驚訝,思考到感嘆課件

驚訝，思考到感嘆

------集合論悖論，第三次數(shù)學(xué)危機及其它

集合論的著名悖論：1、自然數(shù)與正偶數(shù)誰多2、伽利略悖論3、希爾伯特旅館4、香迪悖論5、康托爾悖論6、羅素悖論7、巴拿赫-塔爾斯分球悖論8、湯姆森燈悖論9、布萊克玻璃球悖論10、圓周率機11、忒修斯的船12、谷堆悖論13、禿頭悖論無窮統(tǒng)帥：康托爾羅素（英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、社會學(xué)家。1950年諾貝爾文學(xué)獎獲得者）Partone:集合論產(chǎn)生前的主要悖論：

部分==整體？自然數(shù)和正偶數(shù)誰多？自然數(shù)：1、2、3……n正偶數(shù)：1、4、6……2n有多少個自然數(shù)，就有多少個正偶數(shù)，但正偶數(shù)又是自然數(shù)的一部分！伽利略悖論自然數(shù)：1、2、3……n平方數(shù)：1、4、9……n^2仍然是整體與部分的關(guān)系，究竟一個更大，或是------相等？這樣的悖論產(chǎn)生的根本原因：

無限與無限可否比較？

無限是否可以容納無限？

希爾伯特旅館狀況描述：1、希爾伯特旅館有無限個房間2、所有房間都住滿了人3、又有無限個人想投宿QUESTION:Howtodo?Oneofthekeys:所有在宿的人搬到房號為原來房號兩倍的房間里，便可空出無限房間，給新來的無限的人。香迪悖論情景描述：1、香迪認(rèn)為：“我”用兩年的時間只寫了“我”生活中頭兩天的事情，按照這個速度，我永遠(yuǎn)也寫不完自已的傳記。2、羅素認(rèn)為：如果確實有“永遠(yuǎn)”存在的話，那么按那個速度，香迪的傳記不會遺漏任何部分。原因：香迪的每一天，都有未來指定的一年去記錄，絕無例外！再舉兩個例子拖延時間：康托爾是德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。

康托爾11歲時移居德國，在德國讀中學(xué)。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學(xué)，翌年入柏林大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，康托爾在研究函數(shù)論時產(chǎn)生了探索無窮集和超窮數(shù)的興趣?？低袪柨隙藷o窮數(shù)的存在，并對無窮問題進行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅實的基礎(chǔ)。集合論的主要觀點：1、定義：如果能夠根據(jù)某一法則，使集合M與集合N中的元素建立一一對應(yīng)的關(guān)系，那么，集合M與集合N等勢或具有相同的基數(shù)。（在數(shù)學(xué)上，基數(shù)(cardinalnumber)也叫勢(cardinality)，指集合論中刻畫任意集合所含元素數(shù)量多少的一個概念。）2、與自然數(shù)集具有相同基數(shù)的集合，叫可數(shù)集，正偶數(shù)集，整數(shù)集，自然數(shù)的平方數(shù)集等，都是可數(shù)集。（所以，為什么部分==整體，簡單來說表達(dá)的是“勢”或“基數(shù)”相等。）3、實數(shù)集比可數(shù)集有更高的等級，他稱之為不可數(shù)集，并證明N維空間上的點集都是不可數(shù)集。4、（1891年成功證明）康托爾定理：對任意一個集合來說，它的冪集（即一個集合所有子集組成的集合）基數(shù)總是大于原集基數(shù)。5、……還有一些原則比較深，不明，忽略掉……ALLINALL：20世紀(jì)初，整個數(shù)學(xué)界陶醉在“一切數(shù)學(xué)成果都可建立在集合論上?！盤art3:兩個悖論及第三次數(shù)學(xué)危機1899年康托爾的最大基數(shù)悖論：

取S是一切集合的集合，根據(jù)康托爾定理，S的冪集基數(shù)大于S的基數(shù)。但S是一切集合的集合，它的基數(shù)不可能小于其他集合的基數(shù)。1902年羅素悖論：把所有集合分為2類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為元素，假令第一類集合所組成的集合為P，第二類所組成的集合為Q，于是有：

P={A∣A∈A}

Q={A∣A￠A}（￠：不屬于的符號，因為實在找不到）

問，Q∈P還是Q∈Q

這就是著名的“羅素悖論”，其直接導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機！他仍然是羅素，只是換了發(fā)型（明確說法）羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。

三大數(shù)學(xué)危機其實，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論。1899年，康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論。但是，由于這兩個悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論，所以只是在數(shù)學(xué)起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說：“一個科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結(jié)束時，其基礎(chǔ)崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置于這個境地?！贝鞯陆鹨惨虼送七t了他的《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一文的再版?？梢哉f，這一悖論就象在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機。

危機產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則?！斑@些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來?！?908年，策梅羅在自已這一原則基礎(chǔ)上提出第一個公理化集合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。

希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機

希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應(yīng)用，同時也是人類最早認(rèn)識到的平面幾何定理之一。在我國，最早的一部天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已有了關(guān)于這一定理的初步認(rèn)識。不過，在我國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。

在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達(dá)哥拉斯。因而國外一般稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。并且據(jù)說畢達(dá)哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理”。

畢達(dá)哥拉斯

畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)√2

的誕生。小小√2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對于當(dāng)時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識上的危機，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。

歐多克索斯

二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數(shù)這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關(guān)的一些結(jié)論，從而解決了由無理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)危機。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現(xiàn)無理數(shù)而實現(xiàn)的。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數(shù)的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數(shù)中就是非法的，不合邏輯的?；蛘哒f無理數(shù)只被當(dāng)作是附在幾何量上的單純符號，而不被當(dāng)作真正的數(shù)。一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的實數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對數(shù)的認(rèn)識從有理數(shù)拓展到實數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機。Partfour:再看一種悖論谷堆悖論：前提：一堆谷子，從中取一粒，仍為一堆過程：一粒一粒取結(jié)論：還剩最后一粒是一堆，取完了僅?？諝庖彩且欢讯d頭悖論：前提：比禿頭多一根頭發(fā)的人還是禿頭過程：省略結(jié)論：所有人都是禿頭*（同樣對以上兩個問題進行反推可以得到結(jié)論。）原因在于：在嚴(yán)密的邏輯推理中使用了模糊不清的概念，輕微的不精確不斷重復(fù)，以致最終我們都是禿頭！模糊悖論的解決：

引入界限與特征函數(shù)界限可以區(qū)分所屬位置特征函數(shù)可以衡量“隸屬度”例：定義“年輕曲線”：