2020-2021學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)選修2-1第3章空間向量與立體幾何綜合檢測(cè)題-【含答案】

人教A版選修2-1第三章空間向量與立體幾何綜合檢測(cè)題一、單選題1.已知空間向量"=（T°'3）,6=（3,-2,X）,若力則實(shí)數(shù)X的值是（）.A.-1 B.0 C.1 D.2.若二面角a-1-B的大小為120°,則平面a與平面B的法向量的夾角為（）B.6B.60°C.120°或C.120°或60°.若平面a的一個(gè)法向量為々=（1,0,1）,平面B的一個(gè)法向量是〃2=（-3,1,3）,則平面a與B所成的角等于（）30°45°60°90°30°45°60°90°.如圖,在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）/88-44GA中萬(wàn)為8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，元=2屈，則=.與向量"二（1'一"2）平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）.在正三棱柱"8C—44G中，側(cè)棱長(zhǎng)為底面三角形的邊長(zhǎng)為1,則8G與側(cè)面”CG4所成角的大小為（）ClA.30° B.45。 c.60。 D.90。.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1,E、E分別是棱8C、0A上的點(diǎn),若B\EJ-平面ABF,則CE與DF的長(zhǎng)度之和為（）.A,B,2叵TGc.—D.18.己知正方體"Be。一44G2的棱長(zhǎng)為i,點(diǎn)m在"G上且l"G,點(diǎn)N為瓦8的中點(diǎn)，則對(duì)為（）.V66V156后6V1539.已知《23）、8（2,12）、尸（口2）,點(diǎn)。在直線°P上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)33取最小

值時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)是（ ）.111、一，一，-,A.C.MTD.SO333A.C.MTD.SO10.如圖所示，正方形48E與等腰心&4匿所在的平面互相垂直,10.AC=BC=2f/ACB=90°,F、G分別是線段ZE、8c的中點(diǎn)，則4。與GE所成的角的余弦值為（ ）.GE所成的角的余弦值為（ ）.A.'VB.C.D.11.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y2)；若|a|=6,a±bt則x+V的值是().-3或1

一3C.1D.3或一1.如圖所示，在平行六面體"c，一44GA中，河為4c與鶴的交點(diǎn)，若"=a,AD=b,'4=c,則下列向量中與兩相等的向量是（ ）丈+丈+匕+)B.2 2^a-^b+cD.2 2^a-^b+cD.2 2——a——o+c2 2二、填空題.己知向量且用=（，，）, 蔡〃），則兄的值為..在樓長(zhǎng)為1的正方體力sc。-44G4中，e是線段的中點(diǎn)，尸是線段BB］的中點(diǎn)，則直線77G到平面4B\E的距離為.如圖所示，正方體'8CO-4片￡〃的棱長(zhǎng)為1,0是底面48cA的中心，則°到平面48GG的距離為..在長(zhǎng)方體ABCD-4aCR中，"4="8=2,"D=1,點(diǎn)F,G分別是'民0G的中點(diǎn)，則點(diǎn)口到直線GF的距離為.

三、解答題.在空間四邊形中，E是線段8c的中點(diǎn)，G在線段/￡上，且AG=2GE⑴試用04°民。。表示向量百（2）若04=2,08=3,0C=4,ZAOC=ZBOC=60°tNZO8=90。，求的值及的值及.如圖，等腰04=08=2,點(diǎn)C是的中點(diǎn)，a/OB繞8°所在的邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周.(1)求aZBC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積/和表面積S；2tt(2)設(shè)04逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至℃,旋轉(zhuǎn)角為3,求異面直線/C與8。所成角的大小..如圖，在長(zhǎng)方體一481GA中，",=四=1，"=2,點(diǎn)￡■在棱48上移動(dòng)

(I)證明：D\ELA\D.(II)當(dāng)E為48的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面的距離.選用合.如圖，正方體"8C0-44GA中，〃、N分別為48、4c的中點(diǎn).選用合適的方法證明以下問(wèn)題：D\ GD\ G(1)證明：平面48°//平面8cA；(2)證明：MN，面48。..如圖，四棱錐尸一Z8CO中，平面“8CQ、底面Z8C0為菱形,°。的中點(diǎn).(1)證明：尸8〃平面4EC；(2)設(shè)P"=1，N8"O=12°,菱形/8C。的面積為2道，求二面角力一4后一0的余弦值..已知長(zhǎng)方體N6344CQ中，3①2,/4=L為4G的中點(diǎn)⑴證明BD，/平面B[EC；⑵求直線與平面8日所成角的正弦值.答案c【分析】根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閆_l3,所以。3=0,因此；有一1*3+°*(—2)+3'=°=>》=1.故選：CC【分析】利用法向量的夾角和二面角的關(guān)系解答.【詳解】二面角為120°時(shí)，其法向量的夾角可能是60。,也可能是120°故答案為C本題主要考查二面角的大小和法向量的夾角的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.D【分析】先求出所以al/,即得平面a與B所成的角.【詳解】 !' >因?yàn)? =(1,0,1)(3,1,3)=0,所以al2即平面a與￡所成的角等于90°.故選:D(1)本題主要考查利用面面垂直的向量表示，意在考察學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力。)兩平面的法向量垂直，則兩平面互相垂直.B【分析】如圖所示，取6c的中點(diǎn)尸，連接4尸，先證明彳尸=*,再求出AXF=-AA}+AB+—AD2 ,即得解.【詳解】如圖所示，取8C的中點(diǎn)尸，連接則4AIIFE且4Qi=FE???四邊形42即是平行四邊形,4^11D1E艮AXF=D]E,；.A}F=DXE衣=函+方+而=_羽+而+!亞又 2：.d^e=Jb+-ad-aa.2 1,故答案為B本題主要考查平行六面體的性質(zhì)、空間向量的運(yùn)算法則，意在考查空間想象能力以及利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.C【分析】根據(jù)向量共線定理判定即可.【詳解】（3=；0，3,3） -對(duì)于A,由于13J3，所以與向量a不共線，故A不正確.對(duì)于B,由題意得向量（一1'-3,2）與向量［不共線，故b不正確.對(duì)于C,由于I22） 2，所以與向量。共線，故C正確.對(duì)于D,由題意得向圜正，-3,02及）與向量&不共線，故D不正確.故選C.判斷兩個(gè)向量a》是否共線的方法是判斷兩個(gè)向量之間是否滿足"二址S*①，其中2為常數(shù)，本題考查計(jì)算能力和變形能力，屬于基礎(chǔ)題.A【分析】以C為原點(diǎn)，。為x軸，在平面/8C中過(guò)C作4c的垂線為y軸，°G為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后算出平面ACC'A'的法向量和BCi的坐標(biāo)即可.以。為原點(diǎn)，。/為X軸，在平面Z8C中過(guò)C作/1C的垂線為V軸，CG為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則哈劌的,也嚴(yán)"平面"G4的法向量〃設(shè)8G與側(cè)面ACCA所成角的大小為?,BG與側(cè)面40G4所成角的大小為30°故選：A.D【分析】以"為坐標(biāo)原點(diǎn)，24、RG、RD為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用與E?必即可求出【詳解】以"為坐標(biāo)原點(diǎn)，〃4、4G、RD為X、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CE-x0,DF-%,則E(x0,lL),5,(MO)/(0,01-%),8(1,1,1),...=(X?！?,01),FB=(1,1>y0),由于4E_L平面/§產(chǎn)，BXE-FB=(x0—1,01)-^11 —1+0+Vo=0,即Xo+_yo=l,故CE與。尸的長(zhǎng)度之和為1.故選：D.C【分析】先以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系。一切z,設(shè)"(x,j,z),根據(jù)已知向量關(guān)系直接求點(diǎn)M，再根據(jù)向量模長(zhǎng)的定義計(jì)算即可.【詳解】以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一XJN,則“(L°，°),G(°』，l)設(shè)A/(x,y,z),...點(diǎn)加在上且2 ,... 2 ,D【分析】由點(diǎn)°在直線。尸上運(yùn)動(dòng)，設(shè)。=(乙42'),利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出。(3,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出取最小值時(shí)的點(diǎn)。的坐標(biāo).【詳解】???點(diǎn)。在直線。尸上運(yùn)動(dòng)，.?.°=(/U'2'),.必?切=(1一；1,2tZ3l24)?(2—義1-42-24)=(l-A)(2-A)+(2-A)(l-A)+(3-2A)-(2-2A)) 4,3=622-162+10=6(/1-^)2-144 448???§時(shí)。力，”取最小值，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3，?3),故選：D.C【分析】先依題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量瓦，GF,再計(jì)算夾角余弦值7^\ADGFcos(AD,GF)=I一iI_I\ /\ad\-\gf\“ AI11I,其絕對(duì)值即是所求角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意，建立以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C一型，則/(°，2,0),8(2,0,0),0(0,0,2)G(l,0,0)F(0,2,l)，，，.力=(0,-2,2),存=(一1,2,1),...⑷=2應(yīng)，閉=件ADGF=-2ci"器W功Gf1111，二直線與GF所成角的余弦值為6.故選：C.【分析】J4+16+X2=36根據(jù)0=6,也，由14+4y+2x=0求解【詳解】因?yàn)镮。1=6,a±bt4+16+x2=36所以（4+4y+2x=0,x=4 fx=-4解得b=—3或［y=i,所以x+y=i或x+y=—3,故選：A.A【分析】在平行六面體44GA中，結(jié)合空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】在平行六面體/6C。-4B￡Di中，”為4G與BR的交點(diǎn)，兩=函+麗=g（亦+初）+福= +m故選：A.32【分析】利用向量平行的性質(zhì)直接求解.【詳解】解：\?向量加=（2,3,6）,?=0,4,3）,且玩〃萬(wàn)，A3一=—=一36,,3Z=—解得2.故2.2_3【分析】先證明FG"平面AB\E,再求出平面AB^E的法向量和直線EF的方向向量后可求直線EG到平面'與"的距離.【詳解】4后=（_1,0,；）,用=（一1,0,￡| AE=FC所以 1 2人所以4力一9，而?tEu平面FC1①平面,故/。"平面所以直線FC'到平面AB'E的距離即為點(diǎn)F到平面4B1E的距離▽喬=（1,1,0）函=（0,1,1）乂 T ，設(shè)平面陽(yáng)￡的法向量為〃=（x，y，z）,/y+z=0故?X+2°,取z=2,則〃=（『2,2）,故點(diǎn)尸到平面"4"的距離為H3,故答案為.3方法點(diǎn)睛：點(diǎn)到平面的距離，可利用線面垂直來(lái)求解，也可利用斜線的方向向量和平面的法向量來(lái)求解，解題中注意合理選擇方法.旦4【分析】以。為原點(diǎn)，為片卜/軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】以。為原點(diǎn)，為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得“點(diǎn)4'11/（1,0,0）,.（。,?！梗├?（0,1,0），西=（-1,0,1）設(shè)平面/8GR的法向量為“=（X"）,ABn=y=0四萬(wàn)=一》+2=0,令》=1,則萬(wàn)=。,0,1）,d=???O到平面/5G2的距離V2本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，常用的方法有等體積法，垂線法，空間向量方法，利用空間向量方法求解是比較方便的方法.V423【分析】以。為原點(diǎn)，。/為x軸，0c為V軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)2到直線G廠的距離.【詳解】以。為原點(diǎn)，ON為X軸，OC為V軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則2（°,0,2）,G（0,2,1）,尸（1,1,°）,西=（!-12）,的=（7,],1）,，點(diǎn)〃到直線G/7的距離:”西/溪島2=巫.\1"嗑餐）2=半V76x73 3V42二點(diǎn)A到直線G廠的距離為3V42故3.XX空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量：（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量：（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.OG=OG=-OA+-OB+-OC17.(1) 333【分析】（1）用向量的線性運(yùn)算可得.（2）把在用°8一°4表示后求得數(shù)量積，利用\=-J(OA+OB+OC)213 求模.【詳解】.————2——2—— 1—2—OG^OA+AG=OA+-AE=OA+-(OE-OA)=-OA+-OETOC\o"1-5"\h\z(D 3 3 3 3=-OA+-x-(OB+OC)^-OA+-OB+-OC3 32 3 3 3,―?■I■ ?...? ■ ■I■2 .2‘’1?.‘’一?■OGAB=-(OA+OB+OC)(OB-OA)=-(OB'-OA'+OCOB-OCOA)(2) 3 31, , 7=1(32-22+3x4cos600-4x2cos60°)=；

I.I1/ .一■~~Z-1/ *2 -2 **2 - ■ ■ ■ ■ ,|OG|=-yl(OA+OB+OC)2=-\lOA+OB+OC+2OAOB+2OBOC+2OAOC=-V22+32+42+2x2x4cos60O+2x3x4cos60°=-3 3關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間的基本定理，求向量的數(shù)量積和模.解題是選取04°民℃,其他向量都用基底表示，表示方法可用向量的加法法則、減法法則，數(shù)乘的定義進(jìn)行求解.這是基本方程，當(dāng)然也可利用向量線性運(yùn)算中的結(jié)論求解.71⑵2471⑵2丁 2乃(1)3.【分析】(1)利用體積、表面積公式，即可求旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積-和表面積S.(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積即可求異面宜線所成的角.【詳解】試題解析:1 4V=-x7rx22(2-1)=-^⑴ 3V73S=-x2^x2(272+75)=2萬(wàn)(2四+行)(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,A（2,0,0）C（O,O,1）B（0,0,2）9 ，（ 2乃 .21、D2cos—,2sin—,0 ￡＞（-1,73,0）由三角比定義，得I3 3人即《，，人則就=（-2,。,1）,而十1,瓜-2）AC~BD=2-2=0,所以ZC18O7T所以異面直線AC與BD所成角為2]_（I）證明見解析；（II）3.【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可:（II）利用空間點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線。/,DC,分別為x,y,z軸，建立空間宜角坐標(biāo)系,設(shè)NE=x,則4(1,0,1)P,(0,0,1)￡(l,x,0)4(1,0,0),C(0,2,0)(I)因?yàn)?"E=(L°, 1)=0,所以DAX_LD\E(II)因?yàn)镋為"的中點(diǎn)，則從而印=(1,1,-1)就=(-1,2,0)^=(-1,0,1)設(shè)平面ACD'的法向量為“=（"也,）,n-AC=O萬(wàn).函=0—a+2b=0a=2b也即［-a+c=0,得［=c,取c=2,從而7=(2,1,2),2+1-21n="———-= =一所以點(diǎn)E到平面的距高為 1〃1 3 3.(1)證明見解析：(2)證明見解析.【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可(1)求出兩個(gè)平面的法向量，若兩法向量共線，則可得證；(2)求出向量若此向量與平面46。的法向量共線，則可得證【詳解】(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,￡＞（0,0,0）4（2,0,2）5（2,2,0）5,（2,2,2）C（0,2,0），（0,0,2）設(shè)平面的法向量為m=（xj，z）,..^4；=（2,0,2）麗=（2,2,0）?，，2x+2z=0?［2x4-2^=0取加=(T"),同理平面48的法向量為〃=㈠'L1), 加〃〃，. ABD//^B.CD.??平面? 平面?1；N分別為“8、8。的中點(diǎn)，.而=(TU).MNHm??，??，...MN，面A\BD.j_(1)證明見解析；(2)4.【分析】(1)連接80交4C于點(diǎn)°,連接則尸8//OE,利用線面平行的判定定理，即可得證；(2)根據(jù)題意，求得菱形48co的邊長(zhǎng)，取8C中點(diǎn)“，可證/JM,SC,如圖建系，求得點(diǎn)坐標(biāo)及"瓦坐標(biāo)，即可求得平面4CE的法向量，根據(jù)平面尸/。，可求得面/OE的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】(1)連接80交ZC于點(diǎn)°,連接則°、￡分別為"=/CWP疝正，就、P0的中點(diǎn)，所以PB//OE,又0Eu平面力CE,P8平面力CE所以P8//平面NCE

（2）由菱形/8C。的面積為2石，N84D=120°,易得菱形邊長(zhǎng)為2,取8c中點(diǎn)連接因?yàn)?8=/C,所以/WBC,以點(diǎn)月為原點(diǎn)，以幺加方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閂軸，/尸方向?yàn)閦軸，建立如圖所示坐標(biāo)系.Ij0（0,2,0）,/（0,0,0）,E（0,1,；）,C8,1,0）所以尼所以尼=4,1,0）設(shè)平面ACE的法向量〃?=（x/，z）,由"1,/瓦々_L/Cv+—z=0，2得［后+尸0,令x=則y=-3,z=6所以-個(gè)法向量涓（①一3,6）,因?yàn)锳M1PA,所以疝0，平面p/o,