上海中學自招真題解析

上海中學自主招生試題1、因式分解：6x311x2x4 ．【答案】x13x42x1．x1是方程6x311x2x40(x1)，得到(x1)(6x25x4，對(6x25x4用十字相乘可以得到原式等于(x1)(3x4)(2x1)．2、設(shè)ab0，a2b24ab，則ab ．a(chǎn)b【答案】3．(ab)2

2ab

b)2b)2

6ab3ab0，2ab3ab0，所以ab ．3ab3、若x2x10，則x32x23 ．4．x32x23x2x1)(x14，而由條件(x2x1)(x104．4已知bc24abca，且a0，則bc ．a(chǎn)2．【解析】令abmcan，則cbmn，代入bc24abca中得mn2n，mn20，mn，abca，即2abc，bc2．a(chǎn)后放回，搖勻，第二次從中取出一個球，則兩次都是紅球的概率是 ．4．932224．3 3 3 936、直線l:y3x 與x、y軸交于點A、B，AOB關(guān)于直線AB對稱得到ACB，3則點C的坐標是 ．3 【答案】3 22,．由于AOBABACAO，BCBO．設(shè)C(mn，則可列方程組3m33(m)2n2

，解得 2，另一解與O重合，舍去．因此C(3, )．m2(n3)23

n 3 22 27ABCDAD9AB12A、C兩點重合，折痕長是 ．45．4ACABCDMNMBx，MCMAx29212x)2x21DN21MECD，8 8EMECBMEBC9CEBM21．可知8ME2NE292(27)24NECDDNCE27而MNME2NE292(27)244 4 48nnnn是奇數(shù)，則將它乘2得到3n1，不斷重復這樣的運算，如果對正整數(shù)n（視為首項）按照上述規(guī)則施換（些能多出第8為1則n的有能值 128，21，20，3，16，2．k2kk1．3k1必為奇數(shù)，即k4mod6，317次即可．9、正六邊形ABCDED的面積是6平方厘米，聯(lián)結(jié)AC、CE、EA、BD、DF、FB，求陰影部分小正六邊形的面積為 ．【答案】2cm2．3ABCDEF的相似比為1: ，因此面積比為1:3．因為3ABCDEF的面積是6cm2，所以陰影部分的面積為632(cm2)．10y2x24mx4mymxxyy至少有一個是正1 2 1 2數(shù)，m的取值范圍是 ．【答案】m4．x0y14my20，4m0，m4，yx4m0，1 4x0y10x0；若0m4y20，x0y10，4m284m0，解得0m4；m0y20x0恒成立；m4．a(chǎn)，b，c是互不相等的實數(shù)，x是任意實數(shù)，化簡：xa

xb

xc2 ．a(chǎn)bac1．

cbabxa

cacbxb2

xc2【解析】令fx mx2nxk，abac cbab cacbfafbfc1，即ma2nak1mb2nbk1，mn0

fx1．mc2nck1

k112、已知實數(shù)a，b滿足a2abb21，taba2b2，則t的取值范圍是 ．【答案】3t1．3【解析】方法一：考慮基本不等式a2b22ab．a(chǎn)2b21ab2ab，則1ab1，3又 a2b22ab1，3t3其中a1，b1時，t3成立；ab 3時，t1成立．3 3方法二：逆用韋達定理．bt1，ab2t30，2 2t32t3，abt32

t3xt10的兩個根，2 2t34t10，解得t1，2 2 33t1．3（1）1的正五邊形對角線長；（2）求sin18．）51（2）51．2 4（1）ABCDEACBEM．可以計算得到ABMABC36，因此ABM ACB，可得AB2AMAC．同時，BMCCBM72BCMC1ABBCCM1，ACxAB2AMAC可列方程12x(x1x去51．2（2）sin18cos72．在（1）的五邊形中，

51（另一負根舍2

51．作CHBMHBMC中2BHHM1BM

51．因為CBM72，所以sin18cos72BH

51．2 4 BC 414、（1）fxx3ax2bxc0f1f2f33c的取值范圍；（fxx4x3x2xdf0f20f330f0f．（1）6c9

（）81．

0f1f2f33，fxk0x123，fxkx1x2x3，展開得ck6，6c9；（2）fx10x0x12,3，4xpfx10xxpx1x2x3，fxxpx1x2x310x，f10f610p9871006p789608104．1（12）類似給出背景知識：平面AxByCzD0；球：xa2yb2zc2R2；AaBbCcDA2B2C2點a,b,c到平面:AaBbCcDA2B2C2球心到平面的距離為ddRdRdR時，球與平面相離；問題1：若實數(shù)m、n、k滿足mnk1，求m2n2k2xy1問題2解程 xy1x1

1xyz．zz2【答案（1 1 2）y2．）3

z3（1）條件可轉(zhuǎn)化為點(mnkxyz10上，而m2n2k2的最小值xyz10的距離，d|1010