現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第四章課件

第四章應(yīng)變場

Chapter4StrainField第四章應(yīng)變場

Chapter4Strai14.1小應(yīng)變理論

小應(yīng)變理論是研究非連續(xù)體運(yùn)動的。該理論一般認(rèn)為位移u對坐標(biāo)x或X的導(dǎo)數(shù)是很小的。在該理論中通常假設(shè)位移本身和位移梯度都是很小的。小變形下的應(yīng)變張量的意義是相對應(yīng)變，它是從位移導(dǎo)數(shù)張量中扣除剛性轉(zhuǎn)動張量以后剩下的變形項(xiàng)。雖有其局限性。但在運(yùn)用塑性增量理論求解大變形問題時(shí),它仍然是適用的。對小應(yīng)變理論,一般認(rèn)為點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)的初始坐標(biāo)來表示，但記法上用x而不用X。4.1小應(yīng)變理論小應(yīng)變理論是研24.1.1幾何方程（geometryequation）

4.1.1幾何方程（geometryequation）3一般小應(yīng)變理論可表示為:其中,且為一個對稱張量.所以若已知ui,由幾何方程,通過求導(dǎo)可得出,但若已知卻不能通過積分求出ui.

因?yàn)閡i中包括剛體平動uip和轉(zhuǎn)動而一般小應(yīng)變理論可表示為:4討論：

1.物理意義：表示位移(displacement)與應(yīng)變(strain)之間的關(guān)系；2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的相對位移（產(chǎn)生應(yīng)變）和變形體的剛性位移（平動和轉(zhuǎn)動）；3.工程剪應(yīng)變

理論剪應(yīng)變

4.應(yīng)變符號規(guī)定：正應(yīng)變或線應(yīng)變()：伸長為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變或切應(yīng)變（）：夾角減小為正，增大為負(fù)；5.推導(dǎo)中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級數(shù)展開等。討論：54.1.2一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)

指圍繞該點(diǎn)截取的無限小單元體的各棱長及棱間夾角的變化情況。可表示為張量形式：

應(yīng)變張量（straintensor）也可進(jìn)行與應(yīng)力張量類似的分析。

(i,j=x,y,z)4.1.2一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)(i,j=x,y,z64.1.3應(yīng)變協(xié)調(diào)（連續(xù)）方程

4.1.3應(yīng)變協(xié)調(diào)（連續(xù)）方程7討論：

1.物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系；“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積；2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個應(yīng)變分量中有兩個確定，則第三個也就能確定；在三維空間內(nèi)三個切應(yīng)變分量如果確定，則正應(yīng)變分量也就可以確定；3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。

討論：84.1.4應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似

4.1.4應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性9

差異性：概念：應(yīng)力研究面元ds上力的集度應(yīng)變研究線元dl的變化情況內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力—應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)變—應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程彈性變形：相容方程塑性變形：體積不變條件

差異性：10等效關(guān)系：等效應(yīng)力—彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同等效應(yīng)變—彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同對于彈性變形：（——泊松比）對于塑性變形：真實(shí)應(yīng)力和真實(shí)應(yīng)變含義：表示某瞬時(shí)的應(yīng)力值表示對某瞬時(shí)之前的應(yīng)變的積分等效關(guān)系：表示某瞬時(shí)的應(yīng)力值表示對某瞬時(shí)之前的應(yīng)變的積分11主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：主應(yīng)力—9種；主應(yīng)變—3種[但只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合（塑性變形力學(xué)圖），為什么？]主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：124.2大應(yīng)變理論

大應(yīng)變理論又叫有限應(yīng)變理論。應(yīng)變分有限的（大變形）和無限小的（小變形）兩種情況。一般小應(yīng)變用增量理論（d)研究。而金屬壓力加工經(jīng)常是大變形，因此在處理工程問題時(shí)，增量理論就有其局限性，這時(shí)應(yīng)使用對數(shù)應(yīng)變來表示有限應(yīng)變。研究連續(xù)體的運(yùn)動有兩種方法:第一種是拉格朗日(Lagrange)方法，它立足于質(zhì)點(diǎn)本身，即研究與某質(zhì)點(diǎn)相關(guān)的某個標(biāo)量、向量或張量的變化規(guī)律；第二種是歐拉(Euler)方法，這種方法著眼于觀察者空間變化的質(zhì)點(diǎn)，所考察的物理量是空間點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。4.2大應(yīng)變理論大應(yīng)變理論又叫有限134.2.1拉格朗日(Lagrange)有限應(yīng)變理論

假設(shè)兩個無限接近的點(diǎn)M和N在由區(qū)域D變換到區(qū)域E時(shí)，分別占據(jù)空間點(diǎn)m和n，如圖所示。在固定坐標(biāo)系ox1x2x3(隨動坐標(biāo)與t有關(guān))中，用徑向來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，則有M（X），N（X+dX），向量MN是X的微分dX。又有m（x），n(x+dx)，向量mn是x的微分dx。4.2.1拉格朗日(Lagrange)有限應(yīng)變理論14

如果M點(diǎn)的位移用u表示，而位移又是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，則N點(diǎn)的位移可表示為u+du。這里u并不為很小的量，即時(shí)間間隔Δt并不是很小的量。另外,向量dX的自乘是其模MN的平方，所以有

(ｉ，p，k=1，2，3)

即:同樣有：（標(biāo)量）（張量）（向量）如果M點(diǎn)的位移用u表示，而位移又是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)15由于已知對坐標(biāo)的微分為:

或由于已知16用線元的模的平方差反映線元長度的變化:線元長度的變化用相對值表示:于是拉格朗日有限應(yīng)變張量為:用線元的模的平方差反映線元長度的變化:17證明：Lik是應(yīng)變張量?因?yàn)?在三角形OmM中有所以證明：Lik是應(yīng)變張量?18廣義上來說，位移對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為應(yīng)變。Lik為應(yīng)變張量.將其顯示展開，則有:將該公式與比較。廣義上來說，位移對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為應(yīng)變。19同理:而比較柯西應(yīng)變和拉格朗日應(yīng)變:

柯西應(yīng)變:參照系固定

拉格朗日應(yīng)變:參照系是運(yùn)動的再比較線應(yīng)變:同理:204.2.2歐拉(Euler)有限應(yīng)變理論

用這種方法描寫介質(zhì)的運(yùn)動時(shí)，無法測得質(zhì)點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的情況，但能測得每一空間點(diǎn)處所流過的質(zhì)點(diǎn)的速度。向量dX的模的平方可記為:

向量dx的模的平方可寫成:4.2.2歐拉(Euler)有限應(yīng)變理論21令稱Eik為歐拉有限應(yīng)變張量它是一個二階對稱張量。同樣也可以證明Eik為應(yīng)變張量.用位移表示Eik就是它的展開式寫法和Lik的展開式寫法類似.令22比較(1)Lik是以變形前的坐標(biāo)軸X為基準(zhǔn);Eik是以變形后的坐標(biāo)軸x為基準(zhǔn)；

ik是以固定坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)。(2)對于單向應(yīng)變中

（瞬時(shí)值）比較(1)Lik是以變形前的坐標(biāo)軸X為基準(zhǔn);23例如:

如果變形體內(nèi)某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動可以用下列線性變換來描述:求Eik和Lik.解:

例如:24同樣：即:可看出bi未進(jìn)入應(yīng)變張量,說明bi反映變形體的剛性位移.現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第四章課件254.2.3有限應(yīng)變張量的應(yīng)用1.實(shí)驗(yàn)應(yīng)用(experimentalsimulation)(1)網(wǎng)格法(2)云紋法(莫爾法)2.數(shù)值分析(numericalsimulation)主要是將Deform2D/3D用于體積成形(massivedeformation).主要采用Lagrange方法。MSC.SuperForge軟件使用Eulerian網(wǎng)格。L-E方法穩(wěn)態(tài)變形。4.2.3有限應(yīng)變張量的應(yīng)用1.實(shí)驗(yàn)應(yīng)用(exp26回顧與思考1.εL和εE是有限應(yīng)變張量，如何證明？特點(diǎn)：二階張量中的9個分量是否對稱,如何證明？2.小應(yīng)變增量dεij，當(dāng)積分路線已知時(shí)，通過積分可求出應(yīng)變量εij；那么如果積分路線不可知呢，應(yīng)該如何求解？3.

對數(shù)應(yīng)變(1)在穩(wěn)態(tài)變形過程中，應(yīng)變主軸（ε1，ε2，ε3）在變形過程中不變（位移分量是坐標(biāo)的一次函數(shù)）；(2)對于非穩(wěn)態(tài)變形（例如單向拉伸時(shí)出現(xiàn)的頸縮現(xiàn)象），應(yīng)變的計(jì)算采用對數(shù)應(yīng)變（真應(yīng)變）。

回顧與思考1.εL和εE是有限應(yīng)變張量，如何證明？27

在單向拉伸中:則在工程應(yīng)變中:單向壓縮時(shí):同理:

但對于多向拉伸或壓縮時(shí),應(yīng)該如何求解呢?另外,對數(shù)應(yīng)變是不是張量呢?(注:汪家才認(rèn)為對數(shù)應(yīng)變是張量.)還有,一般在大變形時(shí)采用對數(shù)應(yīng)變計(jì)算,且在計(jì)算過程中不考慮積分路線,為什么?（提示:對數(shù)應(yīng)變是可以疊加的,但工程應(yīng)變不可疊加.）（負(fù)值）在單向拉伸中:（負(fù)值）284.3正交曲線坐標(biāo)下的應(yīng)變張量小應(yīng)變張量(柯西方程)為在正交曲線坐標(biāo)下的位移場為:

(其中上標(biāo)-表示在曲線坐標(biāo)下的分量.)表示位移沿每一點(diǎn)的局部坐標(biāo)基方向的投影.各量的下標(biāo)都是對局部坐標(biāo)基而言的.4.3正交曲線坐標(biāo)下的應(yīng)變張量小應(yīng)變張量(柯西方程)為29通過推導(dǎo),可求出:以上兩式經(jīng)下標(biāo)輪換后可得其它四個分量.下面給出柱坐標(biāo)和球坐標(biāo).對于柱坐標(biāo),令,有:通過推導(dǎo),可求出:30對于球坐標(biāo),令,有:對于球坐標(biāo),令31第四章應(yīng)變場

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Chapter4Strai324.1小應(yīng)變理論

小應(yīng)變理論是研究非連續(xù)體運(yùn)動的。該理論一般認(rèn)為位移u對坐標(biāo)x或X的導(dǎo)數(shù)是很小的。在該理論中通常假設(shè)位移本身和位移梯度都是很小的。小變形下的應(yīng)變張量的意義是相對應(yīng)變，它是從位移導(dǎo)數(shù)張量中扣除剛性轉(zhuǎn)動張量以后剩下的變形項(xiàng)。雖有其局限性。但在運(yùn)用塑性增量理論求解大變形問題時(shí),它仍然是適用的。對小應(yīng)變理論,一般認(rèn)為點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)的初始坐標(biāo)來表示，但記法上用x而不用X。4.1小應(yīng)變理論小應(yīng)變理論是研334.1.1幾何方程（geometryequation）

4.1.1幾何方程（geometryequation）34一般小應(yīng)變理論可表示為:其中,且為一個對稱張量.所以若已知ui,由幾何方程,通過求導(dǎo)可得出,但若已知卻不能通過積分求出ui.

因?yàn)閡i中包括剛體平動uip和轉(zhuǎn)動而一般小應(yīng)變理論可表示為:35討論：

1.物理意義：表示位移(displacement)與應(yīng)變(strain)之間的關(guān)系；2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的相對位移（產(chǎn)生應(yīng)變）和變形體的剛性位移（平動和轉(zhuǎn)動）；3.工程剪應(yīng)變

理論剪應(yīng)變

4.應(yīng)變符號規(guī)定：正應(yīng)變或線應(yīng)變()：伸長為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變或切應(yīng)變（）：夾角減小為正，增大為負(fù)；5.推導(dǎo)中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級數(shù)展開等。討論：364.1.2一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)

指圍繞該點(diǎn)截取的無限小單元體的各棱長及棱間夾角的變化情況。可表示為張量形式：

應(yīng)變張量（straintensor）也可進(jìn)行與應(yīng)力張量類似的分析。

(i,j=x,y,z)4.1.2一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)(i,j=x,y,z374.1.3應(yīng)變協(xié)調(diào)（連續(xù)）方程

4.1.3應(yīng)變協(xié)調(diào)（連續(xù)）方程38討論：

1.物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系；“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積；2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個應(yīng)變分量中有兩個確定，則第三個也就能確定；在三維空間內(nèi)三個切應(yīng)變分量如果確定，則正應(yīng)變分量也就可以確定；3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。

討論：394.1.4應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似

4.1.4應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性40

差異性：概念：應(yīng)力研究面元ds上力的集度應(yīng)變研究線元dl的變化情況內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力—應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)變—應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程彈性變形：相容方程塑性變形：體積不變條件

差異性：41等效關(guān)系：等效應(yīng)力—彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同等效應(yīng)變—彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同對于彈性變形：（——泊松比）對于塑性變形：真實(shí)應(yīng)力和真實(shí)應(yīng)變含義：表示某瞬時(shí)的應(yīng)力值表示對某瞬時(shí)之前的應(yīng)變的積分等效關(guān)系：表示某瞬時(shí)的應(yīng)力值表示對某瞬時(shí)之前的應(yīng)變的積分42主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：主應(yīng)力—9種；主應(yīng)變—3種[但只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合（塑性變形力學(xué)圖），為什么？]主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：434.2大應(yīng)變理論

大應(yīng)變理論又叫有限應(yīng)變理論。應(yīng)變分有限的（大變形）和無限小的（小變形）兩種情況。一般小應(yīng)變用增量理論（d)研究。而金屬壓力加工經(jīng)常是大變形，因此在處理工程問題時(shí)，增量理論就有其局限性，這時(shí)應(yīng)使用對數(shù)應(yīng)變來表示有限應(yīng)變。研究連續(xù)體的運(yùn)動有兩種方法:第一種是拉格朗日(Lagrange)方法，它立足于質(zhì)點(diǎn)本身，即研究與某質(zhì)點(diǎn)相關(guān)的某個標(biāo)量、向量或張量的變化規(guī)律；第二種是歐拉(Euler)方法，這種方法著眼于觀察者空間變化的質(zhì)點(diǎn)，所考察的物理量是空間點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。4.2大應(yīng)變理論大應(yīng)變理論又叫有限444.2.1拉格朗日(Lagrange)有限應(yīng)變理論

假設(shè)兩個無限接近的點(diǎn)M和N在由區(qū)域D變換到區(qū)域E時(shí)，分別占據(jù)空間點(diǎn)m和n，如圖所示。在固定坐標(biāo)系ox1x2x3(隨動坐標(biāo)與t有關(guān))中，用徑向來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，則有M（X），N（X+dX），向量MN是X的微分dX。又有m（x），n(x+dx)，向量mn是x的微分dx。4.2.1拉格朗日(Lagrange)有限應(yīng)變理論45

如果M點(diǎn)的位移用u表示，而位移又是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，則N點(diǎn)的位移可表示為u+du。這里u并不為很小的量，即時(shí)間間隔Δt并不是很小的量。另外,向量dX的自乘是其模MN的平方，所以有

(ｉ，p，k=1，2，3)

即:同樣有：（標(biāo)量）（張量）（向量）如果M點(diǎn)的位移用u表示，而位移又是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)46由于已知對坐標(biāo)的微分為:

或由于已知47用線元的模的平方差反映線元長度的變化:線元長度的變化用相對值表示:于是拉格朗日有限應(yīng)變張量為:用線元的模的平方差反映線元長度的變化:48證明：Lik是應(yīng)變張量?因?yàn)?在三角形OmM中有所以證明：Lik是應(yīng)變張量?49廣義上來說，位移對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為應(yīng)變。Lik為應(yīng)變張量.將其顯示展開，則有:將該公式與比較。廣義上來說，位移對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為應(yīng)變。50同理:而比較柯西應(yīng)變和拉格朗日應(yīng)變:

柯西應(yīng)變:參照系固定

拉格朗日應(yīng)變:參照系是運(yùn)動的再比較線應(yīng)變:同理:514.2.2歐拉(Euler)有限應(yīng)變理論

用這種方法描寫介質(zhì)的運(yùn)動時(shí)，無法測得質(zhì)點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的情況，但能測得每一空間點(diǎn)處所流過的質(zhì)點(diǎn)的速度。向量dX的模的平方可記為:

向量dx的模的平方可寫成:4.2.2歐拉(Euler)有限應(yīng)變理論52令稱Eik為歐拉有限應(yīng)變張量它是一個二階對稱張量。同樣也可以證明Eik為應(yīng)變張量.用位移表示Eik就是它的展開式寫法和Lik的展開式寫法類似.令53比較(1)Lik是以變形前的坐標(biāo)軸X為基準(zhǔn);Eik是以變形后的坐標(biāo)軸x為基準(zhǔn)；

ik是以固定坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)。(2)對于單向應(yīng)變中

（瞬時(shí)值）比較(1)Lik是以變形前的坐標(biāo)軸X為基準(zhǔn);54例如:

如果變形體內(nèi)某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動可以用下列線性變換來描述:求Eik和Lik.解:

例如:55同樣：即:可看出bi未進(jìn)入應(yīng)變張量,說明bi反映變形體的剛性位移.現(xiàn)代材料加工力學(xué)-第四章課件564.2.3有限應(yīng)變張量的應(yīng)用1.實(shí)驗(yàn)應(yīng)用(experimentalsimulation)(1)網(wǎng)格法(2)云紋法(莫爾法)2.數(shù)值分析(numericalsimulation)主要是將Deform2D/3D用于體積成形(massivedeformation).主