復(fù)變函數(shù)課件

復(fù)變函數(shù)論Tel:第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用第七章共形映射第八章解析延拓第九章調(diào)和函數(shù)先從二次方程談起…公式：此公式早于公元前四百年，已被巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用。在中國的古籍《九章算術(shù)》中，亦有提及與二次方程有關(guān)的問題。復(fù)變函數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展簡史：

由二次方程到三次方程由于實(shí)際應(yīng)用上的需要，亦由于人類求知欲的驅(qū)使，很自然地，人類就開始尋找三次方程的解法。很可惜，經(jīng)過了差不多二千年的時(shí)間，依然沒有很大的進(jìn)展！

怪杰卡丹諾

(GirolamoCardano;15011576)一個(gè)多才多藝的學(xué)者一個(gè)放蕩不羈的無賴他精通數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、語言學(xué)、天文學(xué)、占星學(xué)一生充滿傳奇，人們稱他為「怪杰」。

怪杰1545年，卡丹諾在他的著作《大術(shù)》（ArsMagna）中，介紹了解三次方程的方法。從此，解三次方程的方法，就被稱為「卡丹諾公式」。卡丹諾公式解方程公式：

例二解

x3

=15x+4注意：m=15、n=4x=（無解）但非常明顯，x=4是方程的一個(gè)解！為什么？

虛數(shù)笛卡爾（RenéDecartes;15961650）法國著名的哲學(xué)家坐標(biāo)幾何的創(chuàng)始人1637年，他稱一個(gè)負(fù)數(shù)的開方為

虛數(shù)(imaginary

number)。但他不承認(rèn)虛數(shù)是數(shù)字的一種。復(fù)變函數(shù)的引入歐拉（LeonhardEuler,1707-1783）瑞士數(shù)學(xué)家。13歲入大學(xué)，17歲取得碩士學(xué)位，30歲右眼失明，60歲完全失明。著作非常多，深入每個(gè)數(shù)學(xué)分支，對后世影響深遠(yuǎn)。復(fù)變函數(shù)的引入1748年，歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，並寫出以下公式：

1777年，在他的著作《微分公式》中，首次使用i

來表示虛數(shù)。他創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并把它們應(yīng)用到水力學(xué)、地圖制圖學(xué)上。幾何解釋1797年，挪威數(shù)學(xué)家維塞爾（CasparWessel;17451818）提出復(fù)數(shù)的幾何解釋。實(shí)軸虛軸Oa+bir=r(cos+isin)1806年，法國數(shù)學(xué)家阿根（JeanRobertArgand;17681822）亦提出類似的解釋。自此，人們亦稱復(fù)數(shù)平面為「阿根圓」。代數(shù)基本定理高斯（CarlFriedrichGauss;1777-1855）德國數(shù)學(xué)家，人稱「數(shù)學(xué)王子」。18歲時(shí)，運(yùn)用一些復(fù)數(shù)運(yùn)算原理，以尺規(guī)畫出正十七邊形。20歲取得博士學(xué)位，並成功地證明了「代數(shù)基本定理」。確定復(fù)數(shù)的名稱。拉普拉斯，歐拉和達(dá)朗貝爾是復(fù)變函數(shù)論的先驅(qū)。1777年3月，歐拉向彼得堡科學(xué)院提交了一篇論文，論文中考慮了復(fù)變函數(shù)的積分比歐拉更早，達(dá)朗貝爾在1752年關(guān)于流體力學(xué)論文中已經(jīng)得到這兩個(gè)方程，有的教科書稱這兩個(gè)方程為達(dá)朗貝爾——?dú)W拉方程。

我國數(shù)學(xué)家楊樂、張廣厚在單復(fù)變函數(shù)的值分布理論和漸進(jìn)值理論的研究中取得了具有世界水平的成果，他們的研究進(jìn)一步充實(shí)了復(fù)變函數(shù)論的理論。

近幾十年來，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家龐加萊、阿達(dá)馬都做了大量的研究工作，開拓了復(fù)變函數(shù)更廣闊的領(lǐng)域。

現(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)理論及方法在數(shù)學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。比如，在復(fù)變函數(shù)理論最先得到成功應(yīng)用的流體力學(xué)、電磁學(xué)、平面彈性力學(xué)這三個(gè)領(lǐng)域中，復(fù)變函數(shù)方法已經(jīng)發(fā)展成為解決有關(guān)問題的幾種經(jīng)典方法之一。

復(fù)變函數(shù)不僅在其他學(xué)科得到廣泛應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，許多分支也都應(yīng)用它的理論，他已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對他們的發(fā)展有很大的影響。復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用

這樣取X=1，得矛盾！第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1復(fù)數(shù)3復(fù)變函數(shù)4復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)2復(fù)平面上的點(diǎn)集

加、減：乘法：

注:復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算除法：

容易證明:復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足分配律、交換律、結(jié)合律.

有序?qū)崝?shù)對(x,y)平面上一點(diǎn)P實(shí)軸、虛軸、復(fù)平面Z

平面、w

平面2.復(fù)平面xyO復(fù)數(shù)

代數(shù)表示復(fù)數(shù)向量表示的重要意義：能夠?qū)⒋鷶?shù)問題化為幾何問題，從而使問題變得直觀,由此立即得到下面不等式：oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1兩點(diǎn)距離公式顯然為整數(shù).3.復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的三角表示根據(jù)上式稱為復(fù)數(shù)的三角表示.Oxy可以得到復(fù)數(shù)的指數(shù)表示由歐拉公式可以得到復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式:(1)南極、北極的定義xyONSz復(fù)數(shù)的球面表示xxONSzP(z)z

球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).(2)復(fù)球面的定義

用來表示復(fù)數(shù)的這個(gè)球面稱為復(fù)球面.

全體復(fù)數(shù)與復(fù)球面-{N}成一一對應(yīng)關(guān)系.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)的幾何表示.xxONSzP(z)z(3)擴(kuò)充復(fù)平面的定義我們規(guī)定:北極N與一個(gè)模為無窮大的假想的點(diǎn)對應(yīng)這個(gè)假想的點(diǎn)稱為“復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”記作.復(fù)平面加上后稱為擴(kuò)充復(fù)平面，記作C注：如不聲明，我們討論的都是有限復(fù)平面。關(guān)于∞的運(yùn)算，規(guī)定如下：仍然不確定。381、乘積與商因此注意多值性4.復(fù)數(shù)的乘冪與方根39xyO判斷下列說法是否正確？幾何解釋(T)(F)40除法運(yùn)算或者集合等式41例1：已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為求三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)。xyO422、冪與根(2.1)定義z的n次冪：則有—---棣莫弗公式.(2.2)定義z的n次根：若有wn=z,則稱w為z的n次根，記為定義43如何求z的n次根呢？44當(dāng)k＝0，1，2，…，n－1時(shí)，得到n個(gè)相異的根：45xyo注46例3.例2.4748例1法一法二麻煩5.共軛復(fù)數(shù)

另外，還經(jīng)常用到以下性質(zhì)：顯然例2求復(fù)數(shù)（復(fù)數(shù)）的實(shí)部、虛部和模。解（1）因?yàn)椋?）因?yàn)椴⒂么说仁阶C明三角不等式。證其次則53例2：設(shè)試寫出f(z)的關(guān)于z表達(dá)式。分析：令解出x,y代入表達(dá)式整理可得。例3：設(shè)分析：令54例4：試證下列等式分析：6.復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例例9.下列方程各表示什么曲線？4）寫出直線的復(fù)數(shù)形式方程.1）2）解：1)、2)的關(guān)鍵是知道復(fù)數(shù)模的幾何意義，所以：1）表示圓周，

2）表示直線.3）3）化為實(shí)方程，為此代入，得化簡，得，表示一條直線.4）由得代入直線方程因而直線的方程為，其中