一類重要問題，即結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題。分析的目的是求解結(jié)構(gòu)從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的臨界載荷和失穩(wěn)后的屈曲形態(tài)。特征是：結(jié)構(gòu)在基本的載荷-位移平衡路徑()的附近還存在另一分叉平衡路徑()。當(dāng)載荷到達臨界值Pcr時，如果結(jié)構(gòu)或載荷有一微小的擾動，載荷-位移將沿分叉平衡路徑發(fā)展。結(jié)構(gòu)的載荷臨界點可分為兩種類型分叉臨界點極值臨界點

特征是：當(dāng)載荷到達臨界(最大)值時，如果載荷或位移有微小變化，將分別發(fā)生位移的跳躍或載荷的快速下降。前者稱為急速跳過。后者稱為垮塌。92結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題在有限元理論中列出的靜力平衡問題的2結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題分叉臨界點的載荷－位移平衡路徑例如直桿受精確沿中心線方向的壓力作用，當(dāng)載荷到達臨界值時，桿子除平直的平衡路徑()以外，還存在橫向屈曲的平衡路徑(II)，而前者是不穩(wěn)定的。極值臨界點的載荷－位移平衡路徑102結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題分叉臨界點的載荷－位移平衡路徑例1．線性穩(wěn)定分析如果失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于小變形狀態(tài)，可以不考慮幾何非線性對平衡方程和幾何方程的影響。如同時假定材料仍處于彈性狀態(tài)，則失穩(wěn)前可采用線彈性分析來求解結(jié)構(gòu)內(nèi)的位移和應(yīng)力。111．線性穩(wěn)定分析如果失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于小變形狀態(tài)，可以不考慮幾2.非線性穩(wěn)定分析此類分析是指失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于大變形狀態(tài)，這時結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是載荷幅值p和位移向量u的非線性函數(shù)。SeeP128-130122.非線性穩(wěn)定分析此類分析是指失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于大變形狀態(tài)，三、非線性結(jié)構(gòu)分析簡介1．非線性結(jié)構(gòu)訂書機木架輪胎非線性①幾何非線性②材料非線性③狀態(tài)變化(包括接觸)13三、非線性結(jié)構(gòu)分析簡介1．非線性結(jié)構(gòu)訂書機木架輪胎非線性①幾2．非線性分析的特殊性（1）逐步遞增載荷和平衡迭代非線性問題需要一系列帶校正的線性近似來求解純粹增量近似與牛頓啦普森近似的關(guān)系純粹增量式解全牛頓－拉普森迭代求解真實響應(yīng)誤差計算響應(yīng)兩給載荷增量142．非線性分析的特殊性（1）逐步遞增載荷和平衡迭代非線性問題3．非線性求解的組織級別非線性求解級別：載荷步1載荷步2子步載荷步子步非線性分析的典型的載荷歷程載荷步子步平衡迭代153．非線性求解的組織級別非線性求解級別：載荷步1載荷步2子步4．收斂容差當(dāng)確定收斂準(zhǔn)則時，可以選擇將收斂檢查建立在力、力矩、位移、轉(zhuǎn)動或這些項目的任意組合上，且每一個項目可以有不同的收斂容差值。對多自由度問題，同樣也有收斂準(zhǔn)則的選擇問題。164．收斂容差當(dāng)確定收斂準(zhǔn)則時，可以選擇將收斂5．保守行為與非保守行為—過程依賴性175．保守行為與非保守行為—過程依賴性176．子步7．自動時間步長8．載荷和位移方向9．非線性瞬態(tài)過程的分析以載荷增量加載，程序在每一步中進行平衡迭代（1）子步數(shù)或時間步長（2）自動時間步長186．子步以載荷增量加載，程序在每一步中進行平衡迭代（1）子步四、非線性分析的基本過程非線性分析的步驟1．建模2．加載并求解3．檢查結(jié)果非線性分析建模過程中可能包含特殊的單元或非線性材料性質(zhì)。除此之外，建模過程與線性分析類似。來自非線性靜態(tài)分析的結(jié)果主要由位移、應(yīng)力、應(yīng)變以及反作用力組成。可以用POST1或者用POST26來檢查這些結(jié)果。19四、非線性分析的基本過程非線性分析的步驟1．建模非線性分析建非線性瞬態(tài)分析實例初始速度銅圓柱體一個銅彈以給定的速度射向壁面，壁面假定是剛性的和無摩擦的。目的是研究彈和壁面接觸后80s內(nèi)的現(xiàn)象，即彈的整個變形，速度歷程以及最大等效VonMises應(yīng)變。求解使用SI單位系統(tǒng)。20非線性瞬態(tài)分析實例初始速度銅圓柱體一個銅彈以給定的速度射向壁/prep7et,1,visco106keyopt,1,3,1mp,ex,1,117e9mp,dens,1,8930mp,nuxy,1,0.35tb,biso,1,1,,0tbmodif,2,1,4e8tbmodif,3,1,le8tbplot,biso,1rectng,0,0.0032,0,0.0324lesize,2,,,20,1lesize,1,,,4,1mshape,0,2dmshkey,1amesh,1fini/soluantype,4trnopt,fulllumpm,onnlgeom,1ic,all,uy,,-227d,all,,0,,,,uznsel,s,loc,x,0d,all,,0,,,,uxnsel,s,loc,y,0d,all,,0,,,,uyallseltime,8e-5autots,1deltim,4.4e-7kbc,1outres,all,4solvefini/postlset,lasttop_node=26*get,deform,node,top_node,u,y/dscale,1,1pldisp,2plnsol,epto,eqvfini/post26nsol,2,top_node,u,y,displacederiv,3,2,1,,velocity,,,1/axlab,y,velocityplvar,3fini建模網(wǎng)格約束21/prep7allsel建模網(wǎng)格約束21等效應(yīng)變合位移m22等效應(yīng)變合位移m22X方向位移等效應(yīng)力Pa23X方向位移等效應(yīng)力Pa232424不同時刻等效應(yīng)力及變形25不同時刻等效應(yīng)力及變形25不同時刻等效應(yīng)力及變形26不同時刻等效應(yīng)力及變形26其它例子ANSYSVerificationManual,描述了一些另外的非線性分析實例。下表顯示給你一些VerificationManual包括的非線性分析例子：VM7管組裝的塑性壓縮VM11殘余應(yīng)力問題VM24矩形梁的塑性VM38受壓厚壁柱體的塑性加載VM56內(nèi)部受壓的超彈性厚柱體VM78懸替梁中的橫向剪切應(yīng)力VM80對突然施加恒力的塑性響應(yīng)VM104液一固相變VM124蓄水池中水的排出VM126流動流體的熱傳導(dǎo)VM132由于蠕變輝栓的應(yīng)力消除VM133由于輻射感應(yīng)蠕棒的運力VM134一端固定梁的塑性彎曲VM146鋼盤混凝土梁的彎曲VM165鐵性導(dǎo)體的載流VM198面內(nèi)扭轉(zhuǎn)實驗的大應(yīng)變VM199承受剪切變形的物體的粘彈性分析VM200粘彈性的疊層密封分析27其它例子27五、幾何非線性(一)、簡介如果結(jié)構(gòu)經(jīng)受大變形，變化的幾何形狀可能會引起結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)。大變形28五、幾何非線性(一)、簡介如果結(jié)構(gòu)經(jīng)受大變形，變化的幾何形狀(二)、幾何非線性分析1．大應(yīng)變效應(yīng)2．關(guān)于大應(yīng)變的特殊建模討論3.具有小應(yīng)變的大撓度（轉(zhuǎn)角）4．應(yīng)力剛化5．旋轉(zhuǎn)軟化29(二)、幾何非線性分析1．大應(yīng)變效應(yīng)29大變形大轉(zhuǎn)動1．大應(yīng)變效應(yīng)一個結(jié)構(gòu)的總剛度當(dāng)一個單元的節(jié)點經(jīng)歷位移后，那個單元對總體結(jié)構(gòu)剛度的貢獻可以以兩種方式改變。它的組成部件單元的方向和單元的剛依賴于單元的形狀改變單元的取向改變大轉(zhuǎn)角單元剛度將改變它的局部剛度轉(zhuǎn)化到全局部件的變換也將改變30大變形大轉(zhuǎn)動1．大應(yīng)變效應(yīng)一個結(jié)構(gòu)的總剛度當(dāng)一個單元的節(jié)點經(jīng)2．關(guān)于大應(yīng)變的特殊建模討論（1）應(yīng)力－應(yīng)變在大應(yīng)變求解中，所有應(yīng)力－應(yīng)變輸入和結(jié)果將采用真實應(yīng)力和真實（或?qū)?shù)）應(yīng)變。對真實應(yīng)變超過50％的塑性分析，應(yīng)使用大應(yīng)變單元（VISCO106，107及108）312．關(guān)于大應(yīng)變的特殊建模討論（1）應(yīng)力－應(yīng)變在大應(yīng)變求解中，(2)單元的形狀在大變形分析的任何迭代中粗劣的單元形狀（即大的橫縱比，過度的頂角及具有負(fù)面積的已扭曲單元）是不好的，所以必須象注意單元的原始形狀一樣注意單元已扭曲后的形狀。變形前的單元變形后的大應(yīng)變單元(不好的邊長比)修改后變形前的單元變形后的大應(yīng)變單元(較好的邊長比)32(2)單元的形狀在大變形分析的任何迭代中粗劣的單元形狀（即3.具有小應(yīng)變的大撓度（轉(zhuǎn)角）大撓度效應(yīng)在一個大撓度分析中，單元的轉(zhuǎn)動可以任意地大，但是應(yīng)變假定是小的。用NLGEOM，ON命令來激活那些支持這一特性的單元中的大撓度效應(yīng)。GUI：MainMenu＞Solution＞AnalysisOptions333.具有小應(yīng)變的大撓度（轉(zhuǎn)角）大撓度效應(yīng)在一個大撓度分析中4.應(yīng)力剛化它在薄的、高應(yīng)力的結(jié)構(gòu)中，如纜索或薄膜中，是最明顯的。一個鼓面，當(dāng)它繃緊時會產(chǎn)生垂向剛度，這是應(yīng)力剛化結(jié)構(gòu)的一個普通的例子。結(jié)構(gòu)的面外剛度可能極大地受到結(jié)構(gòu)中面內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的影響。面內(nèi)應(yīng)力和橫向剛度之間的耦合，稱為應(yīng)力剛化盡管應(yīng)力剛化理論假定單元的轉(zhuǎn)動和應(yīng)變是小的。剛化應(yīng)力僅可以通過進行大撓度分析得到P應(yīng)力硬化梁剛化應(yīng)力可采用小撓度或線性理論得到P344.應(yīng)力剛化它在薄的、高應(yīng)力的結(jié)構(gòu)中，如纜索或薄膜中，是最明5．旋轉(zhuǎn)軟化在小位移分析中這種調(diào)整近似于由于大的環(huán)形運動而導(dǎo)致幾何形狀改變的效應(yīng)旋轉(zhuǎn)軟化是指動態(tài)質(zhì)量效應(yīng)調(diào)整（軟化）旋轉(zhuǎn)物體的剛度矩陣旋轉(zhuǎn)軟化用OMEGA命令中的KPSIN來激活GUI：MainMenu＞Solution＞AnalysisOptions通常它和預(yù)應(yīng)力[PSTRES]一起使用，這種預(yù)應(yīng)力由旋轉(zhuǎn)物體中的離心力所產(chǎn)生。它不應(yīng)和其它變形非線性、大撓度和大應(yīng)變一起使用GUI：MainMenu>Preprocessor>Load>-Load-Apply>-Structura1-Other>AngularVelocity355．旋轉(zhuǎn)軟化在小位移分析中這種調(diào)整近似于由于大的環(huán)形運動而導(dǎo)六、屈曲分析1.概念A(yù)NSYS提供兩種分析結(jié)構(gòu)屈曲載荷和屈曲模態(tài)的技術(shù)(1).非線性屈曲分析(2).特征值屈曲分析特征值（或線性）屈曲分析屈曲分析是一種用于確定結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時的臨界載荷和屈曲模態(tài)形狀（結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲響應(yīng)的特征形狀）的技術(shù)。特征值屈曲分析用于預(yù)測一個理想彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強度（歧點）。特征值屈曲分析經(jīng)常產(chǎn)生非保守結(jié)果，通常不能用于實際現(xiàn)實生活中的工程分析。非線性屈曲分析比線性屈曲分析更精確，故建議用于對實際結(jié)構(gòu)進行的設(shè)計或估計中。36六、屈曲分析1.概念A(yù)NSYS提供兩種分析結(jié)構(gòu)屈曲載荷和2．非線性屈曲分析的過程非線性屈曲分析是在大變形效應(yīng)開關(guān)打開的情況下(NLGEOM，ON)所作的一種靜力分析，該分析過程一直進行到結(jié)構(gòu)的限制載荷或最大載荷。（1）施加載荷增量（2）自動時間步長功能（3）重要注意事項（4）施加初始缺陷（擾動）（5）弧長法372．非線性屈曲分析的過程非線性屈曲分析是在大變形效應(yīng)開關(guān)打開3．特征值屈曲分析的過程①建立模型；②獲得靜力解；③獲得特征值屈曲解；④展開解；⑤觀察結(jié)果。383．特征值屈曲分析的過程①建立模型；38如圖5一15所示，一根長為L，兩端鉸支的細(xì)長桿受到軸向加載。此桿截面的高度為h，面積為A。由于對稱性，只給桿的上端建模，則上半部分的邊界條件變?yōu)樽杂梢还讨?。為了描述屈曲模態(tài)，在x方向取10個主自由度。桿的慣性矩為I=Ah2／12＝0.0052083in4詳細(xì)參數(shù)如下：材料性質(zhì)：模型尺寸：載荷。EX=30E6psiL=200inF=1lbfA=0.25in2h＝0.5in特征值屈曲分析實例39如圖5一15所示，一根長為L，兩端鉸支的細(xì)長桿受到軸向加載。/PREP7/TITLE,BUCKLING….ET,1,BEAM3R,1,0.25,52083E-7,0.5MP,EX,1,30E6N,1N,11,,100FILLE,1,2EGEN,10,1,1FINISHSave,buckle1,dbResume,buckle1,db/SOLUANTYPE,STATICPSTRES,OND,1,ALL11111098765432109876543240/PREP711111098F,11,FY,-1SOLVEFINISHSAVE,BUCKLE1,DBRESUME,BUCKLE1,DB/SOLUANTYPE,BUCKLEBUCOPT,REDUC,1MXPAND,1M,2,UX,11,1SOLVE*get,FCR,MODE,1,FREQ!FcR--->曲屈分析中第1階頻率為失穩(wěn)載荷NFINISH/POST1SET,FIRSTPLDISP,1FINISH111110987654321098765432FY=－141F,11,FY,-11111109fini/clear!/prep7!et,1,beam3R,1,161.29,2167.87,12.7mp,ex,1,207000!N/mm^2mp,prxy,,0.3n,1n,11,,2540!mmfille,1,2egen,10,1,1fini!/soluantype,staticpstres,on!考慮預(yù)應(yīng)力d,1,allf,11,fy,-1!Y方向施加單位載荷outpr,,1!輸出第1荷載計算結(jié)果solvefini/soluantype,bucklebucopt,Lanb,1!只展開第1階失穩(wěn)狀態(tài)mxpand,1!展開第1階失穩(wěn)狀態(tài)!solve*get,FCR,MODE,1,FREQ!FcR--->曲屈分析中第1階頻率為失穩(wěn)載荷N*status,parmfinish!Fc求失穩(wěn)載荷？42finiFc求失穩(wěn)載荷？42fini/clear/prep7antype,transnlgeom,onet,1,beam3,,,,,,,1r,1,161.29,2167.86,12.7mp,ex,1,2.07e5mp,prxy,,0.3!n,1n,11,,2540fille,1,2egen,10,1,1finish/ESHAPE,10/solusolcontrol,0neqit,250!outpr,basic,lastoutres,all,alld,1,allfcr=-171.5pi=3.1415926!time,1DELT,0.05,0.005,0.5AUTO,ONkbc,0f,11,fy,fcr*1.884f,11,fx,1solve!超過失穩(wěn)載荷的動力計算43fini超過失穩(wěn)載荷的動力計算43七、材料非線性(一)、彈塑性分析1．有關(guān)塑性的概念(1)路徑相關(guān)性(2)率相關(guān)性(3)工程應(yīng)力、應(yīng)變與真實的應(yīng)力、應(yīng)變ANSYS的材料非線性分析彈塑性分析超彈分析蠕變分析塑性是不可恢復(fù)的，與路徑相關(guān)的。必須按照系統(tǒng)真正經(jīng)歷的加載過程加載。與應(yīng)變率有關(guān)的塑性叫作與率相關(guān)的塑性。P/A0、L/L0小應(yīng)變分析P/A、ln(L/L0)大應(yīng)變的塑性分析44七、材料非線性(一)、彈塑性分析1．有關(guān)塑性的概念(1)路2．塑性選項1).經(jīng)典雙線性隨動強化BKIN2).雙線性等向強化BISO3).多線性隨動強化MKIN4).多線性等向強化MISO注意，使用MP命令來定義彈性模量；·彈性模量也可以是與溫度相關(guān)的；·切向斜率Et不可以是負(fù)數(shù)，也不能大于彈性模量。①定義彈性模量。②激活雙線性隨動強化選項。③使用數(shù)據(jù)表來定義非線性特性用于初始各向同性材料的大應(yīng)變問題比例加載的情況和大應(yīng)變分析?？梢暂斎胱疃?00個應(yīng)力一應(yīng)變曲線多線性來表示應(yīng)力－應(yīng)變曲線，模擬隨動強化效應(yīng)，最多5個應(yīng)力一應(yīng)變數(shù)據(jù)點452．塑性選項1).經(jīng)典雙線性隨動強化BKIN注意，使用M3.塑性分析實例一個周邊簡支的圓盤，在其中心受到一個沖桿的周期作用。由于沖桿被假定是剛性的，因此在建模時不考慮沖桿，而將圓盤上和沖桿接觸的結(jié)點的Y方向上的位移耦合起來。由于模型和載荷都是軸對稱的，因此用軸對稱模型來進行計算。求解通過四個載荷步實現(xiàn)。問題詳細(xì)說明：材料性質(zhì)：EX＝70000MPa(楊氏模量)NUXY：0.325(泊松比)塑性時的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系如下：應(yīng)變應(yīng)力MPa0.0007857550.005751120.029251720.1241加載歷史：時間s載荷N001-600027503-6000F130106.5463.塑性分析實例一個周邊簡支的圓盤，在其中心受到一個沖桿的F130106.547F130106.547第五章非線性問題與屈曲分析一、幾何非線性問題基本理論二、幾何非線性有限元方程的建立三、非線性結(jié)構(gòu)分析簡介四、非線性分析的基本過程五、幾何非線性 六、屈曲分析七、材料非線性第7講48第五章非線性問題與屈曲分析一、幾何非線性問題基本理論第7講一、幾何非線性問題基本理論在經(jīng)典的材料力學(xué)和彈性力學(xué)中有一個基本假設(shè)，即位移與應(yīng)變關(guān)系是線性的，且應(yīng)變?yōu)樾×浚@樣得到的最后方程是線性的。但在實際工程領(lǐng)域內(nèi)，這個線性假設(shè)往往不再適用，例如航空薄壁結(jié)構(gòu)、在某些載荷情況下的薄板和薄殼、機械上的柔軟支架等，位移可以較大，因此位移與應(yīng)變關(guān)系不可用線形關(guān)系來描述。更有一些力學(xué)現(xiàn)象，例如金屬的塑性變形、金屬輾壓成形等，應(yīng)變超過10%以上，因此要用大應(yīng)變(或稱有限應(yīng)變)理論。凡考慮位移與應(yīng)變的非線性關(guān)系或采用大應(yīng)變理論均屬于幾何非線性問題，幾何非線性包括大位移的小應(yīng)變問題以及大位移大應(yīng)變問題。49一、幾何非線性問題基本理論在經(jīng)典的材料力學(xué)和彈性力學(xué)中有一1有限應(yīng)變與應(yīng)力(2)柯西(Cauchy)應(yīng)變，也稱阿爾曼西(Almansi)應(yīng)變或歐拉(Eular)應(yīng)變(1)格林(Green)應(yīng)變，也稱格林－拉格朗日(Green－Largrange)應(yīng)變結(jié)構(gòu)的變形501有限應(yīng)變與應(yīng)力(2)柯西(Cauchy)應(yīng)變，也稱阿2變形率和本構(gòu)關(guān)系1．物質(zhì)描述2.參照描述3.相對描述很少用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和有限元法中拉格朗日描述位移是以原始構(gòu)形為出發(fā)點獨立變量為任意選擇的參照構(gòu)形中質(zhì)點P的當(dāng)前坐標(biāo)與時間t，其中參照構(gòu)形的任意選擇是任意的，而且不影響計算結(jié)果用時間tn的構(gòu)形為參考構(gòu)形的當(dāng)前質(zhì)點坐標(biāo)。更新的拉格朗日描述512變形率和本構(gòu)關(guān)系1．物質(zhì)描述2.參照描述3.相對描4.空間描述5.任意拉格朗日－歐拉描述獨立變量是質(zhì)點P當(dāng)前位置xin+1(i=1,2,3)和t。在瞬時t的運動是以變形后該時刻的構(gòu)形為觀察的依據(jù)。這種描述稱為歐拉描述。在歐拉描述中，有限元網(wǎng)格在空間是固定的，材料流過這些網(wǎng)格，因此它適用于流體及定常運動過程，如穩(wěn)態(tài)擠壓過程。由于拉格朗日描述的坐標(biāo)附著在物質(zhì)點上，因而易于引入本構(gòu)關(guān)系和處理表面載荷問題。任意拉格朗日－歐拉描述又稱耦合拉格朗日－歐拉描述。在ALE描述中，另外引入了一個獨立于初始構(gòu)形和現(xiàn)時構(gòu)形的參照構(gòu)形，在物體變形過程中，觀察者始終跟隨參照構(gòu)形運動，因而對觀察者而言，參照構(gòu)形是固定不動的，而初始構(gòu)形和現(xiàn)時構(gòu)形都相對于參照構(gòu)形運動。2變形率和本構(gòu)關(guān)系524.空間描述5.任意拉格朗日－歐拉描述獨立變量是質(zhì)點二、幾何非線性有限元方程的建立一是從虛功原理出發(fā)，直接使用應(yīng)力與共軛應(yīng)變。幾何非線性有限元法至今沒有一個統(tǒng)一的方法，從不同的能量原理，應(yīng)變位移方程和不同的應(yīng)力和應(yīng)變可以得到不同的非線性有限元方程。在建立幾何非線性方程時，選擇的能量平衡方程大體有兩類：另一類是由增量變形的變分原理出發(fā)，使用應(yīng)變率和應(yīng)變率。53二、幾何非線性有限元方程的建立一是從虛功原理出發(fā)，直接使用二、幾何非線性有限元方程的建立1全拉格朗日列式法(T.L)設(shè)一個運動的物體，假定對于時刻以前的解均已得到，當(dāng)前的目標(biāo)是去建立一個方程，由方程可解得時刻的各未知量。See:P124-12654二、幾何非線性有限元方程的建立1全拉格朗日列式法(T.L采用如下假設(shè)：1.在有限應(yīng)變中可恢復(fù)的(彈性的)應(yīng)變較之不可恢復(fù)的(非彈性的)應(yīng)變小得多，因此可把總應(yīng)變線性分解為兩部分之和，這與小應(yīng)變理論相同；2.材料各向同性硬化，材料系數(shù)量值僅隨加載歷程變化，但其軸的方向不變；3.在一個增量步內(nèi)采用線性化方法，把應(yīng)力與應(yīng)變視為線性關(guān)系。55采用如下假設(shè)：82結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題在有限元理論中列出的靜力平衡問題的非線性有限元方程，可以用于分析結(jié)構(gòu)力學(xué)中的一類重要問題，即結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題。分析的目的是求解結(jié)構(gòu)從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的臨界載荷和失穩(wěn)后的屈曲形態(tài)。特征是：結(jié)構(gòu)在基本的載荷-位移平衡路徑()的附近還存在另一分叉平衡路徑()。當(dāng)載荷到達臨界值Pcr時，如果結(jié)構(gòu)或載荷有一微小的擾動，載荷-位移將沿分叉平衡路徑發(fā)展。結(jié)構(gòu)的載荷臨界點可分為兩種類型分叉臨界點極值臨界點

特征是：當(dāng)載荷到達臨界(最大)值時，如果載荷或位移有微小變化，將分別發(fā)生位移的跳躍或載荷的快速下降。前者稱為急速跳過。后者稱為垮塌。562結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題在有限元理論中列出的靜力平衡問題的2結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題分叉臨界點的載荷－位移平衡路徑例如直桿受精確沿中心線方向的壓力作用，當(dāng)載荷到達臨界值時，桿子除平直的平衡路徑()以外，還存在橫向屈曲的平衡路徑(II)，而前者是不穩(wěn)定的。極值臨界點的載荷－位移平衡路徑572結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題分叉臨界點的載荷－位移平衡路徑例1．線性穩(wěn)定分析如果失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于小變形狀態(tài)，可以不考慮幾何非線性對平衡方程和幾何方程的影響。如同時假定材料仍處于彈性狀態(tài)，則失穩(wěn)前可采用線彈性分析來求解結(jié)構(gòu)內(nèi)的位移和應(yīng)力。581．線性穩(wěn)定分析如果失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于小變形狀態(tài)，可以不考慮幾2.非線性穩(wěn)定分析此類分析是指失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于大變形狀態(tài)，這時結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是載荷幅值p和位移向量u的非線性函數(shù)。SeeP128-130592.非線性穩(wěn)定分析此類分析是指失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)處于大變形狀態(tài)，三、非線性結(jié)構(gòu)分析簡介1．非線性結(jié)構(gòu)訂書機木架輪胎非線性①幾何非線性②材料非線性③狀態(tài)變化(包括接觸)60三、非線性結(jié)構(gòu)分析簡介1．非線性結(jié)構(gòu)訂書機木架輪胎非線性①幾2．非線性分析的特殊性（1）逐步遞增載荷和平衡迭代非線性問題需要一系列帶校正的線性近似來求解純粹增量近似與牛頓啦普森近似的關(guān)系純粹增量式解全牛頓－拉普森迭代求解真實響應(yīng)誤差計算響應(yīng)兩給載荷增量612．非線性分析的特殊性（1）逐步遞增載荷和平衡迭代非線性問題3．非線性求解的組織級別非線性求解級別：載荷步1載荷步2子步載荷步子步非線性分析的典型的載荷歷程載荷步子步平衡迭代623．非線性求解的組織級別非線性求解級別：載荷步1載荷步2子步4．收斂容差當(dāng)確定收斂準(zhǔn)則時，可以選擇將收斂檢查建立在力、力矩、位移、轉(zhuǎn)動或這些項目的任意組合上，且每一個項目可以有不同的收斂容差值。對多自由度問題，同樣也有收斂準(zhǔn)則的選擇問題。634．收斂容差當(dāng)確定收斂準(zhǔn)則時，可以選擇將收斂5．保守行為與非保守行為—過程依賴性645．保守行為與非保守行為—過程依賴性176．子步7．自動時間步長8．載荷和位移方向9．非線性瞬態(tài)過程的分析以載荷增量加載，程序在每一步中進行平衡迭代（1）子步數(shù)或時間步長（2）自動時間步長656．子步以載荷增量加載，程序在每一步中進行平衡迭代（1）子步四、非線性分析的基本過程非線性分析的步驟1．建模2．加載并求解3．檢查結(jié)果非線性分析建模過程中可能包含特殊的單元或非線性材料性質(zhì)。除此之外，建模過程與線性分析類似。來自非線性靜態(tài)分析的結(jié)果主要由位移、應(yīng)力、應(yīng)變以及反作用力組成。可以用POST1或者用POST26來檢查這些結(jié)果。66四、非線性分析的基本過程非線性分析的步驟1．建模非線性分析建非線性瞬態(tài)分析實例初始速度銅圓柱體一個銅彈以給定的速度射向壁面，壁面假定是剛性的和無摩擦的。目的是研究彈和壁面接觸后80s內(nèi)的現(xiàn)象，即彈的整個變形，速度歷程以及最大等效VonMises應(yīng)變。求解使用SI單位系統(tǒng)。67非線性瞬態(tài)分析實例初始速度銅圓柱體一個銅彈以給定的速度射向壁/prep7et,1,visco106keyopt,1,3,1mp,ex,1,117e9mp,dens,1,8930mp,nuxy,1,0.35tb,biso,1,1,,0tbmodif,2,1,4e8tbmodif,3,1,le8tbplot,biso,1rectng,0,0.0032,0,0.0324lesize,2,,,20,1lesize,1,,,4,1mshape,0,2dmshkey,1amesh,1fini/soluantype,4trnopt,fulllumpm,onnlgeom,1ic,all,uy,,-227d,all,,0,,,,uznsel,s,loc,x,0d,all,,0,,,,uxnsel,s,loc,y,0d,all,,0,,,,uyallseltime,8e-5autots,1deltim,4.4e-7kbc,1outres,all,4solvefini/postlset,lasttop_node=26*get,deform,node,top_node,u,y/dscale,1,1pldisp,2plnsol,epto,eqvfini/post26nsol,2,top_node,u,y,displacederiv,3,2,1,,velocity,,,1/axlab,y,velocityplvar,3fini建模網(wǎng)格約束68/prep7allsel建模網(wǎng)格約束21等效應(yīng)變合位移m69等效應(yīng)變合位移m22X方向位移等效應(yīng)力Pa70X方向位移等效應(yīng)力Pa237124不同時刻等效應(yīng)力及變形72不同時刻等效應(yīng)力及變形25不同時刻等效應(yīng)力及變形73不同時刻等效應(yīng)力及變形26其它例子ANSYSVerificationManual,描述了一些另外的非線性分析實例。下表顯示給你一些VerificationManual包括的非線性分析例子：VM7管組裝的塑性壓縮VM11殘余應(yīng)力問題VM24矩形梁的塑性VM38受壓厚壁柱體的塑性加載VM56內(nèi)部受壓的超彈性厚柱體VM78懸替梁中的橫向剪切應(yīng)力VM80對突然施加恒力的塑性響應(yīng)VM104液一固相變VM124蓄水池中水的排出VM126流動流體的熱傳導(dǎo)VM132由于蠕變輝栓的應(yīng)力消除VM133由于輻射感應(yīng)蠕棒的運力VM134一端固定梁的塑性彎曲VM146鋼盤混凝土梁的彎曲VM165鐵性導(dǎo)體的載流VM198面內(nèi)扭轉(zhuǎn)實驗的大應(yīng)變VM199承受剪切變形的物體的粘彈性分析VM200粘彈性的疊層密封分析74其它例子27五、幾何非線性(一)、簡介如果結(jié)構(gòu)經(jīng)受大變形，變化的幾何形狀可能會引起結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)。大變形75五、幾何非線性(一)、簡介如果結(jié)構(gòu)經(jīng)受大變形，變化的幾何形狀(二)、幾何非線性分析1．大應(yīng)變效應(yīng)2．關(guān)于大應(yīng)變的特殊建模討論3.具有小應(yīng)變的大撓度（轉(zhuǎn)角）4．應(yīng)力剛化5．旋轉(zhuǎn)軟化76(二)、幾何非線性分析1．大應(yīng)變效應(yīng)29大變形大轉(zhuǎn)動1．大應(yīng)變效應(yīng)一個結(jié)構(gòu)的總剛度當(dāng)一個單元的節(jié)點經(jīng)歷位移后，那個單元對總體結(jié)構(gòu)剛度的貢獻可以以兩種方式改變。它的組成部件單元的方向和單元的剛依賴于單元的形狀改變單元的取向改變大轉(zhuǎn)角單元剛度將改變它的局部剛度轉(zhuǎn)化到全局部件的變換也將改變77大變形大轉(zhuǎn)動1．大應(yīng)變效應(yīng)一個結(jié)構(gòu)的總剛度當(dāng)一個單元的節(jié)點經(jīng)2．關(guān)于大應(yīng)變的特殊建模討論（1）應(yīng)力－應(yīng)變在大應(yīng)變求解中，所有應(yīng)力－應(yīng)變輸入和結(jié)果將采用真實應(yīng)力和真實（或?qū)?shù)）應(yīng)變。對真實應(yīng)變超過50％的塑性分析，應(yīng)使用大應(yīng)變單元（VISCO106，107及108）782．關(guān)于大應(yīng)變的特殊建模討論（1）應(yīng)力－應(yīng)變在大應(yīng)變求解中，(2)單元的形狀在大變形分析的任何迭代中粗劣的單元形狀（即大的橫縱比，過度的頂角及具有負(fù)面積的已扭曲單元）是不好的，所以必須象注意單元的原始形狀一樣注意單元已扭曲后的形狀。變形前的單元變形后的大應(yīng)變單元(不好的邊長比)修改后變形前的單元變形后的大應(yīng)變單元(較好的邊長比)79(2)單元的形狀在大變形分析的任何迭代中粗劣的單元形狀（即3.具有小應(yīng)變的大撓度（轉(zhuǎn)角）大撓度效應(yīng)在一個大撓度分析中，單元的轉(zhuǎn)動可以任意地大，但是應(yīng)變假定是小的。用NLGEOM，ON命令來激活那些支持這一特性的單元中的大撓度效應(yīng)。GUI：MainMenu＞Solution＞AnalysisOptions803.具有小應(yīng)變的大撓度（轉(zhuǎn)角）大撓度效應(yīng)在一個大撓度分析中4.應(yīng)力剛化它在薄的、高應(yīng)力的結(jié)構(gòu)中，如纜索或薄膜中，是最明顯的。一個鼓面，當(dāng)它繃緊時會產(chǎn)生垂向剛度，這是應(yīng)力剛化結(jié)構(gòu)的一個普通的例子。結(jié)構(gòu)的面外剛度可能極大地受到結(jié)構(gòu)中面內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的影響。面內(nèi)應(yīng)力和橫向剛度之間的耦合，稱為應(yīng)力剛化盡管應(yīng)力剛化理論假定單元的轉(zhuǎn)動和應(yīng)變是小的。剛化應(yīng)力僅可以通過進行大撓度分析得到P應(yīng)力硬化梁剛化應(yīng)力可采用小撓度或線性理論得到P814.應(yīng)力剛化它在薄的、高應(yīng)力的結(jié)構(gòu)中，如纜索或薄膜中，是最明5．旋轉(zhuǎn)軟化在小位移分析中這種調(diào)整近似于由于大的環(huán)形運動而導(dǎo)致幾何形狀改變的效應(yīng)旋轉(zhuǎn)軟化是指動態(tài)質(zhì)量效應(yīng)調(diào)整（軟化）旋轉(zhuǎn)物體的剛度矩陣旋轉(zhuǎn)軟化用OMEGA命令中的KPSIN來激活GUI：MainMenu＞Solution＞AnalysisOptions通常它和預(yù)應(yīng)力[PSTRES]一起使用，這種預(yù)應(yīng)力由旋轉(zhuǎn)物體中的離心力所產(chǎn)生。它不應(yīng)和其它變形非線性、大撓度和大應(yīng)變一起使用GUI：MainMenu>Preprocessor>Load>-Load-Apply>-Structura1-Other>AngularVelocity825．旋轉(zhuǎn)軟化在小位移分析中這種調(diào)整近似于由于大的環(huán)形運動而導(dǎo)六、屈曲分析1.概念A(yù)NSYS提供兩種分析結(jié)構(gòu)屈曲載荷和屈曲模態(tài)的技術(shù)(1).非線性屈曲分析(2).特征值屈曲分析特征值（或線性）屈曲分析屈曲分析是一種用于確定結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時的臨界載荷和屈曲模態(tài)形狀（結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲響應(yīng)的特征形狀）的技術(shù)。特征值屈曲分析用于預(yù)測一個理想彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強度（歧點）。特征值屈曲分析經(jīng)常產(chǎn)生非保守結(jié)果，通常不能用于實際現(xiàn)實生活中的工程分析。非線性屈曲分析比線性屈曲分析更精確，故建議用于對實際結(jié)構(gòu)進行的設(shè)計或估計中。83六、屈曲分析1.概念A(yù)NSYS提供兩種分析結(jié)構(gòu)屈曲載荷和2．非線性屈曲分析的過程非線性屈曲分析是在大變形效應(yīng)開關(guān)打開的情況下(NLGEOM，ON)所作的一種靜力分析，該分析過程一直進行到結(jié)構(gòu)的限制載荷或最大載荷。（1）施加載荷增量（2）自動時間步長功能（3）重要注意事項（4）施加初始缺陷（擾動）（5）弧長法842．非線性屈曲分析的過程非線性屈曲分析是在大變形效應(yīng)開關(guān)打開3．特征值屈曲分析的過程①建立模型；②獲得靜力解；③獲得特征值屈曲解；④展開解；⑤觀察結(jié)果。853．特征值屈曲分析的過程①建立模型；38如圖5一15所示，一根長為L，兩端鉸支的細(xì)長桿受到軸向加載。此桿截面的高度為h，面積為A。由于對稱性，只給桿的上端建模，則上半部分的邊界條件變?yōu)樽杂梢还讨?。為了描述屈曲模態(tài)，在x方向取10個主自由度。桿的慣性矩為I=Ah2／12＝0.0052083in4詳細(xì)參數(shù)如下：材料性質(zhì)：模型尺寸：載荷。EX=30E6psiL=200inF=1lbfA=0.25in2h＝0.5in特征值屈曲分析實例86如圖5一15所示，一根長為L，兩端鉸支的細(xì)長桿受到軸向加載。/PREP7/TITLE,BUCKLING….ET,1,BEAM3R,1,0.25,52083E-7,0.5MP,EX,1,30E6N,1N,11,,100FILLE,1,2EGEN,10,1,1FINISHSave,buckle1,dbResume,buckle1,db/SOLUANTYPE,STATICPSTRES,OND,1,ALL11111098765432109876543287/PREP711111098F,11,FY,-1SOLVEFINISHSAVE,BUCKLE1,DBRESUME,BUCKLE1,DB/SOLUANTYPE,BUCKLEBUCOPT,REDUC,1MXPAND,1M,2,UX,11,1SOLVE*get,FCR,MODE,1,FREQ!FcR--->曲屈分析中第1階頻率為失穩(wěn)載荷NFINISH/POST1SET,FIRSTPLDISP,1FINISH111110987654321098765432FY=－188F,11,FY