隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論

上節(jié)介紹了隨機變量的數(shù)學期望，它反映了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.復習五條性質(zhì):2022/12/191隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!§2方差上節(jié)的例1甲班有30名學生，他們的數(shù)學考試成績(按五級記分)如右表所示,成績

12345人數(shù)

251085成績

12345人數(shù)

001460

乙班則該班的平均成績也是

你認為兩個班的成績一樣嗎?

為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們要介紹的

則該班的平均成績1.

概念的引入

2022/12/192隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!2.方差(Variance或Dispersion)定義.設X是一隨機變量，則稱E[X-E(X)]2稱為X的方差,記作D(X)即方差的算術平方根稱為X的標準差，記作即若E[X－E(X)]2存在，2022/12/193隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!3.

方差的計算

(1)利用隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望公式離散隨機變量的方差連續(xù)隨機變量的方差2022/12/194隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!(2)利用方差公式且E(X2)也存在,則證明:定理：設隨機變量X的數(shù)學期望E(X)存在，2022/12/195隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!解:例2.若X～B(n,p),求方差D(X).已求得=E(X),其中X~B(n-1,p)2022/12/196隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!已求得例4.若X～U(a,b),求D(X).解:2022/12/197隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!指數(shù)分布r為整數(shù)

n時，(n)

=

(n

－1)!

2022/12/198隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!二、方差的性質(zhì)2022/12/199隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!求解：例.設X1,X2相互獨立，由X1,X2

相互獨立，有2022/12/1910隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!一、原點矩與中心矩1.

k階原點矩：2.

k階中心矩：特別地，k=1,E(X)為數(shù)學期望.k=2,E[X-E(X)]2為方差.k=2,E(X2)為2階原點矩,其計算公式特別地，k=1,E[X-E(X)]=0.2022/12/1911隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!協(xié)方差的簡便計算方法：2022/12/1912隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!定義.設隨機變量X與Y的數(shù)學期望和方差都存在，為X與Y的相關系數(shù)，注：相關系數(shù)R(X,Y)僅表示X與Y之間的線性關系.則稱記作2.相關系數(shù)2022/12/1913隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!對于任意的正數(shù)設X的數(shù)學期望E(X)與方差D(X)存在,

有或切比雪夫不等式2022/12/1914隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!注

(1)切比雪夫不等式的用途：它給出了在X的分布未知的情況下，估計概率的方法；(2)說明了方差D(X)的確刻畫了X對E(X)偏離程度.由可知:D(X)越小(即X偏離E(X)程度越小),越大，(表明X取值越集中在E(X)的附近)；(3)它是大數(shù)定律的理論基礎.2022/12/1915隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!（由切比雪夫不等式）2022/12/1916隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!方差都存在，切比雪夫定理解釋：若獨立序列X1,X2,…,Xn,…的數(shù)學期望和并且方差是一致有上界的,則n充分大時,算術平均緊密地集中在其數(shù)學期望的附近.2022/12/1917隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!1.理解方差的定義：2.熟悉方差的性質(zhì):內(nèi)容小結(jié)2022/12/1918隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!3.熟悉一些常見分布的方差①若X～B(n,p),D(X)=npq;②若③若X～U(a,b),④若2022/12/1919隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!注:(2)方差D(X)用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散的程度,反映了X偏離其數(shù)學期望E(X)的程度.(3)如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中),以E(X)作為隨機變量X的代表性越差（好）.≥0;(1)由定義知，D(X)=E[X-E(X)]22022/12/1920隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!PX

-1012

0.10.

10.50.3解：求例1.設隨機變量X的分布列為=0.82022/12/1921隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!PX

-1012

0.10.

10.50.3求例1(續(xù)).設隨機變量X的分布列為PX21014

0.10.

10.50.3PX2104

0.60.

10.32022/12/1922隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!解:例3.

若求D(X).已求得=E(X),其中X~P(lambda)2022/12/1923隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!解:例5.

若求D(X).已求得=E(X),其中X~e(1)2022/12/1924隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!U(a,

b)e(

)P(

)B(n,p)(0—1)

ppqnpnpq

常用隨機變量的期望與方差分布分布列或密度函數(shù)期望方差2022/12/1925隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!例.已知隨機變量X的數(shù)學期望E(X)與設隨機變量試證證：(標準化的隨機變量)都存在,且2022/12/1926隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!基本內(nèi)容：一、原點矩與中心矩一、協(xié)方差與相關系數(shù)第三節(jié)原點矩與中心矩

第四節(jié)協(xié)方差與相關系數(shù)2022/12/1927隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!1.協(xié)方差定義.隨機變量X與Y的函數(shù)[X-E(X)][Y-E(Y)]的數(shù)學期望存在，則稱其為X與Y的協(xié)方差,cov(X,Y),即記作二、協(xié)方差和相關系數(shù)

——反映兩個變量X和Y相關性的數(shù)字特征2022/12/1928隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!若X與Y相互獨立，則X與Y一定不相關;分析:由于X與Y相互獨立,則協(xié)方差cov(X,Y)=0,

證明：由X與Y相互獨立，有兩個隨機變量獨立與不相關的關系：不一定成立.所以X與Y不相關.反之,X與Y不相關cov(X,Y)=0.2022/12/1929隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!基本內(nèi)容：一、切比雪夫不等式二、大數(shù)定律第五節(jié)

切比雪夫不等式與大數(shù)定律2022/12/1930隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!證：僅選擇連續(xù)隨機變量的情形來證明.設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),則有2022/12/1931隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!例.已知正常男性成人的每毫升血液中白細胞數(shù)平均在7300,標準差是700,利用切比雪夫不等式估計每毫升血液中白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.(P94.19題)解：設隨機變量設X表示每毫升血液中白細胞數(shù)，依題意得2022/12/1932隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!則對于任意的正數(shù)1.切比雪夫定理定理：設獨立隨機變量序列X1,X2,…,Xn,…的數(shù)學期望E(X1),E(X2),…,E(Xn),…,D(X1),D(X2),…,D(Xn),…都存在，與方差并且方差是一致有上界的,即存在常數(shù)C,使得D(Xi)≤C,i=1,2,…,n,…有2022/12/1933隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!2.伯努利定理定理：在獨立試驗序列中，設事件Ａ的概率P(A)=p,則對于任意的正數(shù)有伯努利定理解釋：當試驗獨立重復進行多次時，隨機事件A的頻率fn(A)將穩(wěn)定在事件A的概率的附近.2022/12/1934隨機變量的數(shù)字特征之方差1概率論共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!(5)若E(X)與D(X)