2022年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型專題提升：第14講數(shù)列性質(zhì)：周期性（解析版）

第14講數(shù)列性質(zhì):周期性參考答案與試題解析一.選擇題（共14小題）（2021秋?巴彥淖爾校級期中）數(shù)列｛4｝滿足a,型=」一，4=2,則《=（ ）1-%A.0 B.- C.2 D.-12【解答】解：:數(shù)列｛a"｝滿足a“+i=―-—>4=2,l-an2=---,解得%=L]-% 2_1解得％=-1，-1」，1-。5解得a5=2t=---?解得a4=—r—% 2—=---，解得q=-1,1-q-1=--—，解得出=2，-n2=---,解得a,=—.1—￡/1 2故選：B.2.（2021?騰沖縣校級一模）已知數(shù)列僅〃｝滿足：a]=2,an+.=\--t設(shè)數(shù)列｛/｝的前“項(xiàng)%和為S“，貝US2017=（ ）A.1007 B.1008 C.1009.5 D.1010【解答】解：??,〃]=2,an+l=1--,冊t111=1 =1——二一，q22Oy=1-2=—1,aA=1+1=2,數(shù)列｛4｝是以3為周期的數(shù)列,2017=3x672+1,3/.S刈7=672x~2=1010，故選：D..（2021秋?柯城區(qū)校級期中）設(shè)數(shù)列｛《｝滿足:《=2,?=1-J,令人=乎2…4,則/3=（）TOC\o"1-5"\h\zA.-1 B.- C.-- D.22 2【解答】解：?.?數(shù)列｛4｝滿足4=2,。,用=1一口",4,I ,cI/.%=~ _］，%=2，4=5，數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列，R.44%=-1,?.?2013=3x671,?.?怎”=（-1嚴(yán)=—?故選：A.TOC\o"1-5"\h\z（2021秋?延吉市校級期中）已知數(shù)列｛。,,｝中，q=Lantl=1--.則《必仁…心通=（2 a?）A.-- B.- C.-2 D.22 2【解答】解：數(shù)列｛4｝中，6=［，a?+l=l--.2 an則：4=1——=1—2=—1>嗎a3=1---=1—（-1）=2，a2.11%=1 =-，%2所以：數(shù)列的周期為3.故：4?a-)q=1?則：%?% ,?0^2()18=(49?S3)*(。4*^5F(、),?,(^2014?^2()15*^2016)“2()17也2018故選：A.TOC\o"1-5"\h\z5.（2021秋?吉林月考）若數(shù)列｛〃“｝滿足：。向=1--1且q=2,貝lJ-9=（ ）A.- B.-1 C.2 D.--2 2【解答】解：數(shù)列｛/｝滿足：。用=1-,且4=2,%可得d]=—,4=—I，%=2,?..所以數(shù)列的周期為：3,。劃9=472x3+3=%=T?故選：B.（2021?廣西模擬）數(shù)列｛”"｝滿足：9=02=1,aH=a?_,+an_2（n..3,neN*）.將數(shù)列｛a“｝的每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛"｝,則為=（ ）A.1 B.2 C.3 D.0【解答】解；,J4=%=1，4=?！癬1+?！癬2（”-3，〃6N*）,數(shù)列1,2,3,5,8.13,21,34,55,89,144,233,377,又?jǐn)?shù)列｛"｝是將數(shù)列｛〃“｝的每?項(xiàng)除以4所得的余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，,數(shù)列也｝:1,I,2,3,1,0,I.1,2,3,1,0,1,1,....???數(shù)列伯”｝是周期為6的周期數(shù)列，?'?%=4?+3=4=2，故選：B.（2021?浙江模擬）十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂那多?斐波那契從兔子繁殖中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”,斐波那契數(shù)列｛?！埃凉M足以下關(guān)系：q=1,里=1,an=4t+a,-2（〃-3，〃eN*）,記其前”項(xiàng)和為S“，若&⑶為常數(shù)），則Swib的值為（ ）A.tn—2 B.m—1 C.m D.加+1【解答】解：因?yàn)閝=l,a.=1,an=an_x+att_2（n..3,ngN*）,所以數(shù)列｛q｝的前2021項(xiàng)和為q+%+/+4+…+%）|8=4+4+%+4+/+.??+&oi8-1=/+〃2+囚+。4+???+。2018=%+4+/+.??+^2018-1=4+々4+。5+???+。2018—1=々6++%+???+。刈8—1=。2020―=帆-1?故選：B.(2021秋?懷化期末)歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 即/(1)=F(2)=1,/(〃)="〃-1)+F(〃-2)(〃..3,neN*),此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛或｝，又記數(shù)列｛<-?)滿足q=伉，c2=b2,c“=b"-bz(n..3,〃wN*),則q+c?+。3+…+。皿的值為( )A.4 B.-728 C.2 D.3【解答】解：由題意可得，數(shù)列｛么｝中的項(xiàng)為：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1, ???9故數(shù)列｛〃,｝是周期為6的數(shù)列，數(shù)列｛c“｝中的項(xiàng)為：1.1.1,1,-2,-1,1,0,1,1,-2,-1,1,0.故數(shù)列｛c.｝是從第三項(xiàng)起周期為6的數(shù)列，所以q++。3+…+0202]=(C|+G)+(。3++…+08)+…+(C2OI9+02020+02021)=1+1+0+1+1+(-2)=2.故選：C.9.(2014秋?安寧區(qū)校級月考)把正奇數(shù)數(shù)列依次按第一個(gè)括號一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號一個(gè)數(shù)，…，依次循環(huán)的規(guī)律分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),則第50個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和為( )A.98 B.197 C.390 D.392【解答】解：由題意可得，將三個(gè)括號作為一組，則由50=16x3+2,第50個(gè)括號應(yīng)為第17組的第二個(gè)括號，即50個(gè)括號中應(yīng)有兩個(gè)數(shù)，因?yàn)槊拷M中有6個(gè)數(shù)，所以第48個(gè)括號的最后一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2〃-1｝的第16x6=96項(xiàng)，第5()個(gè)括號的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2〃-1｝的第16x6+2=98項(xiàng)，即2x98-1=195,第二個(gè)數(shù)是2x99-1=197,所以第50個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和為195+197=392,故選：D.10.(2021春?包頭期末)把等差數(shù)列1,3,5,7,9,…依次分組，按第一個(gè)括號一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號二個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號一個(gè)數(shù)，…循環(huán)分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),則第11個(gè)括號內(nèi)的各數(shù)之和為()A.99 B.37 C.135 D.80【解答】解：根據(jù)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu),⑴，(3,5),(7,9,11)(13),(15,17),(19,21,23),(25),(27,29),(31,33,35),(37),(39,41)…，故第11個(gè)括號內(nèi)的數(shù)為39和41,故和為39+41=80.故選：D.(2021?寶雞二模)已知數(shù)列｛《,｝滿足a.=1,叼=3,。〃+(九.2),則%H3的值等于( )A.3 B.1 C.- D.320'33【解答】解：???數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=1，?2=3>an+xatl_x=an,(n..2),=——,幾.2,4T3 3???數(shù)列｛6J是周期為6的周期數(shù)列，?.?2013=335x6+3,,,出013=%=3?故選：A.(2021春?瑞安市校級期中)已知數(shù)列｛4｝中4=1,%=2,4=%+小兒2〃￡孫則這個(gè)數(shù)列的前2021項(xiàng)和S2018等于( )A.0 B.1 C.3 D.2021【解答】解：???q=1，4=2，4=47+々〃+1(幾.2,〃wN),/=4+/，解得？=1，同理可得，a4=03-02=1—2=—1；=包一%=-1-1=-2；%=。5一々4=-2+1=-1；=a6—a5=-1+2=1;4=%_4=1_(-1)=2；數(shù)列｛4｝以6為周期，且4+4+..?+%=1+2+1—1—2—1=0，又2018=336x6+2,:.S刈8=336x0+4+%=3，故選：C.(2021秋?上海期中)設(shè)凡=1sin竺，S=a+a,,則在S,,...?5I(X)n cl n i ， 1wn25中有( )個(gè)正數(shù).A.25 B.50 C.75 D.100【解答】解：由于f(〃)=sin石的周期7=50,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，q，a2?...>?24>0,%5=°，“26，〃27，…，。49<0，°50=。，.0.sin =-sin—，sin也工=-sin至…但是/(〃)=」單調(diào)遞減，25 25 25 25 na26>???，〃49都為負(fù)數(shù)，但是|%61<4，1%1<。2，????1。491</4，.??1，S2,…，85中都為正，而$26，§27，…，S5G都為正，同理S1,S2,…，S75都為正，S1,S2,…，S75,...?E0n都為正，故選：D.TOC\o"1-5"\h\z(2021秋?江西月考)已知函數(shù)/(x)=xsin(—丁+0)-1(其中0<0<])的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),令〃“=/(〃)，貝ij4+4+4+...+O2G[9=( )A.2021B.一型2 C.6057 D.-如“2 2【解答】解：由函數(shù)f(x)=xsin(——^+0)-1(0<夕〈萬)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),TOC\o"1-5"\h\z則/(3)=3sin(2乃+0)-l=3sin°-l=2,所以sin@=l,結(jié)合0<夕<4，可得°=Orrn 1 Qan=ncos——1?所以 =(3^-2)(--)-1= ,1 3 1%tT=(3A:-l)(--)-l= 6=3々一],所以(hk-2+ =一/，JVf以q4~CL)+%+???+〃2oi9=673x(—)— -,故選：B.二.填空題（共3小題）（2021秋?衡水月考）已知數(shù)列｛a“｝滿足4=1,a2=3> =a?（n..2）>則a2a20=1.【解答】解：4=1，=3.an+lan_t=a?（n..2）.則43=五=3，a4=—=1, a5=—=— >a6=—=—t a7=—=1 .Og=—=3? ...>4 % a33a43a5 ab則數(shù)列｛a“｝為以6為周期的周期數(shù)列，則a2O2O=0336+4=44=1，故答案為：1.（2021秋?西城區(qū)校級期末）已知：數(shù)列｛"｝滿足4=1,A=x（xwN*）,bn+H-b不（n..2,〃eN，）.①x=2,則該數(shù)列前10項(xiàng)和為9；②若前100項(xiàng)中恰好含有30項(xiàng)為0,則x的值為.【解答】解：①若x=2,則該數(shù)列前10項(xiàng)為：1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,其和為9；②若前100項(xiàng)中恰好含有30項(xiàng)為0,則前10項(xiàng)中不能有0,當(dāng)x=.可得該數(shù)列為1,1,0；1,1,0；....從而為0的項(xiàng)超過30項(xiàng)當(dāng)x=2時(shí)，可得該數(shù)列為1,2,1,I,0；1,1,0；1,1,0；從而為0的項(xiàng)超過30項(xiàng)同理可驗(yàn)證當(dāng)x=3,4,5,均不符合當(dāng)x=6時(shí)，可得數(shù)列為1,6,5,1,4,3,1,2,I,1,0；1,I,0；....從而可得數(shù)列從第9項(xiàng)開始為周期為3的數(shù)列，且從第11項(xiàng)開始為0,含0的項(xiàng)有30項(xiàng)當(dāng)x=7時(shí)，可得該數(shù)列為1,7,6,I,5,4,1,3,2；1,1,0：1,1,0；1,1,0…從而可得數(shù)列從第10項(xiàng)開始為周期為3的數(shù)列，且從第12項(xiàng)開始為0,含0的項(xiàng)有30項(xiàng)當(dāng)x>7,則該數(shù)列的0項(xiàng)少于30故答案為：9：6或7（2021?黃岡模擬）已知數(shù)列｛"｝滿足伉=1,b2=2,"+[=14-4.則該數(shù)列前10項(xiàng)和為9.【解答】解：?.3=1,b2=2,bn+l=]bn-b^\（n..2,neN'）.仄=1，b4=1>仇=0,bb=1>bj=1>仇=0,勾=1,bi。=1,數(shù)列前10項(xiàng)和So=1+2+1+1+0+1+1+0+1+1=9.故答案為：9.三.解答題（共1小題）（2021?山東）已知公比大于1的等比數(shù)列｛”"｝滿足4+4=20，4=8.(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；(2)記或?yàn)椋?｝在區(qū)間(0,m](meN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛0｝的前100項(xiàng)和Si00.【解答】解：(1)?.?%+q=20,a3=8.Q.?.？+8q=2O,q解得4=2或q=g(舍去)，4=2,**,4=2",(2)記圖為｛/｝在區(qū)間(0,