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復(fù)變函數(shù)論Tel:第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法第五章解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用第七章共形映射第八章解析延拓第九章調(diào)和函數(shù)先從二次方程談起…公式:此公式早于公元前四百年,已被巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用。在中國的古籍《九章算術(shù)》中,亦有提及與二次方程有關(guān)的問題。復(fù)變函數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展簡史:
由二次方程到三次方程由于實(shí)際應(yīng)用上的需要,亦由于人類求知欲的驅(qū)使,很自然地,人類就開始尋找三次方程的解法。很可惜,經(jīng)過了差不多二千年的時(shí)間,依然沒有很大的進(jìn)展!
怪杰卡丹諾
(GirolamoCardano;15011576)一個(gè)多才多藝的學(xué)者一個(gè)放蕩不羈的無賴他精通數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、語言學(xué)、天文學(xué)、占星學(xué)一生充滿傳奇,人們稱他為「怪杰」。
怪杰1545年,卡丹諾在他的著作《大術(shù)》(ArsMagna)中,介紹了解三次方程的方法。從此,解三次方程的方法,就被稱為「卡丹諾公式」。卡丹諾公式解方程公式:
例二解
x3
=15x+4注意:m=15、n=4x=(無解)但非常明顯,x=4是方程的一個(gè)解!為什么?
虛數(shù)笛卡爾(RenéDecartes;15961650)法國著名的哲學(xué)家坐標(biāo)幾何的創(chuàng)始人1637年,他稱一個(gè)負(fù)數(shù)的開方為
虛數(shù)(imaginary
number)。但他不承認(rèn)虛數(shù)是數(shù)字的一種。復(fù)變函數(shù)的引入歐拉(LeonhardEuler,1707-1783)瑞士數(shù)學(xué)家。13歲入大學(xué),17歲取得碩士學(xué)位,30歲右眼失明,60歲完全失明。著作非常多,深入每個(gè)數(shù)學(xué)分支,對后世影響深遠(yuǎn)。復(fù)變函數(shù)的引入1748年,歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系,並寫出以下公式:
1777年,在他的著作《微分公式》中,首次使用i
來表示虛數(shù)。他創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論,并把它們應(yīng)用到水力學(xué)、地圖制圖學(xué)上。幾何解釋1797年,挪威數(shù)學(xué)家維塞爾(CasparWessel;17451818)提出復(fù)數(shù)的幾何解釋。實(shí)軸虛軸Oa+bir=r(cos+isin)1806年,法國數(shù)學(xué)家阿根(JeanRobertArgand;17681822)亦提出類似的解釋。自此,人們亦稱復(fù)數(shù)平面為「阿根圓」。代數(shù)基本定理高斯(CarlFriedrichGauss;1777-1855)德國數(shù)學(xué)家,人稱「數(shù)學(xué)王子」。18歲時(shí),運(yùn)用一些復(fù)數(shù)運(yùn)算原理,以尺規(guī)畫出正十七邊形。20歲取得博士學(xué)位,並成功地證明了「代數(shù)基本定理」。確定復(fù)數(shù)的名稱。拉普拉斯,歐拉和達(dá)朗貝爾是復(fù)變函數(shù)論的先驅(qū)。1777年3月,歐拉向彼得堡科學(xué)院提交了一篇論文,論文中考慮了復(fù)變函數(shù)的積分比歐拉更早,達(dá)朗貝爾在1752年關(guān)于流體力學(xué)論文中已經(jīng)得到這兩個(gè)方程,有的教科書稱這兩個(gè)方程為達(dá)朗貝爾——?dú)W拉方程。
我國數(shù)學(xué)家楊樂、張廣厚在單復(fù)變函數(shù)的值分布理論和漸進(jìn)值理論的研究中取得了具有世界水平的成果,他們的研究進(jìn)一步充實(shí)了復(fù)變函數(shù)論的理論。
近幾十年來,復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展,維爾斯特拉斯的學(xué)生,瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家龐加萊、阿達(dá)馬都做了大量的研究工作,開拓了復(fù)變函數(shù)更廣闊的領(lǐng)域。
現(xiàn)在,復(fù)變函數(shù)理論及方法在數(shù)學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。比如,在復(fù)變函數(shù)理論最先得到成功應(yīng)用的流體力學(xué)、電磁學(xué)、平面彈性力學(xué)這三個(gè)領(lǐng)域中,復(fù)變函數(shù)方法已經(jīng)發(fā)展成為解決有關(guān)問題的幾種經(jīng)典方法之一。
復(fù)變函數(shù)不僅在其他學(xué)科得到廣泛應(yīng)用,而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里,許多分支也都應(yīng)用它的理論,他已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科,對他們的發(fā)展有很大的影響。復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用
這樣取X=1,得矛盾!第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1復(fù)數(shù)3復(fù)變函數(shù)4復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)2復(fù)平面上的點(diǎn)集
加、減:乘法:
注:復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算除法:
容易證明:復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足分配律、交換律、結(jié)合律.
有序?qū)崝?shù)對(x,y)平面上一點(diǎn)P實(shí)軸、虛軸、復(fù)平面Z
平面、w
平面2.復(fù)平面xyO復(fù)數(shù)
代數(shù)表示復(fù)數(shù)向量表示的重要意義:能夠?qū)⒋鷶?shù)問題化為幾何問題,從而使問題變得直觀,由此立即得到下面不等式:oxy(z)
z1z2
z1+z2z2-z1兩點(diǎn)距離公式顯然為整數(shù).3.復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的三角表示根據(jù)上式稱為復(fù)數(shù)的三角表示.Oxy可以得到復(fù)數(shù)的指數(shù)表示由歐拉公式可以得到復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式:(1)南極、北極的定義xyONSz復(fù)數(shù)的球面表示xxONSzP(z)z
球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).(2)復(fù)球面的定義
用來表示復(fù)數(shù)的這個(gè)球面稱為復(fù)球面.
全體復(fù)數(shù)與復(fù)球面-{N}成一一對應(yīng)關(guān)系.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)的幾何表示.xxONSzP(z)z(3)擴(kuò)充復(fù)平面的定義我們規(guī)定:北極N與一個(gè)模為無窮大的假想的點(diǎn)對應(yīng)這個(gè)假想的點(diǎn)稱為“復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”記作.復(fù)平面加上后稱為擴(kuò)充復(fù)平面,記作C注:如不聲明,我們討論的都是有限復(fù)平面。關(guān)于∞的運(yùn)算,規(guī)定如下:仍然不確定。381、乘積與商因此注意多值性4.復(fù)數(shù)的乘冪與方根39xyO判斷下列說法是否正確?幾何解釋(T)(F)40除法運(yùn)算或者集合等式41例1:已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為求三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)。xyO422、冪與根(2.1)定義z的n次冪:則有—---棣莫弗公式.(2.2)定義z的n次根:若有wn=z,則稱w為z的n次根,記為定義43如何求z的n次根呢?44當(dāng)k=0,1,2,…,n-1時(shí),得到n個(gè)相異的根:45xyo注46例3.例2.4748例1法一法二麻煩5.共軛復(fù)數(shù)
另外,還經(jīng)常用到以下性質(zhì):顯然例2求復(fù)數(shù)(復(fù)數(shù))的實(shí)部、虛部和模。解(1)因?yàn)椋?)因?yàn)椴⒂么说仁阶C明三角不等式。證其次則53例2:設(shè)試寫出f(z)的關(guān)于z表達(dá)式。分析:令解出x,y代入表達(dá)式整理可得。例3:設(shè)分析:令54例4:試證下列等式分析:6.復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例例9.下列方程各表示什么曲線?4)寫出直線的復(fù)數(shù)形式方程.1)2)解:1)、2)的關(guān)鍵是知道復(fù)數(shù)模的幾何意義,所以:1)表示圓周,
2)表示直線.3)3)化為實(shí)方程,為此代入,得化簡,得,表示一條直線.4)由得代入直線方程因而直線的方程為,其中
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