2022年全國統(tǒng)一高考乙卷文科數(shù)學試卷含答案解析

2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。TOC\o"1-5"\h\z1.集合M={2,4,6,8,10},N={x[—l<x<6),則Mp|N=( )A.{2,4} B.{2,4,6} C.{2,4,6,8} D.{2,4,6,8,10}2.設(l+2i)a+b=2i,其中a,6為實數(shù)，貝！|( )A.a=1,力=-1 B.a=l,b-1 C.a=-1,b=l D.a=-1,/?=—13.已知向量&=(2,1),5=(-2,4),則|&-5|=( )A.2 B.34.分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學16周的各周課夕琳育運動時長（單位：人），得如圖莖葉圖：則下列結論中錯誤的是（ ）61861853075326421426.1225666602381A.甲同學周課夕腳育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B.乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8C.甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D.乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6x+y..2,5.若x,y滿足約束條件＜x+2y,,4,則z=2x-）,的最大值是（ ）y..0,A.-2 B.4 C.8 D.126.設F為拋物線C：V=4x的焦點，點A在C上，點仇3,0）,若用，貝!||AB|=（）A.2 B.2夜 C.3 D.3&7.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的〃=（ ）/愉入a=l,b=l,n=17 ?. b=b+2aa=b—a,n=n+lA.3a=b—a,n=n+lA.3 B.48.如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）9.在正方體—中，E,F分別為AB,8C的中點，則（A,平面B｝EF，平面BDD、 B.平面B、EF_L平面A.BDC.平面與政//平面RA。 D,平面與石F//平面AG。TOC\o"1-5"\h\z10.已知等比數(shù)列｛%｝的前3項和為168,q-6=42，則4=（ ）C.6 D.311.函數(shù)/3）=85%+（工+1）5訪工+1在區(qū)間［0,21］的最小值、最大值分別為（ ）C「C「02D--T12.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.記S,,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和.若28=352+6,則公差d=.從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為—..過四點四0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為_..若/(x)=ln\a+J—|+b是奇函數(shù)，貝！Ja=,b=.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分..(12分)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)若A=2B，求C；(2)證明:2a2=/+>.18.(12分)如圖，四面體中，ADA.CD,AD=CD,ZADB=^BDC,E為AC的中點.(1)證明：平面的>_!_平面A8；(2)設A3=B￡>=2,ziACB=60°，點F在BD上，當AAFC的面積最小時，求三棱錐尸-ABC的體積.A19.(12分)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：疝)和材積量(單位：渥)，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i1234567S910總和根部橫截面積X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量y0.250.400.220.540.510340.360.460.420.403.910 10 10并計算得工片=0.038, =1.6158, =0.2474.1=1 1=1(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)(精確到0。1)；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186加.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.名(x,-T)(y-刃 附：相關系數(shù)r=胃53 ,J1.89671.377.Vi=l.(12分)已知函數(shù)/(x)=or-」-(a+l)/MX.x(I)當。=0時，求f(x)的最大值；(2)若〃x)恰有一個零點，求a的取值范圍..(12分)已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、丫軸，且過A(0,-2),8(3,2-1)兩點.(1)求E的方程;(2)設過點P(1,-2)的直線交E于兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點H滿足析=后.證明：直線HN過定點.(二)選考題：共1。分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。I選修4-4：坐標系與參數(shù)方程|(10分).(10分)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為卜"石。。,〃(為參數(shù)).以坐標y=2sinf原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線/的極坐標方程為冗psin(〃+—)+m=0.(1)寫出/的直角坐標方程；(2)若/與C有公共點，求，"的取值范圍.［選修45：不等式選講］(10分).已知a,b,＜，都是正數(shù)，且層+慶+/=1,證明：(1)abc,,—；,/、abc12)V1 1 r-i—,b+ca+ca+b24abe2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(文科)(乙卷)參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合M={2,4,6,8,10},N={x]-l<x<6},則Mp|N=( )A.{21A.{214}C.{2,4,6,8)D.{2,4,6,8,10}【思路分析】直接利用交集運算求解即可.【解析】?.?M={2,4,6,8,10},N={x]-l<x<6},.?.Mp|N={2,4}.故選：A.【試題評價】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題.2.設(l+2i)a+b=2i,其中。，6為實數(shù)，貝！|( )A.a=l,b=—\ B.a=l,b—1 C.a=-1,b=l【思路分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)相等的條件，即可求解.【解析】?,?(i+2i)a+b=2i,:.a+b-\-2ai=2i,:.a+b-\-2ai=2i,即??；°，解得2a=2：一[.故選：A.b=-\【試題評價】本題主要考查復數(shù)相等的條件，屬于基礎題.3.已知向量4=(2/)，5=(-2,4),貝!|舊一5|=(【思路分析】先計算處的坐標，再利用坐標模長公式即可.【解析】a-ft=(4,-3),故D=j42+(_3)2=5，故選：。.【試題評價】本題主要考查向量坐標公式，屬于基礎題.4.分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學16周的各周課夕冰育運動時長(單位：萬)，得如圖莖葉圖：則下列結論中錯誤的是( )63326332102125.6.7.8.9.10.4101A.甲同學周課夕體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B.乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8C.甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D.乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6【思路分析】根據(jù)莖葉圖逐項分析即可得出答案.[解析】由莖葉圖可知,甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為,選項A說法正確；由莖葉圖可知,乙同學周課夕體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8,選項8說法正確；甲同學周課夕琳育運動時長大于8的概率的估計值為9=°<0.4,選項C說法錯誤；168乙同學周課勺體育運動時長大于8的概率的估計值為與=0.8125>0.6,選項。說法正確.16雌：C.【試題評價】本題考查莖葉圖，考查對數(shù)據(jù)的分析處理能力，屬于基礎題.x+y..2,.若x,y滿足約束條件,x+2y?4,則z=2x-)?的最大值是( )J..0,A.-2 B.4 C.8 D.12【思路分析】作出可行域，根據(jù)圖象即可得解.【解析】作出可行域如下圖陰影部分所示，由圖可知，當(X,y)取點C(4,o)時，目標函數(shù)二=2x-.\?取得最大值，且最大為8.故選：C.【試題評價】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題..設F為拋物線C:y2=4x的焦點，點A在C上，點B(3,0),若|A/H=|BF|,則|A8|=()A.2 B.2x/2 C.3 D.3&【思路分析】利用已知條件，結合拋物線的定義，求解A的坐標，然后求解即可.【解析】尸為拋物線C：V=4x的焦點(1,0),點A在C上，點8(3,0),|A戶|=|8尸|=2,由拋物線的定義可知A(1,2)(A不妨在第一象限)，所以|AB|="(3--+(-2)2=20.故選：B.【試題評價】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應用，距離公式的應用，是基礎題..執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的〃=( )/愉入a=l,b=l,n=17 ?. b=b+2aa=b-a,n=n+lA.3 B.4 C.5 D.6【思路分析】模擬執(zhí)行程序的運行過程，即可得出程序運行后輸出的〃值.【解析】模擬執(zhí)行程序的運行過程，如下：輸入4=1,。=1,〃=1,計算〃=1+2=3ta=3—1=2,n=2,TOC\o"1-5"\h\z32 1判斷|、-2|=-=。.25..。.01,22 4計算〃=3+4=7,a=7—2=5,n=3,72 1判斷I至-2|=石=0.04..0.01；計算人=7+10=17,。=17—5=12,n=4,判斷|馬-2&<0.01；122 144輸出〃=4.故選：8.【試題評價】本題考查了程序的運行與應用問題，也考查了推理與運算能力，是基礎題..如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）〃2xcosx n2sinxC-y=~~~- D?y=――-X~4-1 JT+1【思路分析】首先分析函數(shù)奇偶性，然后觀察函數(shù)圖像在(1,3)存在零點，可排除3,。選項，再利用cosx在(0,內(nèi))的周期性可判斷C選項錯誤.【解析】首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù)，其次觀察函數(shù)在(1,3)存在零點，而對于8選項：令y=0,即上=0，解得工=0，或x=l或x=-l,故排除8選項，廠4-1對于。選項，令y=0,即學竺=0,解得x=Qr,keZ,故排除。選項，X+1C選項分母為W+1恒為正，但是分子中COSX是個周期函數(shù)，故函數(shù)圖像在(0,—)必定是正負周期出現(xiàn)，故錯誤，故選：A.【試題評價】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎題.【解法二】(補解)對B令x=l,y=0,；.B不對2a:cosx2cos%,V- = <1對C：xw[0,l]'x2+l,1 ,，C不對X+一X對D：x2+l>2x>2sinx,”1；.D不對故：只能選A9.在正方體ABCD-A4CQ中，E,尸分別為加，的中點，則( )A.平面B.EF，平面BDD、 B.平面BXEF_L平面\BDC.平面耳EF//平面AAC D.平面5盧尸//平面AC?！舅悸贩治觥繉τ贏,易知E///4C,AC_L平面應犯，從而判斷選項A正確；對于8,由選項A及平面BDD,C平面A8。=8?？膳袛噙x項B錯誤；對于C,由于A4,與用E必相交，容易判斷選項C錯誤；對于。，易知平面Aqc〃平面AG。，而平面與平面4EF有公共點片，由此可判斷選項。錯誤.【解析】對于A，由于E,〃分別為AB,BC的中點，則M//AC,又AC工BD,AC1DD,,BD^DD,=D,且8￡),DRu平面BDR,AC1平面8￡)R,則所_L平面BDD、，又所u平面8盧尸,..平面BtEF1平面BDDt,選項A正確；對于3,由選項A可知，平面耳所，平面BOR,而平面雙獨C平面8。,故平面B,EF不可能與平面ABQ垂直，選項8錯誤；對于C,在平面ABAA上，易知明與qE必相交,故平面B、EF與平面AAC不平行，選項c錯誤；對于。，易知平面AgC//平面4"。，而平面A4c與平面有公共點用，故平面4EF與平面AG。不可能平行，選項。錯誤.故選：A.【試題評價】本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.10.已知等比數(shù)列｛qj的前3項和為168,a2-a5=42,則4=( )A.14 B.12 C.6 D.3【思路分析】由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式，求得4的值.【解析】設等比數(shù)列｛。,,｝的公比為夕,”0,由題意，”1.;前3項和為q+%+% ~—=168,%-%=45-4V’=4刈(1-/)=42,i-q：.q=—,a,=96，貝！J4=4-4'=96x《=3,故選：D.【試題評價】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式，屬于基礎題.TOC\o"1-5"\h\z.函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2萬］的最小值、最大值分別為( )7C7C _ 37V7T _ - 37r7C_A.―一，— B . ，— C .―一,—+2D . ,-+22 2 2 2 2 2 2 2【思路分析】先求出導函數(shù)/'(x)=(x+l)cosx,令cosx=0得，x=W或生，根據(jù)導函數(shù)2 2尸“)的正負得到函數(shù)/。)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極值，再與端點值比較即可.【解析】/(x)=cosx4-U+l)sinx+l,xg［0,24］,則frM=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx,令cosx=0得，x=工或網(wǎng)，2 2.?.當xw［0,g時，/(x)>0,〃x)單調(diào)遞增；當x嗎,爭時，r(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當有，2川時，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，”(x)在區(qū)間［0,2m上的極大值為應用+2,極小值為/?旁)=-￡,又?.?/1(())=2,〃21)=2,..函數(shù)人外在區(qū)間［0,2川的最小值為-與，最大值為'+2,故選：D.【試題評價】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題..已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為( )定理可知該四棱錐的高〃=1-y，所以該四棱錐的體積定理可知該四棱錐的高〃=1-y，所以該四棱錐的體積丫=%1-y，再利用基本不等【思路分析】由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為a,由勾股式即可求出V的最大值，以及此時〃的值，進而求出h的值.【解析】由題意可知，當四棱錐為正四棱推時，其體積最大，設底面邊長為。，底面所在圓的半徑為r,..該四棱錐的高/?=該四棱推的體積當且僅當X即小時，相成立,■.該四棱錐的體積最大時，其高人=、1-故選：c【試題評價】本題主要考查了四棱錐的結構特征,考查了基本不等式的應用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項和.若2s3=3Sz+6,則公差d=2.【思路分析】根據(jù)已知條件，可得2回+出+4)=3@+4)+6,再結合等差中項的性質(zhì),即可求解.【解析】v2S3=3S2+6,2(q+a、+cty)=3(q+a))+6)???{a,,}為等差數(shù)列，:.6a2=3q+3a2+6,3(02—4)=3d=6,解彳導d=2.故答案為：2.【試題評價】本題主要考查等差數(shù)列的前〃項和，考查轉化能力，屬于基礎題.

14從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為 -.-io-【思路分析】從甲、乙等5名學生中隨機選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的個數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率.【解析】由題意，從甲、乙等5名學生中隨機選出3人，基本事件總數(shù)C；=10,甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個數(shù)C；=3,r'4根據(jù)古典概型及其概率的計算公式，甲、乙都入選的概率.c；10故答案為：-.10【試題評價】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎題.15.過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為_/+丁-4犬-6了=0(或W+y2-4x-2y=0^x2+y2-1x--y=0^x2+y2--x-2y--=0)_.【思路分析】選其中的三點，利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程.【解析】設過點(0,0),(4,0),(-1,1)的圓的方程為/+丫2+6+@+尸=0,[F=0即16+40+尸=0，解彳導尸=0,￡)=-4,E=-6,[2-D+E+F=0所以過點(0,0),(4,0),(-1,1)圓的方程為./+尸-4*-6丫=0.同理可得，過點(0,0),(4,0),(4,2)圓的方程為、2+丫2-4、-2>=0.QIA過點(0,0),(-1,1),(4,2)圓的方程為x2+y2_/_]y=o.過點(4,0),(-1,1),(4,2)圓的方程為f+步—^.[一2丫-個=0.故答案為：x2+y2-4x-6y=0(x2+y2-4x-2y=0 x2+y2——x y=0或TOC\o"1-5"\h\z3 3【試題評價】本題考查了過不在同一直線上的三點求圓的方程應用問題，是基礎題.16.若/。)=加|〃+」一|+b是奇函數(shù)，則。=_--_,h= .1-x -2-【思路分析】顯然,根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得，XW1且XX1+2，所以1+工=-1,a a進而求出。的值，代入函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)/(0)=()即可求出力的值.【解析】【解法一]/(x)=ln\a+-^―|+/?,1-X若a=0,則函數(shù)/(力的定義域為{xlxHl},不關于原點對稱，不具有奇偶性，由函數(shù)解析式有意義可得，"但"占H。,.?.工工1且-1+一,a???函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，，定義域必須關于原點對稱，1+—=—1,解得“=—1,/./(x)=InIJ+A|+b，定義域為{x|xh1且xw-1},由/(0)=0得,ln-+b=O,：.b=ln2,故答案為：]；In2.2【解法二】(補解)(特殊值法)???函數(shù) 為奇函數(shù)，/(0)=0,f(-2)=-f(2)解得，a=-g,b=/〃2.故答案為：-；；ln2.【試題評價】本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì),屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(-)必考題：共60分。17.(12分)記MBC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinfisin(C-A).(1)若A=2B,求C；(2)證明:2a2=b2+c2.【思路分析】(1)由$出。5鞏4-8)=$出員也(。-A)，結合A=23，可得sinC=sin(C-A),即C+C-A=萬，再由三角形內(nèi)角和定理列式求解C；(2)把已知等式展開兩角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角為邊即可證明結論.【解析】(1)由sinCsin(A-8)=sin8sin(C-A),又A=28,/.sinCsinB=sinfisin(C-A),vsinB^O,/.sinC=sin(C-A),BPC=C-A(舍去)或C+C-A=i,[A=2B聯(lián)立2C-A-，解得C=L；[A+B+C=1證明：(2)【解法一】由5皿。5抽(4-8)=01185出((7-加，得sinCsinAcosB—sinCeosAsinB=sinBsinCeosA—sinBcosCsinA,由正弦定理可得accosB-bccosA-feecosA-abcosC,由余弦定理可得：整理可得：為2=從+02.【解法二】(補解),:A+8+C=t,A=2B

:.C-A=7r-5Bsin（C-A）=sin5B，原式可化為sin3BsinB=sinBsin5B,ysinB^O,/.sin3B=sin5B,A3B+5B=^,,R-%A-%3%8 4 8證明：（2）由5由?！烀?-5）=§皿屈11（。一14）,得sinCsinAcosB—sinCeosAsin=sin^sinCcosA—sin8coscsinA,由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,由余弦定理可得：由余弦定理可得：2ac 2bc lab整理可得：2a2=b2^-c2.【試題評價】本題考查三角形的解法，考直E弦定理及余弦定理的應用，考查運算求解能力,是中檔題.18.(12分)如圖，四面體ABC￡>中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中巨(1)證明：平面BED_L平面ACD；(2)設他=80=2,ZS4CB=6O°,點/在上,當A4*1的面積最小時，求三棱錐F-ABC的體積?A【思路分析】(1)易證A4D8三ACC厲,所以ACJ.BE，又ACLOE,由線面垂直的判定定理可得ACJ_平面比D,再由面面垂直的判定定理即可證得平面BED_L平面AQ；(2)由題意可知AABC是邊長為2的等邊三角形，進而求出BE=6,AC=2,AD=CD=4i,￡見=1,由勾股定理可得，進而證得￡>E_L平面ABC，連接所,因為A尸=B，貝(IE尸_LAC,所以當時，￡F最短，此時AAFC的面積最小，求出此時點尸到平面ABC的距離，從而求得此時三棱錐尸-ABC的體積.【解答】證明：(1):AD=CD,ZADB=ZBDC,BD=BD,.-.MDB=ACDB,：.AB=BC,又「E為AC的中點..-.ACA.BE,.AD=CD,E為AC的中點..-.AC±DE,XvBEQDE=E,.?.AC_L平面BED,又「ACu平面AC￡）,平面8ED_L平面AC￡>；解：（2）由（1）可知,:.AB=BC=2,NACB=60。，.?.AABC是等邊三角形，邊長為2,：.BE=y/3,AC=2,AD=CD=42.DE=\,?/DE2+BE2=BD2,DEA.BE,V.-.-DEA.AC,4cpiBE=E,平面ABC,由（1）^QAADB=ACDB,:.AF=CF,連接EF,貝!|EFJ_AC,SMFC=—xACxEF=EF,：.當防_L如時，EF最短，此時MFC的面積最小，過點/作FG_LBE于點G，則FG//DE，，尸G_L平面ABC,17c.DExBEx/3BD2：.BF=yjBE2-EF2=-,：.FG=EhxBh=-,2 BE4???三棱錐廠一"C的體積V=」xS小配xFG=』x且x2?x3=3.3 34 4 4D【試題評價】本題主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱錐的體積公式，同時考查了學生的空間想象能力與計算能力，是中檔題.19.（12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：/）和材積量（單位：加）,得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量y0.250.400.220.540.510.34（）.360.460.420.403.910 10 10并計算得Zx；=0Q38,X.V,2=1.6158, =0.2474.i=1 『1 i=l（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186病.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

-5) 附：相關系數(shù)/-=下空 ,VL896N1.377.\愎4-工茂(y-?V/=i 1=1【思路分析】根據(jù)題意結合線性回歸方程求平均數(shù)、樣本相關系數(shù)，用古計該林區(qū)這種樹木的總材積量的值即可.【解析】(1)設這棵樹木平均一棵的根部橫截面積為了,平均一棵的材積量為了,則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：元="=0.06,/則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：元="=0.06,/1039,y=—=0.3W；102 ) 由 題 可 知10Z(x,-幻(其一刃10Z(x,-幻(其一刃fio ioVr=l i?l10 t=lIio io(￡xL(￡y；-應2)Vi=l0.0134 0.0134 0.0134V().0()2x0.09480.01xJ1.896-0.01377=0.97Y7 。2。(3)設從根部面積總和X，總材積量為y,則一==，故y==x186=1209(加).Yy 0.06【試題評價】本題考查線性回歸方程,屬于中檔題.20.(12分)已知函數(shù)/(x)=ax---(a+l)/nr.x(1)當。=0時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一個零點，求。的取值范圍.【思路分析】(1)將4=0代入，對函數(shù)/(X)求導，判斷其單調(diào)性，由此可得最大值；(2)對函數(shù)/(x)求導，分a=0,a<0,0<a<l,a=l及4>1討論即可得出結論.【解析】(1)當。=0時,f(x)=---lnx(x>0),貝11/'(x)=4-1=,x x~XX易知函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減，/(%)在X=1處取得極大值，同時也是最大值，..函數(shù)/(X)的最大值為/(1)=-1；/c\ 、 1 。+1ar2—(a+Y)x+1 (x—l)(ar—1)(2)/(x)=a+- -x"x①當a=0時，由(1)可知，函數(shù)f(x)無零點；②當a<0時，易知函數(shù)/*)在(0,1)上單調(diào)遞增，在—)上單調(diào)遞減，又/(I)=a-1<0,故此時函數(shù)f(x)無零點；③當0<。<1時，易知函數(shù)/*)在(0,l),J,+oo)上單調(diào)遞增，在(12)單調(diào)遞減，a a且/'(l)=a-lvO,/(—)=\-a+(a+\)lna<0,且當x->+8時，/(x)>0,此時/(x)在a(0,+<?)上存在唯一零點；④當a=1時，尸(幻=竺日..0,函數(shù)f(x)在(0,y)上單調(diào)遞增，又f(1)=0,故此時函數(shù)/(x)有唯一零點；

⑤當4>1時，易知函數(shù)/(X)在(0,3,(1,包)上單調(diào)遞增，在d,l)上單調(diào)遞減，a a且f(1)=a-l>0,且當xf0時，/(x)<0,故函數(shù)f(x)在(0,4<?)上存在唯一零點；綜上，實數(shù)”的取值范圍為(0,田).【試題評價】本題考查里利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查函數(shù)的零點問題,考查分類討論思想及運算求解能力，屬于難題.21.(12分)已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、.v軸，且過A(0,-2),B(-,-1)兩點.(1)求￡的方程；(2)設過點P(l,-2)的直線交E于例，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點，滿足祈=雨.證明：直線HN過定點.【思路分析】(1)設舊的方程為*1+〃/=[(?,>(),〃>0且，將A,3兩點坐標代入即可求解；(2)由A(0,-2),8(；,-l)可得線段A8:y=；x-2,①若過P(l,-2)的直線的斜率不存在，直線為x=1,代入橢圓方程，根據(jù)MT=77/即可求解；②若過P(l,-2)的直線的kx—y—伏+2)=0斜率存在，設h-y-(k+2)=0,M(x^,y),Ng,y2),聯(lián)立,x?y2 ，得丁丁一(3A:2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,結合韋達定理和已知條件即可求解.【解析】(1)設E的方程為如？+江=1(〃7>0,〃>0且，〃中〃)，[4〃=1TOC\o"1-5"\h\z將A(0,-2),8(二,-1)兩點代入得《9 I2 -〃7+〃=114解得m=1,〃=1,故￡的方程為《+占=1；3 4 3 43 7(2)由4(0-2),B(1,-1)可得舜殳AB-.y=^x-2(1)若過點P(l,-2)的直線斜率不存在,直線”1.代入￡+4=1,3 4可得M(l,,N=(1,-乎)，將丫=半代入y=gx_2,可得T(#+3,半)，得到”(2通+5,求得HN方程：y=(2---)x=2，過點(0,-2).②若過尸(1,-2)的直線的斜率存在，設履-萬伏+2)=0,A/(x,,y),N(x2,y2),]fcc_y_(2+2)=0聯(lián)立Jx?y2 ，彳導(3K+4)x?—6&(2+Z)x+3々伏+4)=0, F--=I13 4故有，62(2+A)…L3G故有，62(2+A)…L3G+43*(4+Jt)xx,="-； -3k2+4X+必-342+4日一-24火4(4+4%—2公)，XW""-3公+4露+4聯(lián)立2