2022-2023學(xué)年杭州市高二上期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷附答案解析

2022-2023學(xué)年杭州市高二上期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷一.選擇題（共12小題）TOC\o"1-5"\h\z（2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末）已知直線/：*-2=0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a的值是（ ）A.1 B.- 1 C. -2或-1D.-2或 1（2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末）邊長(zhǎng)為2&的正方形，其水平放置的直觀圖的面積為（ ）A.返 B.1 C. 2亞 D.84（2018秋?杭州期末）設(shè)點(diǎn)4（2,3,-4）在平面上的射影為8,則|麗等于（ ）A.V29 B.5 C.275 D.V13（2019春?西城區(qū)期末）一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余幾何體的三視圖如圖所示，則截去的幾何體是（ ）正（主）視圖側(cè)（左）視圖m俯視圖A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱（2012?廈門一模）如圖，。為正方體48C0-481GO1的底面Z8C。的中心，則下列直線中與810垂直的是（ ）A.A\D B.AA\ C.A\D\ D.A\C\（2020?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，正四面體中，尸、Q、R在棱4B、AD,AC±,且40=QD,AP=CR=Jl,分別記二面角A-PQ-R,A-PR-Q,A-QR-P的平面角為a、PBRA2TOC\o"1-5"\h\zY，則（ ）A.p>v>aB.y>p>a C.a>y>pD.a>p>y（2010?江西）直線^=履+3與圓（x-3）2+（j-2）2=4相交于〃，N兩點(diǎn)，若|MV|22?,則上的取值范圍是（ ）A.[-3.,0] B.（-8,-3]“0,+8）4 4C.[-亭亭 D.[->1_,0]（2019秋?杭州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，。是圓O-.x2+爐=9上的動(dòng)點(diǎn)，滿足條件|MO|=2|拉0|的動(dòng)點(diǎn)M構(gòu)成集合O,則集合。中任意兩點(diǎn)間的距離d的最大值為（ ）A.4 B.4>/2 C.6 D.12（2019秋?杭州期末）已知尸、0分別為直線A：3x+4y-4=0與，2：3x+4y+l=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段尸。的長(zhǎng)度的最小值為（ ）A. B.1 C.A D.25 5（2019?新鄉(xiāng)二模）已知雙曲線C： （a>0,b>0）一條漸近線與直線2x-2,2ab4>2=0垂直，則該雙曲線的離心率為（ ）A.V5 B.喙 C.V2 D.2V2（2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：①4BLEF；②Z8與CM成60。角；③EF與A/N是異面直線；心MN//CD,其中正確的是（A.①② B.③④ C.②③ D.①③（2020秋?杭州期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)、E,尸分別是8c的中點(diǎn)，將△加￡1,/\EBF,△尸CO分別沿￡＞E,EF,尸￡＞折起，使得4,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)⑷,若點(diǎn)G及四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則以為底面的三棱錐G-OEF的高〃的最大值為（ ）A-近卷B.氓Vc.276d.2V6-y二.填空題（共6小題）2 2（2018秋?舟山期末）已知雙曲線。-2_=1,則該雙曲線的漸近線方程為4 3焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2020秋?杭州期末）已知點(diǎn)/（1,-1）,直線/：x-2y+2^0,則點(diǎn)/到直線/的距離是；過(guò)點(diǎn)A且垂直于直線I的直線方程是.（2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末）設(shè)尸、A,B、C是一個(gè)球面上的四個(gè)點(diǎn)，PA.PB、尸C兩兩垂直，且刃=28=1,PC=2,則該球的體積為.（2019秋?杭州期末）過(guò)拋物線爐=2x焦點(diǎn)廠的直線與該拋物線交于4B兩點(diǎn),再過(guò)點(diǎn)尸作線段48的垂線，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)G,若|fg|="|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（2019秋?杭州期末）在矩形中，AD=\,點(diǎn)E為線段C￡＞中點(diǎn)，如圖所示，將△AED沿著AE翻折至（點(diǎn)。不在平面ABCD內(nèi)）,記線段中點(diǎn)為F,若三棱錐F- 體積的最大值為金，則線段AB長(zhǎng)度的最大值為15D'2 °（2019秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓C：二+y2=i上的三點(diǎn)4B,C,斜率為負(fù)數(shù)的直線8c與y軸交于M,若原點(diǎn)。是△45C的重心，且△8A/N與△CA/O的面積之比為冬，則直線8C的斜率為.2三.解答題（共4小題）（2019秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）已知x>0,y>0,且2x+5y=20.（1）求中的最大值；（2）求工』的最小值.xy（2019秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0,2）且被x軸分成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為1：2,直線/與圓C相交于M,N兩點(diǎn)、,且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.（1）求圓C的方程；（2）求直線的斜率左的取值范圍.（2020?柯城區(qū)校級(jí)一模）已知等腰梯形Z8C。中（如圖1）,48=4,BC=CD=DA=2,廠為線段CZ）的中點(diǎn)，E,M為線段力8上的點(diǎn)，AE=EM=l,現(xiàn)將四邊形/￡77）沿所折起（如圖2）.圖1 圖2（I）求證：4WJI平面BCD；（U）在圖2中，若BDf后，求直線8與平面8CFE所成角的正弦值.2 2（2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末）橢圓“上=1（”>6>0）,右焦點(diǎn)為FG/巧，0），4B21n.2

ab是斜率為左（左力0）的弦，4B的中點(diǎn)為E,Z8的垂直平分線交橢圓于C,。兩點(diǎn)，CD的中點(diǎn)為N.當(dāng)/=1時(shí)直線OE的斜率為-工（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.4（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)原點(diǎn)O到直線的距離為d,求畫_的取值范圍：d（3）若直線OA,直線OB的斜率滿足a=koA?koB（左>0）,判斷并證明M8F+（馬EN|）52是否為定值.

2022-2023學(xué)年杭州市高二上期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷參考答案與試題解析選擇題（共12小題）（2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末）已知直線/：ox+y-2=0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)。的值是（ ）A.1 B.-1 C.-2或-1D.-2或1【考點(diǎn)】直線的截距式方程.【專題】方程思想；綜合法；直線與圓.【分析】把直線/：ax+y-2=0化為截距式，利用截距相等即可得出.【解答】解：把直線/：ax+y-2=0化為＞工=1，且2a?.?直線/：”-2=0在x軸和y軸上的截距相等，...2=2,解得a=l,a故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的截距式，屬于基礎(chǔ)題.（2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末）邊長(zhǎng)為2&的正方形，其水平放置的直觀圖的面積為（A.返 B.1 C.242 D.84【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何.【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法所得的直觀圖與原平面圖形的面積比是常數(shù)，求解即可.【解答】解：邊長(zhǎng)為2&的正方形，面積為（2&）2=8,水平放置的正方形的面積與斜二測(cè)畫法所得的直觀圖的面積之比為2品1,所以這個(gè)正方形直觀圖的面積為:8

所以這個(gè)正方形直觀圖的面積為:8

272=2如.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了斜二測(cè)畫法與水平放置的平面圖形的面積比問(wèn)題，牢記結(jié)論能夠提高解題速度.（2018秋?杭州期末）設(shè)點(diǎn)4（2,3,-4）在X/平面上的射影為8,則|麗等于（ ）A.V29 B,5 C.2代 D.-/13【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式.【專題】計(jì)算題：方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用.【分析】根據(jù)點(diǎn)8是4（2,3,-4）在X。坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以4與8的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為0,得到8的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得到結(jié)果.【解答】解：?.?點(diǎn)4（2,3,-4）在xQy平面上的射影為8,：.B（2,3,0）,100=44+9+0=>[13-故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直角坐標(biāo)系，考查空間中兩點(diǎn)間的距離公式，是基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是，一個(gè)點(diǎn)在?個(gè)坐標(biāo)平面上的射影的坐標(biāo)同這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系.（2019春?西城區(qū)期末）一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余幾何體的三視圖如圖所示，則截去的幾何體是（ ）2口正（主）視圖側(cè)（無(wú)）視圖m俯視圖A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【專題】作圖題：對(duì)應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法：空間位置關(guān)系與距離：邏輯推理：直觀想象.【分析】由三視圖還原原幾何體，可知原幾何體為直四棱柱，從而可知，截去的部分為三棱柱.【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖：

該幾何體為直四棱柱-DCFDi,截去的部分為三棱柱BB\E-CCiF.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.（2012?廈門一模）如圖，。為正方體48cD-481C1G的底面488的中心，則下列直線中與81。垂直的是（ ）A.A\D B.AA\ C.A\D\ D.A\Ci【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【專題】證明題.【分析】連接815,根據(jù)正方體的性質(zhì)，得到88i_L平面從而有8歷_1_4cl.再根據(jù)小51clz）i是正方形,得到SO1L4C1,結(jié)合815、是平面內(nèi)的相交直線，得到小G_L平面881。。，可得因此可得正確答案.【解答】解：連接8101，?：ABCD-A\B\C\D\是正方體J_平面A\B\C\D\,.【iGu平面A\B\C\D\,：.BB\LA\C\?：A\B\C\D\是正方形：.B\D\LA\C\881是平面88101。內(nèi)的相交直線平面BB\D\D；8iOu平面BB\D\D：.A\C\LB\O故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題給出正方體內(nèi)的一條直線，讓我們尋找與之垂直的直線，著重考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系、線面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.（2020?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，正四面體48co中，尸、0、R在棱48、AD、ZC上，且=QD,或=里=_1,分別記二面角A-PQ-R,A-PR-Q,A-QR-P的平面角為a、PBRA20、Y>則（ ）A.0>Y>a B.y>p>a C.a>丫>0 D.a>p>y【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法.【專題】探究型；運(yùn)動(dòng)思想；數(shù)形結(jié)合法：空間角.【分析】由四面體為正四面體，結(jié)合40=00,AP=CR=1,通過(guò)圖形直觀分析得答PBRA2案.【解答】解：觀察可知，a>B>y,a為鈍角，B，Y均為銳角，B平緩一點(diǎn)，Y陡急一點(diǎn)，?號(hào)>3>丫，則a>0>Y，故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的平面角及其求法，考查學(xué)生通過(guò)讀圖進(jìn)行直觀分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，是中檔題.(2010?江西)直線y=Ax+3與圓(x-3)2+(j-2)2=4相交于N兩點(diǎn)，若273，則k的取值范圍是( )A.[-2.,0] B.(-8,-S]u[0,+8)4 4C.L喙,率 D.[-1-,0]【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【專題】直線與圓.【分析】由弦長(zhǎng)公式得，當(dāng)圓心到直線的距離等于1時(shí)，弦長(zhǎng)等于2愿，故當(dāng)弦長(zhǎng)大于或等于2丁@寸，圓心到直線的距離小于或等于1,解此不等式求出人的取值范圍.【解答】解：設(shè)圓心(3,2)到直線y=b+3的距離為"，由弦長(zhǎng)公式得，MN=Y4_品22如,故即母父母1_<1,化簡(jiǎn)得8kCk+1)<0,Vk2+1 4

:.-o,4故女的取值范圍是［-3,0］.4故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.(2019秋?杭州期末)在平面直角坐標(biāo)系中，。是圓O：，+爐=9上的動(dòng)點(diǎn)，滿足條件|必9|=2|M0|的動(dòng)點(diǎn)M構(gòu)成集合。，則集合。中任意兩點(diǎn)間的距離”的最大值為( )A.4 B.442 C.6 D.12【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【專題】應(yīng)用題：方程思想：綜合法；直線與圓：數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】設(shè)M(x,y),Q(3cos6,3sin0),求出圓M的軌跡方程，再利用幾何意義，求出集合。中兩點(diǎn)的最大距離.【解答】解：設(shè)Af(x,y),Q(3cos0,3sin6),由眼。尸2|坦，則廬］=R(x-3cos8)2+(y-3sin「)2,化簡(jiǎn)得(x-4cos0)2+(y-4sin0)2=4,即M在以(4cos。，4sin0)為圓心，/*=2為半徑的圓上，且圓心在x2+y2=16上運(yùn)動(dòng)，所以集合O中兩點(diǎn)的最大距離為2(4+2)=12,故選：D.【點(diǎn)評(píng)】考查圓與圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用，中檔題.(2019秋?杭州期末)已知P、0分別為直線八：3x+4y-4=0與勿3x+4y+l=0上的兩TOC\o"1-5"\h\z個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段尸。的長(zhǎng)度的最小值為( )A.3 B.1 C.A D.25 5【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程.【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】直接由兩平行線間的距離公式求解.t解答】解：；P、。分別為直線八：3x+4y-4=0與/2：3x+4y+l=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，二線段PQ二線段PQ的長(zhǎng)度的最小值為直線h與h的距離,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩平行線間的距離公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.（2019?新鄉(xiāng)二模）已知雙曲線C：式_?_=1（a>0,b>0）一條漸近線與直線2x-2,2ab4行2=0垂直，則該雙曲線的離心率為（ ）A.V5 B.匹 C.V2 D.272【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).【專題】方程思想：分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】求得漸近線方程，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,可得a,b的關(guān)系，由離心率公式，可得所求值.2 2【解答】解：雙曲線C：2__2_=1（a>0,6>0）的漸近線方程為2V.2ab尸土幺，a由一條漸近線與2x-4八2=0垂直，可得一條漸近線的斜率為-2,即有回=2,可得e=￡=J 1+4=收，a aVa2故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.（2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末）一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：①②N8與CM成60°角：③所與MN是異面直線：④MN//CD,其中正確的是（ ）D.①③A.①② B.③④ C.D.①③【考點(diǎn)】異面直線的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【專題】作圖題.【分析】將其還原成正方體，如圖所示，依據(jù)圖形、正方體的幾何性質(zhì)進(jìn)行判斷各線的位置關(guān)系.【解答】解：將正方體紙盒展開圖還原成正方體，如圖知，ABLEF,E尸與MN是異面直線，AB//CM,MN±CD,只有①③正確，故選：D.BD【點(diǎn)評(píng)】考查正方體的幾何性質(zhì)，線線的位置關(guān)系，本題涉及到了直線間的幾個(gè)常見位置關(guān)系如平行、垂直、異面.（2020秋?杭州期末）如圖，正方形Z8CO的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,F分別是8c的中點(diǎn)，將△加￡：,/XEBF,分別沿QE,EF,皿折起，使得Z,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)4,若點(diǎn)G及四面體⑷DE廠的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則以尸為底面的三棱錐G-DE尸的高人的最大值為（ ）A,氓卷B.aVC. D.2V6-y【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體.【專題】轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；立體幾何；邏輯推理.【分析】因?yàn)?。，A'E,4/兩兩垂直，則三棱錐放入以HO,A'E,4尸為相鄰三條棱的長(zhǎng)方形中，進(jìn)而求得三棱錐外接球的半徑，然后在△lDE尸中，利用余弦定理求出cos/DEF,再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出sinNZ必凡從而利用正弦定理求出△OE尸外接圓的半徑為r,進(jìn)?步利用球和外接圓之間的關(guān)系分析即可得到答案.【解答】解：因?yàn)锽ELBF,FCLDC,所以折置以后可以讓4跖作為三棱錐的底面，04為三棱錐的高，

則 A'E±A'F,A'FYA'D,所以⑷Z）,A'E,4尸兩兩垂直,將三棱錐放入以HD,A'E,4尸為相鄰三條棱的長(zhǎng)方體中,則三棱錐的外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，因?yàn)?。=4,A'E=2,A'F=2,所以外接球的半徑R=^X7A7D2+AyE2+AyF2=7x^42+22+22=V6,

乙 乙在△的在△的中，c"心D嗯荒嚴(yán)20+8-20 =7152X275X272=10所以sin/DEydi-sJ/DEF考2△DEF外接圓的半徑為r,則有2*.嘰1r=:處=呼smZ.DEr3y10 310所以r*' 故球心O到△￡>￡尸外心的距離為曰區(qū)2_「2=,（/豆2_（5$）2_1.,所以以△￡?所為底面的三棱錐G-OEF的高力的最大值為遍」.3故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了折疊問(wèn)題、三棱錐的外接球問(wèn)題、三角形的外接圓問(wèn)題，還考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解外接球和三角形外接圓之間的關(guān)系.二.填空題（共6小題）（2018秋?舟山期末）已知雙曲線式-工_=1,則該雙曲線的漸近線方程為￥=士4 3亞匚，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（+V7,0）,2【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】利用雙曲線方程求解雙曲線的漸近線方程；以及焦點(diǎn)坐標(biāo).2 2 _一【解答】解：雙曲線號(hào)-七=1,可得〃=2,b=g。=有，則該雙曲線的漸近線方程為：、=±?;.2焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（±4，0）.故答案為：夕=±醇：（土有，0）.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查計(jì)算能力.（2020秋?杭州期末）已知點(diǎn)/（1,-1）,直線/：x-2y+2=0,則點(diǎn)Z到直線/的距離是:過(guò)點(diǎn)A且垂直于直線I的直線方程是2x+y-l=0.【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式.【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】利用點(diǎn)到直線的距離可得一空格答案，在根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得二空格答案.【解答】解：已知點(diǎn)/（11-1）,直線/：x-2y+2=0,則點(diǎn)/到直線/的距離是4--1+2+21今=而Vl2+（-2）2V5點(diǎn)4為（1,-1）,垂直于直線/的直線方程斜率為二L=-2,kl故過(guò)點(diǎn)/且垂直于直線/的直線方程為＞1=-2（x-1）,即2x+y-1=0.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題.（2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末）設(shè)尸、4、B、。是一個(gè)球面上的四個(gè)點(diǎn)，PA.PB、尸。兩兩垂直，且刃=尸8=1,PC=2,則該球的體積為_a冗_(dá).【考點(diǎn)】球的體積和表面積.【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；球；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】直接利用三棱錐和球的半徑的關(guān)系和球的體積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.【解答】解：由于A.B、C是一個(gè)球面上的四個(gè)點(diǎn)，PA.PB、尸C兩兩垂直，且以=PB=\,PC=2,如圖所示：設(shè)外接球的半徑為R，所以（27?）2=12+12+22=6,解得R=逅，2所以丫球="|?■冗,（^^）3=遍兀故答案為：巫穴.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三棱錐和球的半徑的關(guān)系，球的體積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.（2019秋?杭州期末）過(guò)拋物線/=2x焦點(diǎn)尸的直線與該拋物線交于48兩點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)尸作線段"8的垂線，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)G,若|fg|=3,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則=_3__~lr'【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】方法一：根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求得G點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線尸G斜率，可得直線的方程，代入拋物線的方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式及三角形的面積公式即可求得△408的面積；方法二：由方法一可知直線N8的斜率，由焦點(diǎn)三角形的面積公式S媼ob=_E_^一，即2sin9可求得△XO8的面積.【解答】解：方法一：由拋物線/=2x焦點(diǎn)尸（工，0）,準(zhǔn)線方程工=-工,2 2泗），由題意可知yj+I2=（菅）2,解得外=士亨，若泗=返，則G（-工，近■）,所以直線尸G的斜率左=-返，2 2 2 2

所以直線Z8的斜率直線48的方程為y=—（x-工），設(shè)Z（xi，yi）,8（x2,TOC\o"1-5"\h\zV5 -V52 "”），聯(lián)立方程組4） 7聯(lián)立方程組2,消去y,整理得4f-14x+l=0,則知+工2=工,2所以|AB|=X[+x?+l=7",則O到直線AB的距離d=, 1 =1,4（泥）2+2232同理可得s0ob=3；4方法二：由2同理可得s0ob=3；4方法二：由方法一可知:斜角為。，貝iJtanS=4，v5若G（-工，返）,

2 2所以sin8=y-直線48的斜率左=3，則直線N8的傾V5「2o則S^AOB=_Pc=—;2sinB4同理可得Saaob=2;4故答案為：.2；4【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦公式，焦點(diǎn)三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.（2019秋?杭州期末）在矩形48CQ中，AD=\,點(diǎn)E為線段CD中點(diǎn)，如圖所示，將N4ED沿著AE翻折至（點(diǎn)。不在平面ABCD內(nèi)）,記線段C。中點(diǎn)為F,若三棱錐F-4EO體積的最大值為匹，則線段AB長(zhǎng)度的最大值為4.15D'【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法：空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理.【分析】由以'一花。，=工網(wǎng)，皿，得三棱錐O'-4EC的體積的最大值為2返，當(dāng)平面ZEO'，平面ZBCE時(shí)，三棱錐F-/E沙體積取最大值，由此能求出結(jié)果.【解答】解：ED 三棱錐F-AE。體積的最大值為返，2D'-AEC 15三棱錐O'-/EC的體積的最大值為延，15設(shè)力8=2。，則EC'=a,當(dāng)平面/￡￡）'J_平面/8CE時(shí)，三棱錐尸-4項(xiàng)）,體積取最大值，此時(shí)D'到平面ABCE的距離J=AP，XED，IXa,AE產(chǎn)到平面的距離〃=Ld=—=-2dSAAECfxi或，巾-血qxSAAECXd=yxix7X7=^r,va+1解得a=2,AB=2a=4....三棱錐F- 體積的最大值為返，則線段AB長(zhǎng)度的最大值為4.15故答案為：4.Dr【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長(zhǎng)度的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置有關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.2外（2019秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓C：二+y2=i上的三點(diǎn)4,B,C,斜率為負(fù)數(shù)的直線8C與y軸交于M,若原點(diǎn)O是△Z8C的重心，且力與△CMO的面積之比為3,則直線8c的斜率為2 —6一【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).【專題】綜合題：方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】設(shè)B（xi，yt）,C（X2,y2）A（X3,”），M（0,m）,直線BC的方程為夕=去+用.由原點(diǎn)。是△/SC的重心，得△8M4與△CM。的高之比為3,結(jié)合與△CM。的面積之比為3,得2BM=MC.可得2xi+x2=0,聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)2系得到36斤/=1-/+必2,利用重心坐標(biāo)公式求得力的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求解直線8c的斜率.【解答】解：設(shè)6（xi，y\）,C（X2，”）A（工3,”），M（0,〃z）,直線8。的方程為y=kx+m.???原點(diǎn)O是△ZBC的重心，???△8比4與ACMO的高之比為3,又叢BMA與△CMO的面積之比為3,則2BM=MC.2即2而=而得2xi+x2=0,…①/y=kx+in聯(lián)立/C，得（4F+1）『+8加lx+4/?2-4=0.Lx2+4y2=42則、]+、2=-一班~,；qx2=4m-4,…②l+4k2 l+4k2由①②整理可得：36Mm2=1-/+4.…③?.?原點(diǎn)O是△48C的重心，,x3=-（x1+x2）=8km2,g=-（夕2+丁1）=-伏（xi+x2）+2m]=-―——.l+4k2；x2+4y2=4' （8km）2+4<_2m>2=4.即1+4廬=4m2,…④.3 3 l+4k2 l+4k2由③④可得今,?：k<0.：.k=-返.6故答案為：皇6【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.三.解答題(共4小題)19.(2019秋?西湖區(qū)校級(jí)期末)已知x>0,j>0,且2x+5y=20.(1)求中的最大值；(2)求工△的最小值.xy【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.【分析】(1)由x>0,y>0,且2x+5y=20.利用基本不等式的性質(zhì)即可得出中的最大值；(2)由x>0,y>0,且2x+5y=20.可得上+■1>=_l_(2x+5y)?(2=xy20 -xy20xy利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.【解答】解：(1)Vx>0,y>0,且2x+5y=20....20N25/2x?5y，化為：當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y=10時(shí)取等號(hào).二9的最大值為10.(2)Vx>0,y>0,且2x+5y=20.二]+，L=](2x+5,v),(-l-+.L)——1(7+-^-+-^-)N1(7+215y.2x)=1xy20 xy20xy20yxy20(7+2百5),當(dāng)且僅當(dāng)丁承=揚(yáng)，2x+5y=20取等號(hào)..?.工△的最小值為：J_（7+2V10）.Xy 20【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)、方程的解法、轉(zhuǎn)化法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.（2019秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0,2）且被x軸分成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為1：2,直線/與圓C相交于N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.（1）求圓C的方程；（2）求直線的斜率上的取值范圍.【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【專題】數(shù)形結(jié)合：綜合法；直線與圓：邏輯推理.【分析】（1）依題意，容易求得半徑/■=%圓心坐標(biāo)為（-4,2）,由此得到方程；（2）依題意，只需求出點(diǎn)N（或M）在劣弧尸。上運(yùn)動(dòng)時(shí)的直線ON（或OW）斜率，結(jié)合圖象得解.【解答】解：（1）因?yàn)槲挥趛軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0,2）,所以圓心在直線y=2上，設(shè)圓C與x軸交于P,。點(diǎn)，又因?yàn)楸粁軸分成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為1：2,所以可得NPC0=2兀，所以廠=4,圓心C的坐標(biāo)：（-4,2）,3所以圓C的方程：（x+4）2+8-2）2=16；（2）依題意，只需求出點(diǎn)N（或在劣弧P0上運(yùn)動(dòng)時(shí)的直線ON（或OM）斜率，設(shè)其直線方程為y=a（z>0）,此時(shí)有2<J/恥2<4,解得0<t《旦;TOC\o"1-5"\h\zVt2+1 4若點(diǎn)M在劣弧尸0上，則直線0M的斜率A=f,于是0<k<8；4若點(diǎn)N在劣弧上，則直線OM的斜率k=」，于是k《一占t 3又當(dāng)％=0時(shí)，點(diǎn)N為（0,2）也滿足條件；綜上所述，所求直線的斜率后的取值范圍為（-8, 3].3 4【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及直線與圓的關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.（2020?柯城區(qū)校級(jí)一模）已知等腰梯形中（如圖1）,48=4,BC=CD=DA=2,產(chǎn)為線段8的中點(diǎn)，E,M為線段上的點(diǎn)，AE=EM=\,現(xiàn)將四邊形ZE尸。沿M折起（如圖2）.圖1 圖2（I）求證：4WJI平面BCD；（II）在圖2中，若BDfR，求直線CO與平面8CFE所成角的正弦值.【考點(diǎn)】直線與平面所成的角.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；立體幾何：邏輯推理.【分析】(I)證明四邊形NOCM為平行四邊形，可得ZA/〃8,進(jìn)而得證；(II)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)已知條件求得點(diǎn)D的坐標(biāo)以及平面BCEF的一個(gè)法向量，利用向量公式即可得所求正弦值.【解答】解：(I)證明：連接CM,由4。平行且等于EF,MC平行且等于所可知，AD平行且等于MC,:.四邊形ADCM為平行四邊形，J.AM//CD,又4W不在平面8C￡>內(nèi)，8在平面88內(nèi),平面BCD；(II)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0),E(-l,0,0),F(0,V3.。)，C(l,6，0),設(shè)。(X,y,Z),由DF=1,DE=V3?DB=V6?可得D(0,--CD=(-1,浮季,易知平面BCE尸的?個(gè)法向量為7=(o,0,1)，設(shè)直線CO與平面8CFE所成角為6,則sin。=|cos<CD，I-I—,- 即直線CD與平面BCFE所成角的|CD||n| 3正弦值為退.3A

X【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定以及利用空間向量求解線面角問(wèn)題，考查邏輯推理以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2 2(2019秋?下城區(qū)校級(jí)期末)橢圓2_丁_=1(a>6>0),右焦點(diǎn)為F(J§,0),ABa是斜率為％(攵W0)的弦，48的中點(diǎn)為E,43的垂直平分線交橢圓于C,O兩點(diǎn)，CD

的中點(diǎn)為N.當(dāng)/=1時(shí)直線OE的斜率為-工（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.4（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)原點(diǎn)O到直線的距離為d,求幽_的取值范圍：d（3）若直線CM,直線08的斜率滿足?心8a>0），判斷2是否為定值.【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)；直線與橢圓的綜合.【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.2盯V1@2+/T【分析】（1）【分析】（1）設(shè)/（xi,yi）,A（%2,”）,根據(jù)題意得，y2 f =12,2ab的坐標(biāo)，由題意求出/=4必，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得到。=43=廳彳，聯(lián)立，即可求出。，方的值，從而得到橢圓的方程.（2）設(shè)直線48的方程為》=去+陽(yáng)，A（xi，yi）,B（》2，"），與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，求出E（-41r1k,m）,得到直線c。的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，l+4k 2 c 2 ca b yt-yo 卜2Xi+x0則:? 2 ，作差整理可得1 2,X2y2