專升本高等數(shù)學(xué)壓軸大題

高等數(shù)學(xué)壓軸大題第一章函數(shù)、極限、連續(xù)重點題型一求函數(shù)極限?？碱}型,7種未定式9,0?8.00-8,-.8、0。0s常用方法:.等價代換(x->0)x?sinx?tanjc~arcsinx?arctanx~e"-1~ln(l+x)：(1+x)”"-17Ina,x-ln(l+x)-1-cosx--2父x-sinx-aicsinA-x--6xtanx-x?K-arctanK-3tanx-sinx?arcsinx-arctanx--2.泰勒公式(毛=0)TOC\o"1-5"\h\zv2.小e*=l+x+—+o(x2)；ln(l+x)=.r+o(x2)：2!2(1+X)。=l++O(X2);!COS》=J-彳+&-)或8sx=]—三+木+漢/)；jc工.sin戈=丫-彳+0(^3)：arcsinx=j-+o(^3)：(+v：qrj553)3!3!

tanx=x+—+o（x-）；arctanx=x+.333洛必達(dá)法則4.導(dǎo)致定義5.拉格團(tuán)日中值定理【例1】求極限㈣V黑^【詳解】（等價代換）^（（―r-i]糜式^（（―r-i]糜式=_lim三3犬.sinx

In=-lim=一liinxx"ex—Ilim--r-i…，J?.Z1sinx-x.In（l+）x（lim=1）

x->0*TOC\o"1-5"\h\z..sinx-xv61=-lun5-=—lim■?尸一=一3?Xx6■i-arcsmx-sinA【例2】求極限hm.“T°arctanx-tanx【詳解一】（泰勒公式）原式=limxtO+O原式=limxtO+O（F）一Jx-*十°（『）n?,3、x+—+ar）

3>+加）j2i-、7-qV+o，）［詳解二］（洛必達(dá)法則）原式二Hm匯7二"=lim"乒當(dāng)dim巖立空

J_COSX-I-X2*31+x2cos2Xr1-Vl-Xcosx=hm-丁一r1-Vl-Xcosx=hm-丁一i-sm*x-x=一hm~J——km；---.——3sinx+rf1+Jl-Vsi11K【例”求極兜咻占T品R（iVLqrj553）ln(l+x2)-ln(l-rsin*x)原式也叱ln(l+x2)-ln(l-rsin*x)fln(l+x)ln(l+sin*^)，＞。lim2?2x-sinx4-sin:.r)1?..x+sinx..x-sinxi61=hnilun；——=2lim——=-…xix3x3【詳解二】(拉格朗日中值定理)詼一..In(1+x詼一..In(1+x:)-ln(l+sin：x)J樂式=lim-——：~-ilii(l+x)in(l+sinx)=蚓ln(l+A2)-ln(l+sin2jr)

丁(x2-sin2x)lim"-,——=隔(*+§門軍7111制」

…x工…x3重點題型二求數(shù)列極限?？茧傩?1勿頂和常用方法：I夾通原理2定枳分定義2〃項連乘常用方法：取對數(shù)化為〃項和;3.遞推關(guān)系》用=/(%)定義的數(shù)列常用方法:先由單調(diào)有界定理證明極限存在.冉等式圖7=/(%)兩端取極眼求即極限.1，+——1，+——，廠十獷【詳解】〃+1【例4】求入:|“川學(xué)2T+???+19〃+r獷+2，?+!〃+I?+1產(chǎn)了+戶百十…+"不TOC\o"1-5"\h\zpr611乂Inn>：…f+（勺2?nM.."+二H+—.故2-十???+?_]=￡.16產(chǎn)+，/22+n2，/+/4第二章一元函數(shù)微分學(xué)重點題型三導(dǎo)數(shù)應(yīng)用之方程的根常用方法：先求呼得到單調(diào)區(qū)何，再代入端點利用零點定理.【例5】試映定方程［尸&=/7的實根個數(shù)【詳解】令/（*）=+x,顯然/J）是（-8,+8）上的奇函數(shù)，從而原方程在區(qū)間（f0）和（0,+8）上實根個數(shù)相同，因此只需討論（0,+O0）上實根個數(shù)由f\x）=-3,d+1,f\x）=-2超一/-6x<0,且/'（。）=2>0.山1'/'（幻=-8,卻存在唯一的七6（0,+8）,使/’（玉,）=0.當(dāng)RE（0〉?%）時，f\x）>0;當(dāng)X￡（/,+8）時，/'（x）<0.又/（0）=0,/（?%）>0,lim/（x）=-x,知原方程在區(qū)何（0,.%）上無實根，在區(qū)間（后,+8）上有限x->roo一實根，故原方程共有三個實根.［評注】本題用到-…個常用結(jié)論：若/（口為奇（偶）函數(shù)，則方//（幻=0的根關(guān)于原點對樹【例6】試確定方程/=/3>0）的實根個數(shù).【詳解】原方程變形得/e-x=~/'（幻=，7（2￥-/）=疝7（2-力=0,得工=o,x沿:qrj553）當(dāng)xw(0,2)時，八力>0,/")單調(diào)增當(dāng)xw(2,+8)時，/'3<0J(x)單調(diào)減TOC\o"1-5"\h\zlun/(x)=lim(x2c-T--)=+00育一》t?r->"maI4I/(0)=—<0,/(2)=——ae*aY11lim/(/)=Hm()=—<0XTrXfZqqe2e2M當(dāng)0v〃v時，一個實根：當(dāng)。=一時，兩個實根；當(dāng)?！礘時，三個實根444【評注】帶參數(shù)的力參數(shù)的問程核心何想是|分離參數(shù)|重點題型四導(dǎo)數(shù)應(yīng)用之證明不等式常用方法：1單調(diào)性(首選)2.中值定理(同一函數(shù)可用拉氏定理)【例7】力<arctan主(x>0)【證明】令/(x)=arcian『-「lZ/.則/(刈=工-2=/?Jo\+x￡ex(l+.r)e令％)="_(1+/),則g'(x)=，-2x,g"(x)=，-2=0,得x=ln2當(dāng)0<x<ln2,g'(x)<0,g'(x)即調(diào)遞減；當(dāng)x〉ln2時，g'(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增.又gdn2)=2-21n2>0?故當(dāng)x>0時.g'(x)>0.g(x)單調(diào)遞墻又g(0)=0,故當(dāng)x>0時，g(M>0,即/'(?>0,/(x)單調(diào)遞增.又"0)=0,故當(dāng)x>0時，f(x)>0重點題型五中值定理證明題(-)證明存在一個點；的等式(-)證明存在一個點；的等式(+V：qrj553)常用輔助函數(shù)(I)欲證夕'(《)+"(4)=0,令產(chǎn)(幻=*"/(*)；⑵欲證夕'《)-叭9=0,令"(乃=華；x(3)欲證"G+，0=0,令尸(幻=*/@);特別地：欲證八/+/@=0,令網(wǎng)幻=eVG);欲證，?)-/C)=0,令/(x)=?(*);欲證礦⑹+萬⑷=0,令/⑶=e〃.〃彳)(。/0),(4)欲證/'(0+/(幻/(幻=0、令畫三國【例8】設(shè)/(X)和g(幻在[0,1]1連續(xù)，住(0.1)內(nèi)可導(dǎo)，/(0)=/(I)=-1,f(x)dx>|,試證至少存在一點Je(0,1),使/(?")+-<]=1.，【證明】令F(x)=*')(/(%)-x),則F(0)=<0,F(i)=-2/⑴<0.又J：八“"一；=f/Jm-Ji@=J；l/(X)T四>0由積分中值定理知至少存在一點ce(0,1),使/(c)-。>0,因此廠(c)>0.由零點定理知存在兩點aG(0,c)力w(cj)使F(a)=F(b)=0由羅爾定理知至少存在~點〈€(。力),使廣匕)=0,即ZLrezHZgw[/⑹f=o>故re)+g'e)i/(Gy]=l(二)證明存在兩個點么〃的等式常用方法：(1)不要求4工，7：在區(qū)間[。,句上用一次拉格用日、一次柯西.(2)要求。*〃：將區(qū)間口,句分為兩個子區(qū)間，分別用拉格朗H中值定理【例9】設(shè)八>)在[0內(nèi)上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且月加及以03)在J和7滿足0vJv?<l【分析】設(shè)Ovcvl,由拉格朗日中色定埋得猾=/'(?c-0\-cTOC\o"1-5"\h\z/，⑹+/w=〃。)-〃0)+/⑴-/(c)=/(c)-八。)+/(O)-/(c)c1-cc1-ccI一。若取c使1--匚=0,即6=1原題得證.cl-c2【證明】由拉格朗日中值定理中/(b-/(o)]-A=/'?^e(O^)--O22/⑴-/(：)1j=/'(〃)〃w(彳J)112（三）證明存在一個點4的高階導(dǎo)數(shù)常用方法：用帶拉格朗日型余地的泰勒公式，其中X。左端點、中點或最值點【例10】設(shè)f（x）在［0,2］上二階可導(dǎo),|/（A）|^1J/7X）|<1,證明|/'（幻區(qū)2（0。42）【證明】(U(2)f(0)=/(幻+/⑶(07)+11^11(U(2)〃2)=/(x)+/”)(2-x)+^^(2-x)2（2）式弒（1）式，得/⑵-/⑼=2八幻+1[—心)(27尸-廠&j乙從而?八刈《也1|M+；[/?)](2t)2+|/?),]s1+-[(2-x)2+.?]^I+1-4=2(+V：qrj553)44第三章一元函數(shù)積分學(xué)第三章一元函數(shù)積分學(xué)重點題型六不定積分、定積分、反常積分計算常用方法：I.凌微分2.換元法3.分部積分法4.利用奇偶性5.利用周期性〃一1〃一31nn〃一222'〃一1〃一32n”一23,〃為偶數(shù)方為奇數(shù)6〃為偶數(shù)方為奇數(shù)XX⑴J：sin","工=Jo2cos"xdx=⑵J；x/(sinx)d.r=-|jX/(sinx)dx=冗j；/(sinx)dx重點題型七定積分應(yīng)用?？碱}型：L幾何2?物理(數(shù)一、數(shù)二)3.經(jīng)濟(數(shù)三)【例11］/(幻為［0,+8)匕正值連續(xù)函數(shù)，由曲線、=1/(〃)"〃、》軸./=，?>0)所留成區(qū)域繞〉釉旋轉(zhuǎn)所得體枳與由曲線》=/(x)、x軸、x=1(/>0)所圍成區(qū)域的面積之和為求》=/(與(詳解】由翹設(shè)得2”J：x(j+工［*)公二尸.兩邊對/求導(dǎo)，奔2叫“(〃加+/(/)=2/.令g")=J"(〃)&，則g⑺+2Eg(/)=2/,解一氣相！用釬撮產(chǎn)的)='+(*'第四章微分方程重點題型八微分方程綜合問題【例12】《轉(zhuǎn)合變限積分函數(shù)）設(shè)可導(dǎo),滿足jewH期求f詳解】在積分J3fH-五威中令￡-M二%則*=1""）由-1「孤0如一”［「?〃"）血上式兩端對』求導(dǎo)，得，（，）=1+J”/兩）血上式兩端對工求導(dǎo)，得手（工）=~/（-工）（1）上式兩端對H求導(dǎo)，得/汽-幻C2）由⑴式得,代入⑵式用y*（A）+f（Jr）=0,解得J\x）=C1COSK+C\SHIA,.父f（6=1,/XO）=Th得f（jc）-cosJ-sinx【例13】《結(jié)合導(dǎo)數(shù)與積分）設(shè)八工）在［0川上連蚊.在（0,1）內(nèi)大于零，滿足微分方程燈十9心2.曲線M=