動(dòng)量與角動(dòng)量課件

第三章

動(dòng)量與角動(dòng)量

第三章

動(dòng)量與角動(dòng)量

1本章主要內(nèi)容§3-1

沖量與動(dòng)量定理

§3-2

動(dòng)量守恒定律§3-3

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§3-4

火箭飛行原理§3-5

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律本章主要內(nèi)容2第三章動(dòng)量與角動(dòng)量動(dòng)量和角動(dòng)量不僅是經(jīng)典力學(xué)，也是物理學(xué)中十分重要的物理量，因?yàn)榕c它們相聯(lián)系的守恒定律是自然界普遍遵循的基本規(guī)律。動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒定律

經(jīng)典力學(xué)

牛頓運(yùn)動(dòng)定律量子力學(xué)

相對(duì)論力學(xué)牛頓運(yùn)動(dòng)定律第三章動(dòng)量與角動(dòng)量動(dòng)量和角動(dòng)量不僅是經(jīng)典力學(xué)，也是物理學(xué)3前言我們往往只關(guān)心過(guò)程中力的效果——力對(duì)時(shí)間和空間的積累效應(yīng)。力在時(shí)間上的積累效應(yīng)：平動(dòng)沖量動(dòng)量的改變轉(zhuǎn)動(dòng)沖量矩角動(dòng)量的改變力在空間上的積累效應(yīng)功改變能量牛頓定律是瞬時(shí)的規(guī)律。在有些問(wèn)題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）…散射前言我們往往只關(guān)心過(guò)程中力的效果——力對(duì)時(shí)間和空間的積累效應(yīng)4§3-1沖量與動(dòng)量定理

§3-1沖量與動(dòng)量定理

5瞬時(shí)式——?jiǎng)恿俊Φ淖饔每梢允箘?dòng)量變化?！?duì)時(shí)間的積累等于動(dòng)量增量。力對(duì)時(shí)間間隔

0

t的沖量為沖量（對(duì)dt）動(dòng)量定理或1.沖量與動(dòng)量定理瞬時(shí)式——?jiǎng)恿俊Φ淖饔每梢允箘?dòng)量變化。——力對(duì)時(shí)6關(guān)于沖力（動(dòng)量是狀態(tài)量）Fx(t)t物體受到?jīng)_擊，動(dòng)量會(huì)明顯改變。沖擊過(guò)程持續(xù)一般時(shí)間很短，因此沖擊中物體受力——沖力具有作用時(shí)間短、量值大的特點(diǎn)，通常是變力。平均沖力：沖量可表為說(shuō)明：沖量是矢量，是過(guò)程量。關(guān)于沖力（動(dòng)量是狀態(tài)量）Fx(t)t物體受到?jīng)_擊，動(dòng)量7平均沖力[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，

求：籃球?qū)Φ氐钠骄鶝_力解：籃球到達(dá)地面的速率從h=2.0m的高度下落，到達(dá)地面后，接觸地面時(shí)間t=0.019s。FFto

t速率反彈，以同樣平均沖力[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，求：8例題、一質(zhì)量為10千克的質(zhì)點(diǎn)，在變力F=3+2t（SI）作用下由靜止開(kāi)始作直線運(yùn)動(dòng)。試求：在t=3秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度。解：根據(jù)動(dòng)量定理，先計(jì)算0到3秒內(nèi)的沖量例題、一質(zhì)量為10千克的質(zhì)點(diǎn)，在變力F=3+2t（SI）作用9質(zhì)點(diǎn)系——多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。（質(zhì)點(diǎn)的集合）相加質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量——每個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和。即設(shè)第

i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受外力為，受質(zhì)點(diǎn)系其他質(zhì)點(diǎn)的合力，即內(nèi)力為對(duì)第

i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量定理：2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系——多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。（質(zhì)點(diǎn)的集合）相加質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)10對(duì)任選的一對(duì)質(zhì)點(diǎn)

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：

（積分形式）微分形式：

或定理表述：合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的增量。

系統(tǒng)總動(dòng)量由外力的沖量決定，與內(nèi)力無(wú)關(guān)。用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理處理問(wèn)題可避開(kāi)內(nèi)力。對(duì)任選的一對(duì)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：

（積分形11[例題]一輛運(yùn)煤車以速率

v從上方高h(yuǎn)處的煤斗下面通過(guò)，煤從煤斗中以恒定的速率

b

=

dm/dt

裝煤漏入車廂，如圖所示。設(shè)煤車與地面的摩擦系數(shù)為，t

時(shí)刻車箱和所載煤的質(zhì)量為M，如果保持車的速率不變，應(yīng)以多大的牽引力拉車廂？解：以M和dt時(shí)間里落到車廂的煤粒dm為質(zhì)點(diǎn)系。水平方向運(yùn)用動(dòng)量定理：鉛直方向:略去二階無(wú)窮小量：解得[例題]一輛運(yùn)煤車以速率v從上方高h(yuǎn)處的煤斗下面通12克服車廂和其中的煤的重量引起的摩擦力克服落下煤粒對(duì)車廂沖力引起的摩擦力將下落煤獲得水平動(dòng)量所需牽引力解的意義：克服車廂和其克服落下煤粒將下落煤獲解的意義：13§3-2動(dòng)量守恒定律

§3-2動(dòng)量守恒定律

14如果質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零考慮質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：則有，常矢量守恒動(dòng)量守恒定律：當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，這一質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量保持不變。說(shuō)明：守恒條件：合外力為零。與內(nèi)力無(wú)關(guān)。沖擊碰撞過(guò)程中，一般有，動(dòng)量近似守恒。內(nèi)力改變各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，但總動(dòng)量不變。如果質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零考慮質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：則有15動(dòng)量守恒可以在單一方向上守恒。動(dòng)量守恒定律僅在慣性系中成立。動(dòng)量守恒定律是自然界的普遍規(guī)律，它不依賴于牛頓定律而成立。微觀粒子的實(shí)驗(yàn)（如電子轉(zhuǎn)化為光子）動(dòng)量守恒定律的分量形式：動(dòng)量守恒可以在單一方向上守恒。動(dòng)量守恒定律僅在慣性系中16[例題]

一個(gè)在水平地面上的炮車發(fā)射炮彈，炮車的質(zhì)量m0，炮筒的仰角為，炮彈的質(zhì)量為m，炮彈射出炮口時(shí)，相對(duì)于炮身的速度為u。若不計(jì)地面摩擦，試求炮彈射出炮口時(shí)，炮車的速度。

解

在炮彈發(fā)射過(guò)程中，對(duì)炮彈和炮身作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析。系統(tǒng)外力有重力G和地面對(duì)炮車的支持力N。這些力都沿豎直方向，即外力在水平方向上投影為零，因此系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒。

設(shè)炮彈射出炮口時(shí)的速度相對(duì)于地面的投影為，炮車速度在水平方向上的投影為。，

由于炮車原來(lái)是靜止的，故有：由速度變換，得：二式聯(lián)立得：[例題]一個(gè)在水平地面上的炮車發(fā)射炮彈，炮車的質(zhì)量m0，17

[例]如圖所示，一帶有四分之一圓弧、質(zhì)量為M的滑塊置于光滑桌面上，圓弧半徑為R。今有一質(zhì)量為m的小滑塊從圓弧頂端沿圓弧面自由下滑，圓弧面的摩擦力忽略不計(jì)。求當(dāng)小滑塊滑至圓弧底端時(shí)，大滑塊相對(duì)桌面移動(dòng)的距離。解：大小滑塊在水平方向上不受外力，二者組成的質(zhì)點(diǎn)系的水平動(dòng)量守恒。RMmM運(yùn)動(dòng)方向與X軸反向RMm[例]如圖所示，一帶有四分之一圓弧、質(zhì)量為M的滑塊置于光18§3-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§3-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

19質(zhì)心——質(zhì)量中心。1.質(zhì)心的定義質(zhì)心的位置矢量表示為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)m1,

m2

,…,

mN

的空間坐標(biāo)分別為(x1,

y1,

z1),(x2,

y2,

z2),…,(xN

,

yN

,

zN

)。則質(zhì)心C的坐標(biāo)定義為xzOy質(zhì)心——質(zhì)量中心。1.質(zhì)心的定義質(zhì)心的位置矢量表示為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)20說(shuō)明：質(zhì)心的位置由質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置決定，與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。對(duì)質(zhì)量連續(xù)的物體，質(zhì)心位置可用積分式計(jì)算：重力的著力點(diǎn)——重心，就在物體的質(zhì)心上。質(zhì)元dm視為質(zhì)點(diǎn)說(shuō)明：質(zhì)心的位置由質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置決定，與坐標(biāo)原點(diǎn)21

[例題]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量分別為M=

5.981024kg和m=

7.351022kg，地球中心與月球中心的距離為

L=

3.84105km。解：地球和月球本身的質(zhì)心位于它們各自的幾何中心。地月系統(tǒng)的質(zhì)心必定在它們的連線上。選取坐標(biāo)如圖，原點(diǎn)在地球中心。LmMOxC[例題]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量22例：一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。解：選如圖坐標(biāo)系，取長(zhǎng)為dl的鐵絲，質(zhì)量為dm，以λ表示線密度，dm=dl.分析得質(zhì)心應(yīng)在y軸上。注意：質(zhì)心不在鐵絲上。例：一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。232.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，有考慮一質(zhì)點(diǎn)系，其總動(dòng)量為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)如同一個(gè)在質(zhì)心位置處的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和所受的外力。在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中所謂“物體”的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上是物體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。2.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，有考慮一質(zhì)點(diǎn)系，其總動(dòng)24系統(tǒng)內(nèi)力不會(huì)影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，▲在光滑水平面上滑動(dòng)的扳手，▲做跳馬落地動(dòng)作的運(yùn)動(dòng)員盡管在翻轉(zhuǎn)，但▲爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質(zhì)心仍在做拋物線運(yùn)動(dòng)其質(zhì)心仍做拋物線運(yùn)動(dòng)例如：其質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)力不會(huì)影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，▲在光滑水平面上滑動(dòng)的25質(zhì)心的定義o質(zhì)點(diǎn)系返回質(zhì)心的定義o質(zhì)點(diǎn)系返回26例題一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，下端剛與地面接觸。此時(shí)放開(kāi)繩子，從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始下落。已知繩子質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，求下落到所剩長(zhǎng)度為z時(shí)，地面對(duì)這段繩子的作用力.解：解法一（質(zhì)心法）把繩子看作一質(zhì)點(diǎn)系。當(dāng)繩子下落到所剩長(zhǎng)度為z時(shí)，其質(zhì)心高度和速度分別為

所謂完全柔軟的繩子,指的是繩子上端的下落速度v=dz/dt與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由下落的速度相同，即zOz質(zhì)心定義例題一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，下端剛27由此可得質(zhì)心加速度為

設(shè)地板對(duì)上段繩子的作用力為F，對(duì)整根繩子應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，則有由此可得質(zhì)心加速度為設(shè)地板對(duì)上段繩子的作用力為F，對(duì)整28忽略二級(jí)小量，并考慮dt內(nèi)落地繩子的長(zhǎng)度為-vdt，可得加上已經(jīng)落地的一段繩子所受到的支持力，總的作用力為

繩子上端的下落速度為，而緊靠地面的質(zhì)元dm與地面相碰時(shí)其動(dòng)量由vdm變?yōu)榱?故若設(shè)該質(zhì)元受到的支持力為，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有解法二：（動(dòng)量定理法）忽略二級(jí)小量，并考慮dt內(nèi)落地繩子的長(zhǎng)度為-vdt，可得加上29§3-4火箭飛行原理

§3-4火箭飛行原理

30火箭在無(wú)大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動(dòng)力。由于無(wú)外力作用，動(dòng)量守恒。由動(dòng)量守恒定律設(shè)M為火箭在t時(shí)刻的總質(zhì)量，dt時(shí)間噴出dm質(zhì)量的燃料，相對(duì)火箭以u(píng)的速度噴射。xMvdmMdmv+dvt時(shí)刻t+dt時(shí)刻t時(shí)刻總動(dòng)量t+dt時(shí)刻總動(dòng)量火箭在無(wú)大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動(dòng)力。由31積分火箭受燃料的反沖力為結(jié)論：

火箭在燃燒后所增加的速度正比于相對(duì)噴射速度u和火箭的始末質(zhì)量比(M0/M1)的自然對(duì)數(shù)?；鸺ㄟ^(guò)噴射燃料獲得的推力正比u于和dm/dt。推導(dǎo)積分火箭受燃料的反沖力為結(jié)論：火箭在燃燒后所增加的速度正32t+dt時(shí)刻：速度v-u，動(dòng)量dm(v-u)由動(dòng)量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量火箭所受的反推力研究對(duì)象：噴出氣體dmt時(shí)刻：速度v(和主體速度相同)，動(dòng)量vdmF箭對(duì)氣dt=dm(v-u)-vdm=-F氣對(duì)箭dt由此得火箭所受燃?xì)獾姆赐屏榉祷豻+dt時(shí)刻：速度v-u，動(dòng)量dm(v-u)由33§3-5質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

§3-5質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

34引入角動(dòng)量的意義：和動(dòng)量一樣，角動(dòng)量服從守恒定律，因此它是力學(xué)中最重要的物理量之一。1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

角動(dòng)量的定義：（對(duì)點(diǎn)）設(shè)一質(zhì)點(diǎn)具有動(dòng)量，由慣性系中某一固定點(diǎn)O指向它的位置矢量為，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為的大?。旱姆较颍捍怪庇诤蜆?gòu)成的平面。右手螺旋法則引入角動(dòng)量的意義：和動(dòng)量一樣，角動(dòng)量服從守恒定律，因此它是力35矢量的叉乘(矢量積)在物理中常有兩個(gè)矢量相互作用，呈現(xiàn)出某些特殊效應(yīng)，例如動(dòng)量矩、力矩及運(yùn)動(dòng)電荷伴存的磁場(chǎng)等。叉乘是描述這類效應(yīng)的矢量運(yùn)算。叉乘用×表示，其積為矢量，所以叫矢量積。若是交角為的兩個(gè)矢量，則叉乘定義為是由叉乘符號(hào)規(guī)定的，兩矢量所在平面的右手系法線方向的單位矢量.右手系：將右手拇指伸直，其余四指并攏指向的方向，并沿的計(jì)算方向彎向，拇指所指的方向就是的方向。返回矢量的叉乘(矢量積)在物理中常有兩個(gè)矢量相互作36叉乘的運(yùn)算規(guī)則1)叉乘的反交換律2)叉乘與數(shù)乘的結(jié)合律3)叉乘的分配律4)叉乘可得同向和反向(平行)的充分必要條件直角坐標(biāo)系中的叉乘運(yùn)算若按行列式展開(kāi)易記返回叉乘的運(yùn)算規(guī)則1)叉乘的反交換律2)叉乘與數(shù)乘的結(jié)合律3)叉37注意：角動(dòng)量是矢量。舉例：圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量：粒子散射實(shí)驗(yàn)中，粒子對(duì)固定的重原子核的角動(dòng)量：角動(dòng)量的分量式：注意：角動(dòng)量是矢量。舉例：圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量：382.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

力矩的定義（對(duì)點(diǎn)）設(shè)O為慣性系中的某一固定點(diǎn)，由它指向質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的力矩為的大?。?/p>

角動(dòng)量定理（對(duì)點(diǎn)）考慮角動(dòng)量的變化率：2.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理力矩的定義（對(duì)點(diǎn)）設(shè)O為慣性系39角動(dòng)量定理

：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，即[例]利用拋體運(yùn)動(dòng)的速度方程證明角動(dòng)量定理。注意：合外力矩和角動(dòng)量是對(duì)某慣性系中同一固定點(diǎn)的。證：速度方程為查看角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，40角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，即注意：合外力矩和角動(dòng)量是對(duì)某慣性系中同一固定點(diǎn)的。角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，41說(shuō)明：

守恒與否與所對(duì)的點(diǎn)有關(guān)。只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力（做勻速直線運(yùn)動(dòng)）時(shí)，對(duì)任何點(diǎn)角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒定律：如果對(duì)于某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變。由角動(dòng)量定理，可知：當(dāng)外力矩為零時(shí)，，于是如果質(zhì)點(diǎn)受力與矢量平行或反平行，力矩必為零，則對(duì)該點(diǎn)角動(dòng)量守恒。如：有心力場(chǎng)3.角動(dòng)量守恒定律說(shuō)明：守恒與否與所對(duì)的點(diǎn)有關(guān)。只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力（做勻42

[例]試證明Kepler第二定律：行星對(duì)太陽(yáng)的位矢在相同的時(shí)間里掃過(guò)的面積相等。證：由于行星受力總是指向恒星（即為有心力）故，角動(dòng)量守恒。[例]試證明Kepler第二定律：行星對(duì)太陽(yáng)的位矢在相同43例題我國(guó)第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球的中心O為該軌道的一個(gè)焦點(diǎn)（圖）。已知地球的平均半徑R=6378km，人造衛(wèi)星距地面最近距離l1=439km，最遠(yuǎn)距離l2=2384km。若人造衛(wèi)星在近地點(diǎn)A1的速度v1=8.10km/s，求人造衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)A2的速度。人造衛(wèi)星在近地點(diǎn)A1的角動(dòng)量解：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒人造衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)A2的角動(dòng)量A2l2l1A1例題我國(guó)第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球的中44因?yàn)榻莿?dòng)量守恒，所以將R、l1、l2和各值代入，得于是因?yàn)榻莿?dòng)量守恒，所以將R、l1、l2和各值代入，得于是45質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的總角動(dòng)量定義為：質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)對(duì)該定點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和，即質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)所受外力矩之和等于該質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，即該定理可以由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理導(dǎo)出。4.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)的總角動(dòng)量定義為：質(zhì)點(diǎn)系的各46證明：對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用角動(dòng)量定理相加內(nèi)力矩之和為零證明：對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用角動(dòng)量定理相加內(nèi)力矩之和為零47守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律：如果質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩為零，則該質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量保持不變。說(shuō)明：質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律比質(zhì)點(diǎn)的更具普遍意義。

與動(dòng)量守恒定律一樣，角動(dòng)量守恒定律是自然界普遍遵循的守恒定律之一，它并不依賴于牛頓定律而成立。如果質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零，對(duì)任何固定點(diǎn)的角動(dòng)量都守恒。如果，守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律：如果質(zhì)48[例題]兩個(gè)質(zhì)量都是m的小球由一長(zhǎng)度a的輕質(zhì)硬桿連結(jié)起來(lái)，靜止于光滑的水平桌面，今有另一質(zhì)量是m的k倍的小球以速率v0，沿水平面內(nèi)垂直于連桿的方向飛來(lái)，與桿上其中一個(gè)小球發(fā)生碰撞后，粘在一起。求碰撞發(fā)生后它們的運(yùn)動(dòng)速度。解：以三個(gè)小球組成質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系不受外力，動(dòng)量和角動(dòng)量均守恒。（2）（1）（3）x方向動(dòng)量守恒：對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：解得[例題]兩個(gè)質(zhì)量都是m的小球由一長(zhǎng)度a的輕質(zhì)硬桿連49（2）（1）（3）ABC如對(duì)A、B點(diǎn)討論：角動(dòng)量對(duì)其他點(diǎn)也守恒（因合外力為零）。動(dòng)量守恒：（2）（1）（3）ABC如對(duì)A、B點(diǎn)討論：角動(dòng)量對(duì)其50質(zhì)心平動(dòng)+繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)

有

常量如考慮質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，，（2）（1）（3）ABC如對(duì)A、B點(diǎn)討論：角動(dòng)量對(duì)其他點(diǎn)也守恒（因合外力為零）。動(dòng)量守恒：質(zhì)心平動(dòng)+繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)有51動(dòng)量定理角動(dòng)量定理力力矩或角力動(dòng)量角動(dòng)量或動(dòng)量矩力的沖量力矩的沖量或沖量矩動(dòng)量定理52本章結(jié)束

本章結(jié)束

53掌握動(dòng)量，動(dòng)量定理，系統(tǒng)的動(dòng)量定理，動(dòng)量守恒定律，并能熟練用來(lái)分析解決常見(jiàn)問(wèn)題；了解火箭飛行原理；理解質(zhì)心概念和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律；掌握質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量概念，角動(dòng)量守恒定律，并能用來(lái)分析解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。大綱要求掌握動(dòng)量，動(dòng)量定理，系統(tǒng)的動(dòng)量定理，動(dòng)量守恒定律，并能熟練用54第三章

動(dòng)量與角動(dòng)量

第三章

動(dòng)量與角動(dòng)量

55本章主要內(nèi)容§3-1

沖量與動(dòng)量定理

§3-2

動(dòng)量守恒定律§3-3

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§3-4

火箭飛行原理§3-5

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律本章主要內(nèi)容56第三章動(dòng)量與角動(dòng)量動(dòng)量和角動(dòng)量不僅是經(jīng)典力學(xué)，也是物理學(xué)中十分重要的物理量，因?yàn)榕c它們相聯(lián)系的守恒定律是自然界普遍遵循的基本規(guī)律。動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒定律

經(jīng)典力學(xué)

牛頓運(yùn)動(dòng)定律量子力學(xué)

相對(duì)論力學(xué)牛頓運(yùn)動(dòng)定律第三章動(dòng)量與角動(dòng)量動(dòng)量和角動(dòng)量不僅是經(jīng)典力學(xué)，也是物理學(xué)57前言我們往往只關(guān)心過(guò)程中力的效果——力對(duì)時(shí)間和空間的積累效應(yīng)。力在時(shí)間上的積累效應(yīng)：平動(dòng)沖量動(dòng)量的改變轉(zhuǎn)動(dòng)沖量矩角動(dòng)量的改變力在空間上的積累效應(yīng)功改變能量牛頓定律是瞬時(shí)的規(guī)律。在有些問(wèn)題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）…散射前言我們往往只關(guān)心過(guò)程中力的效果——力對(duì)時(shí)間和空間的積累效應(yīng)58§3-1沖量與動(dòng)量定理

§3-1沖量與動(dòng)量定理

59瞬時(shí)式——?jiǎng)恿俊Φ淖饔每梢允箘?dòng)量變化?！?duì)時(shí)間的積累等于動(dòng)量增量。力對(duì)時(shí)間間隔

0

t的沖量為沖量（對(duì)dt）動(dòng)量定理或1.沖量與動(dòng)量定理瞬時(shí)式——?jiǎng)恿俊Φ淖饔每梢允箘?dòng)量變化?！?duì)時(shí)60關(guān)于沖力（動(dòng)量是狀態(tài)量）Fx(t)t物體受到?jīng)_擊，動(dòng)量會(huì)明顯改變。沖擊過(guò)程持續(xù)一般時(shí)間很短，因此沖擊中物體受力——沖力具有作用時(shí)間短、量值大的特點(diǎn)，通常是變力。平均沖力：沖量可表為說(shuō)明：沖量是矢量，是過(guò)程量。關(guān)于沖力（動(dòng)量是狀態(tài)量）Fx(t)t物體受到?jīng)_擊，動(dòng)量61平均沖力[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，

求：籃球?qū)Φ氐钠骄鶝_力解：籃球到達(dá)地面的速率從h=2.0m的高度下落，到達(dá)地面后，接觸地面時(shí)間t=0.019s。FFto

t速率反彈，以同樣平均沖力[例]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，求：62例題、一質(zhì)量為10千克的質(zhì)點(diǎn)，在變力F=3+2t（SI）作用下由靜止開(kāi)始作直線運(yùn)動(dòng)。試求：在t=3秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度。解：根據(jù)動(dòng)量定理，先計(jì)算0到3秒內(nèi)的沖量例題、一質(zhì)量為10千克的質(zhì)點(diǎn)，在變力F=3+2t（SI）作用63質(zhì)點(diǎn)系——多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。（質(zhì)點(diǎn)的集合）相加質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量——每個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和。即設(shè)第

i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受外力為，受質(zhì)點(diǎn)系其他質(zhì)點(diǎn)的合力，即內(nèi)力為對(duì)第

i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量定理：2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系——多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。（質(zhì)點(diǎn)的集合）相加質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)64對(duì)任選的一對(duì)質(zhì)點(diǎn)

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：

（積分形式）微分形式：

或定理表述：合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的增量。

系統(tǒng)總動(dòng)量由外力的沖量決定，與內(nèi)力無(wú)關(guān)。用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理處理問(wèn)題可避開(kāi)內(nèi)力。對(duì)任選的一對(duì)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：

（積分形65[例題]一輛運(yùn)煤車以速率

v從上方高h(yuǎn)處的煤斗下面通過(guò)，煤從煤斗中以恒定的速率

b

=

dm/dt

裝煤漏入車廂，如圖所示。設(shè)煤車與地面的摩擦系數(shù)為，t

時(shí)刻車箱和所載煤的質(zhì)量為M，如果保持車的速率不變，應(yīng)以多大的牽引力拉車廂？解：以M和dt時(shí)間里落到車廂的煤粒dm為質(zhì)點(diǎn)系。水平方向運(yùn)用動(dòng)量定理：鉛直方向:略去二階無(wú)窮小量：解得[例題]一輛運(yùn)煤車以速率v從上方高h(yuǎn)處的煤斗下面通66克服車廂和其中的煤的重量引起的摩擦力克服落下煤粒對(duì)車廂沖力引起的摩擦力將下落煤獲得水平動(dòng)量所需牽引力解的意義：克服車廂和其克服落下煤粒將下落煤獲解的意義：67§3-2動(dòng)量守恒定律

§3-2動(dòng)量守恒定律

68如果質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零考慮質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：則有，常矢量守恒動(dòng)量守恒定律：當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，這一質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量保持不變。說(shuō)明：守恒條件：合外力為零。與內(nèi)力無(wú)關(guān)。沖擊碰撞過(guò)程中，一般有，動(dòng)量近似守恒。內(nèi)力改變各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，但總動(dòng)量不變。如果質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零考慮質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：則有69動(dòng)量守恒可以在單一方向上守恒。動(dòng)量守恒定律僅在慣性系中成立。動(dòng)量守恒定律是自然界的普遍規(guī)律，它不依賴于牛頓定律而成立。微觀粒子的實(shí)驗(yàn)（如電子轉(zhuǎn)化為光子）動(dòng)量守恒定律的分量形式：動(dòng)量守恒可以在單一方向上守恒。動(dòng)量守恒定律僅在慣性系中70[例題]

一個(gè)在水平地面上的炮車發(fā)射炮彈，炮車的質(zhì)量m0，炮筒的仰角為，炮彈的質(zhì)量為m，炮彈射出炮口時(shí)，相對(duì)于炮身的速度為u。若不計(jì)地面摩擦，試求炮彈射出炮口時(shí)，炮車的速度。

解

在炮彈發(fā)射過(guò)程中，對(duì)炮彈和炮身作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析。系統(tǒng)外力有重力G和地面對(duì)炮車的支持力N。這些力都沿豎直方向，即外力在水平方向上投影為零，因此系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒。

設(shè)炮彈射出炮口時(shí)的速度相對(duì)于地面的投影為，炮車速度在水平方向上的投影為。，

由于炮車原來(lái)是靜止的，故有：由速度變換，得：二式聯(lián)立得：[例題]一個(gè)在水平地面上的炮車發(fā)射炮彈，炮車的質(zhì)量m0，71

[例]如圖所示，一帶有四分之一圓弧、質(zhì)量為M的滑塊置于光滑桌面上，圓弧半徑為R。今有一質(zhì)量為m的小滑塊從圓弧頂端沿圓弧面自由下滑，圓弧面的摩擦力忽略不計(jì)。求當(dāng)小滑塊滑至圓弧底端時(shí)，大滑塊相對(duì)桌面移動(dòng)的距離。解：大小滑塊在水平方向上不受外力，二者組成的質(zhì)點(diǎn)系的水平動(dòng)量守恒。RMmM運(yùn)動(dòng)方向與X軸反向RMm[例]如圖所示，一帶有四分之一圓弧、質(zhì)量為M的滑塊置于光72§3-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

§3-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

73質(zhì)心——質(zhì)量中心。1.質(zhì)心的定義質(zhì)心的位置矢量表示為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)m1,

m2

,…,

mN

的空間坐標(biāo)分別為(x1,

y1,

z1),(x2,

y2,

z2),…,(xN

,

yN

,

zN

)。則質(zhì)心C的坐標(biāo)定義為xzOy質(zhì)心——質(zhì)量中心。1.質(zhì)心的定義質(zhì)心的位置矢量表示為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)74說(shuō)明：質(zhì)心的位置由質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置決定，與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。對(duì)質(zhì)量連續(xù)的物體，質(zhì)心位置可用積分式計(jì)算：重力的著力點(diǎn)——重心，就在物體的質(zhì)心上。質(zhì)元dm視為質(zhì)點(diǎn)說(shuō)明：質(zhì)心的位置由質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置決定，與坐標(biāo)原點(diǎn)75

[例題]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量分別為M=

5.981024kg和m=

7.351022kg，地球中心與月球中心的距離為

L=

3.84105km。解：地球和月球本身的質(zhì)心位于它們各自的幾何中心。地月系統(tǒng)的質(zhì)心必定在它們的連線上。選取坐標(biāo)如圖，原點(diǎn)在地球中心。LmMOxC[例題]求地球和月球的質(zhì)心位置。已知地球、月球質(zhì)量76例：一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。解：選如圖坐標(biāo)系，取長(zhǎng)為dl的鐵絲，質(zhì)量為dm，以λ表示線密度，dm=dl.分析得質(zhì)心應(yīng)在y軸上。注意：質(zhì)心不在鐵絲上。例：一段均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓形，求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。772.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，有考慮一質(zhì)點(diǎn)系，其總動(dòng)量為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)如同一個(gè)在質(zhì)心位置處的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和所受的外力。在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中所謂“物體”的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上是物體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。2.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，有考慮一質(zhì)點(diǎn)系，其總動(dòng)78系統(tǒng)內(nèi)力不會(huì)影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，▲在光滑水平面上滑動(dòng)的扳手，▲做跳馬落地動(dòng)作的運(yùn)動(dòng)員盡管在翻轉(zhuǎn)，但▲爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質(zhì)心仍在做拋物線運(yùn)動(dòng)其質(zhì)心仍做拋物線運(yùn)動(dòng)例如：其質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)力不會(huì)影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，▲在光滑水平面上滑動(dòng)的79質(zhì)心的定義o質(zhì)點(diǎn)系返回質(zhì)心的定義o質(zhì)點(diǎn)系返回80例題一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，下端剛與地面接觸。此時(shí)放開(kāi)繩子，從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始下落。已知繩子質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，求下落到所剩長(zhǎng)度為z時(shí)，地面對(duì)這段繩子的作用力.解：解法一（質(zhì)心法）把繩子看作一質(zhì)點(diǎn)系。當(dāng)繩子下落到所剩長(zhǎng)度為z時(shí)，其質(zhì)心高度和速度分別為

所謂完全柔軟的繩子,指的是繩子上端的下落速度v=dz/dt與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由下落的速度相同，即zOz質(zhì)心定義例題一根完全柔軟的質(zhì)量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，下端剛81由此可得質(zhì)心加速度為

設(shè)地板對(duì)上段繩子的作用力為F，對(duì)整根繩子應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，則有由此可得質(zhì)心加速度為設(shè)地板對(duì)上段繩子的作用力為F，對(duì)整82忽略二級(jí)小量，并考慮dt內(nèi)落地繩子的長(zhǎng)度為-vdt，可得加上已經(jīng)落地的一段繩子所受到的支持力，總的作用力為

繩子上端的下落速度為，而緊靠地面的質(zhì)元dm與地面相碰時(shí)其動(dòng)量由vdm變?yōu)榱?故若設(shè)該質(zhì)元受到的支持力為，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有解法二：（動(dòng)量定理法）忽略二級(jí)小量，并考慮dt內(nèi)落地繩子的長(zhǎng)度為-vdt，可得加上83§3-4火箭飛行原理

§3-4火箭飛行原理

84火箭在無(wú)大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動(dòng)力。由于無(wú)外力作用，動(dòng)量守恒。由動(dòng)量守恒定律設(shè)M為火箭在t時(shí)刻的總質(zhì)量，dt時(shí)間噴出dm質(zhì)量的燃料，相對(duì)火箭以u(píng)的速度噴射。xMvdmMdmv+dvt時(shí)刻t+dt時(shí)刻t時(shí)刻總動(dòng)量t+dt時(shí)刻總動(dòng)量火箭在無(wú)大氣層的太空中飛行，是靠向后噴射燃料獲得反沖動(dòng)力。由85積分火箭受燃料的反沖力為結(jié)論：

火箭在燃燒后所增加的速度正比于相對(duì)噴射速度u和火箭的始末質(zhì)量比(M0/M1)的自然對(duì)數(shù)?；鸺ㄟ^(guò)噴射燃料獲得的推力正比u于和dm/dt。推導(dǎo)積分火箭受燃料的反沖力為結(jié)論：火箭在燃燒后所增加的速度正86t+dt時(shí)刻：速度v-u，動(dòng)量dm(v-u)由動(dòng)量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量火箭所受的反推力研究對(duì)象：噴出氣體dmt時(shí)刻：速度v(和主體速度相同)，動(dòng)量vdmF箭對(duì)氣dt=dm(v-u)-vdm=-F氣對(duì)箭dt由此得火箭所受燃?xì)獾姆赐屏榉祷豻+dt時(shí)刻：速度v-u，動(dòng)量dm(v-u)由87§3-5質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

§3-5質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律

88引入角動(dòng)量的意義：和動(dòng)量一樣，角動(dòng)量服從守恒定律，因此它是力學(xué)中最重要的物理量之一。1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

角動(dòng)量的定義：（對(duì)點(diǎn)）設(shè)一質(zhì)點(diǎn)具有動(dòng)量，由慣性系中某一固定點(diǎn)O指向它的位置矢量為，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為的大?。旱姆较颍捍怪庇诤蜆?gòu)成的平面。右手螺旋法則引入角動(dòng)量的意義：和動(dòng)量一樣，角動(dòng)量服從守恒定律，因此它是力89矢量的叉乘(矢量積)在物理中常有兩個(gè)矢量相互作用，呈現(xiàn)出某些特殊效應(yīng)，例如動(dòng)量矩、力矩及運(yùn)動(dòng)電荷伴存的磁場(chǎng)等。叉乘是描述這類效應(yīng)的矢量運(yùn)算。叉乘用×表示，其積為矢量，所以叫矢量積。若是交角為的兩個(gè)矢量，則叉乘定義為是由叉乘符號(hào)規(guī)定的，兩矢量所在平面的右手系法線方向的單位矢量.右手系：將右手拇指伸直，其余四指并攏指向的方向，并沿的計(jì)算方向彎向，拇指所指的方向就是的方向。返回矢量的叉乘(矢量積)在物理中常有兩個(gè)矢量相互作90叉乘的運(yùn)算規(guī)則1)叉乘的反交換律2)叉乘與數(shù)乘的結(jié)合律3)叉乘的分配律4)叉乘可得同向和反向(平行)的充分必要條件直角坐標(biāo)系中的叉乘運(yùn)算若按行列式展開(kāi)易記返回叉乘的運(yùn)算規(guī)則1)叉乘的反交換律2)叉乘與數(shù)乘的結(jié)合律3)叉91注意：角動(dòng)量是矢量。舉例：圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量：粒子散射實(shí)驗(yàn)中，粒子對(duì)固定的重原子核的角動(dòng)量：角動(dòng)量的分量式：注意：角動(dòng)量是矢量。舉例：圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量：922.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

力矩的定義（對(duì)點(diǎn)）設(shè)O為慣性系中的某一固定點(diǎn)，由它指向質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的力矩為的大?。?/p>

角動(dòng)量定理（對(duì)點(diǎn)）考慮角動(dòng)量的變化率：2.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理力矩的定義（對(duì)點(diǎn)）設(shè)O為慣性系93角動(dòng)量定理

：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，即[例]利用拋體運(yùn)動(dòng)的速度方程證明角動(dòng)量定理。注意：合外力矩和角動(dòng)量是對(duì)某慣性系中同一固定點(diǎn)的。證：速度方程為查看角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，94角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，即注意：合外力矩和角動(dòng)量是對(duì)某慣性系中同一固定點(diǎn)的。角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，95說(shuō)明：

守恒與否與所對(duì)的點(diǎn)有關(guān)。只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力（做勻速直線運(yùn)動(dòng)）時(shí)，對(duì)任何點(diǎn)角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒定律：如果對(duì)于某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變。由角動(dòng)量定理，可知：當(dāng)外力矩為零時(shí)，，于是如果質(zhì)點(diǎn)受力與矢量平行或反平行，力矩必為零，則對(duì)該點(diǎn)角動(dòng)量守恒。如：有心力場(chǎng)3.角動(dòng)量守恒定律說(shuō)明：守恒與否與所對(duì)的點(diǎn)有關(guān)。只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力（做勻96

[例]試證明Kepler第二定律：行星對(duì)太陽(yáng)的位矢在相同的時(shí)間里掃過(guò)的面積相等。證：由于行星受力總是指向恒星（即為有心力）故，角動(dòng)量守恒。[例]試證明Kepler第二定律：行星對(duì)太陽(yáng)的位矢在相同97