排列、組合和概率習(xí)題

資料來源：第一節(jié)：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

第二節(jié)：排列

第三節(jié)：組合

第四節(jié)：二項(xiàng)式定理

第五節(jié)：隨機(jī)事件的概率

第六節(jié)：互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

第七節(jié)：相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率第一節(jié)：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理一、選擇題1．將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有（

）．A．種

B．種C．種D．種2．將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，其中每個(gè)盒子都不空的放法共有（

）．A．種

B．種C．18種D．36種3．已知集合，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）．A．18B．10C．16D．144．用1，2，3，4四個(gè)數(shù)字在任取數(shù)（不重復(fù)?。┳骱?，則取出這些數(shù)的不同的和共有（

）．A．8個(gè)B．9個(gè)C．10個(gè)D．5個(gè)二、填空題1．由數(shù)字2，3，4，5可組成________個(gè)三位數(shù)，_________個(gè)四位數(shù)，________個(gè)五位數(shù)．２．用1，2，3…，9九個(gè)數(shù)字，可組成__________個(gè)四位數(shù)，_________個(gè)六位數(shù)．３．商店里有15種上衣，18種褲子，某人要買一件上衣或一條褲子，共有_______種不同的選法．要買上衣、褲子各一件，共有_________種不同的選法．４．大小不等的兩個(gè)正方體玩具，分別在各面上標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，則向上的面標(biāo)著的兩個(gè)數(shù)字之積不小于20的情形有_______種．三、解答題1．從1，2，3，4，7，9中任取不相同的兩個(gè)數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到多少個(gè)不同的對數(shù)值？2．在連結(jié)正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形中，與正八邊形有公共邊的有多少個(gè)？參考答案：一、選擇題：1．B

2．D

3．D

4．A二、填空題：１．

２．；

３．33；270

４．5三、解答題：1．注意到1不能為底數(shù)，1的對數(shù)為0，以2，3，4，7，9中任取兩個(gè)不同數(shù)為真數(shù)、底數(shù)，可有個(gè)值，但，，，，所以對數(shù)值共有（個(gè)）.

2．與正八邊形有兩個(gè)公共邊的有8個(gè)，有一個(gè)公共邊的有個(gè)，所以共有40個(gè)．

第二節(jié)：排列一、填空題1．6人站一排，甲不站在排頭，乙不站在排尾，共有_________種不同的排法．2．5名男生和4名女生排成一隊(duì)，其中女生必須排在一起，一共有________種不同的排法．3．排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法有_______種．4．0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，將這些四位數(shù)從小到大排列起來，第71個(gè)數(shù)是．二、選擇題1．下列各式中與排列數(shù)相等的是（

）．A．B．C．

D．2．，且，則等于（

）．A．B．C．D．3．若，則的個(gè)位數(shù)字是（

）．A．8B．5

C．3D．04．7名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同的排法有（

）．A．720種B．360種C．1440種D．120種三、解答題1．求和.2．5名男生、2名女生站成一排照像：（1）兩名女生要在兩端，有多少種不同的站法？（2）兩名女生都不站在兩端，有多少不同的站法？（3）兩名女生要相鄰，有多少種不同的站法？（4）兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少種不同的站法？（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少種不同的站法？參考答案：一、填空題：1．504

2．17280

3．9

4．3140二、選擇題：1．D

2．D

3．C

4．C

三、解答題：1．∵，.∴2．（1）兩端的兩個(gè)位置，女生任意排，中間的五個(gè)位置男生任意排；（種）；（2）中間的五個(gè)位置任選兩個(gè)排女生，其余五個(gè)位置任意排男生；（種）；（3）把兩名女生當(dāng)作一個(gè)元素，于是對六個(gè)元素任意排，然后解決兩個(gè)女生的任意排列；（種）；（4）把男生任意全排列，然后在六個(gè)空中（包括兩端）有順序地插入兩名女生；（種）；（5）七個(gè)位置中任選五個(gè)排男生問題就已解決，因?yàn)榱粝聝蓚€(gè)位置女生排法是既定的；（種）；（6）采用排除法，在七個(gè)人的全排列中，去掉女生甲在左端的個(gè)，再去掉女生乙在右端的個(gè)，但女生甲在左端同時(shí)女生乙在右端的種排除了兩次，要找回來一次．（種）．

第三節(jié)：組合一、選擇題1．?dāng)S下4枚編了號的硬幣，至少有2枚正面朝上的情況有（

）．A．種B．種C．種D．不同于A、B、C的結(jié)論2．從五名學(xué)生中選出四名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語競賽，其中不參加物理、化學(xué)競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（

）．A．24B．48C．121D．723．?dāng)?shù)字不重復(fù)，且個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對值等于2的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）．A．672B．784C．840D．8964．…，為100條共面且不同的直線，若其中編號為的直線互相平行，編號為的直線都過某定點(diǎn)．則這100條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為（

）．A．4350B．4351C．4900D．4901二、填空題1．在數(shù)字0，1，2，3，4，5，6中，任取3個(gè)不同的數(shù)字為系數(shù)，組成二次函數(shù)，則一共可以組成__________個(gè)不同的解析式？2．甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包一項(xiàng)，丙、丁公司各承包2項(xiàng)，則共有_________種承包方式．3．四個(gè)不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰好有一個(gè)空盒的放法共有______種．4．某校乒乓球隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員10人和女運(yùn)動(dòng)員9人，選出男、女運(yùn)動(dòng)員各3名參加三場混合雙打比賽（每名運(yùn)動(dòng)員只限參加一場比賽），共有＿＿＿種不同的選賽方法．三、解答題1．有7本不同的書：（1）全部分給6個(gè)人，每人至少一本；（2）全部分給5個(gè)人，每人至少一本，求各有多少種不同的分法．2．九張卡片分別寫著數(shù)字0，l，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個(gè)三位數(shù)，如果寫著6的卡片還能當(dāng)9用，問共可以組成多少個(gè)三位數(shù)？參考答案：一、選擇題：1．A

2．D

3．C

4．B二、填空題：１．180

２．1680

３．144

４．3628800三、解答題：1．（l）先取兩本書作為一份，其余每本書為一份，將這六份書分給6個(gè)人，有種分法．（2）有兩類辦法：一人得3本，其余4人各得一本，方法數(shù)為；兩人各得2本，其余3人各得一本，方法數(shù)為，所以所求方法種數(shù)為.2．以是否取卡片6分成兩類，每類中再注意三位數(shù)中0不能在首位．（l）不取卡片6，組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為；（2）取卡片6，又分成兩類，（i）當(dāng)6用時(shí)組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為；（ii）當(dāng)9用時(shí)同樣有個(gè)．根據(jù)加法原理得所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為：.

第四節(jié)：二項(xiàng)式定理一、選擇題1．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．－160

B．－40

C．40

D．1602．在的展開式中，的系數(shù)是（

）A．－297

B．－252

C．297

D．2073．，則等于（

）A．

B．

C．

D．4．設(shè)，它等于下式中的（

）A．

B．

C．

D．二、填空題5．除以100的余數(shù)是

。6．計(jì)算7．在的展開式中，的系數(shù)是

（結(jié)果用數(shù)值表示）。三、解答題8．已知展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)恰好是它的前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而等于它后一項(xiàng)系數(shù)的。試求該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。9．在的展開式中，已知前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式里所有的有理項(xiàng)。10．求的展開式中含的項(xiàng)。參考答案一、選擇題：1．A

2．D

3．C

4．C

二、填空題：5．81

6．

7．－8

三、解答題：8．解：設(shè)展開式的第項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而等于它后一項(xiàng)系數(shù)的，即由（1）得

（3）

由（2）得（4）

由（3）、（4）可得

。所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)及第5項(xiàng)，。9．解：展開式的前三項(xiàng)分別是：，這一項(xiàng)系數(shù)為，這一項(xiàng)的系數(shù)是。這一項(xiàng)的系數(shù)是。因?yàn)?，，的系?shù)成等差數(shù)列，所以，即，解此方程得（舍去）。令第項(xiàng)為有理項(xiàng)，則有。欲求有理項(xiàng)，只需求為整數(shù)。因此r取0，4，8，代入項(xiàng)分別得各有理項(xiàng)：。10．解：依題意，只有三部分中能有含的項(xiàng)。它們分別是。把這三項(xiàng)合并，得－168。所以展開式中，含的項(xiàng)是－168。

第五節(jié)：隨機(jī)事件的概率1．某小組有成員3人．每人在一個(gè)星期中參加一天勞動(dòng)如果勞動(dòng)日期可隨機(jī)安排，則3人在不同的3天參加勞動(dòng)的概率為（

）A．B．C．D．2．從分別寫有A、B、C、D、E的5張卡片中，任取2張，這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率是（

）A．B．C．D．3．十個(gè)人站成一排，其中甲、乙、丙三人恰巧站在一起的概率為（

）A．B．C．D．4．從長度分別為1、3、5、7、9個(gè)單位的5條線段中任取3條作邊，能組成三角形的概率為（

）A．B．C．D．二、填空題5．將4個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)盒中，則恰有一個(gè)盒子空著的概率為

．6．圓周上有十個(gè)等分圓周的點(diǎn)，以這十個(gè)點(diǎn)中，任取三點(diǎn)為頂作一個(gè)三角形．則所作的三角形是直角三角形的概率是

．7．一批產(chǎn)品中，有n件正品和m件次品，對產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測，如果已檢測的前k個(gè)均為正品，那么第次檢測的產(chǎn)品為正品的概率為

．三、解答題8．某組有16名學(xué)生，其中男、女生各占一半，把全組學(xué)生分成人數(shù)相等的兩小組，求每小組里男、女生人數(shù)相同的概率．9．把1，2，3，4，5各數(shù)分別寫在5張卡片上，隨機(jī)地取出3張排成自左向右的順序，組成三位數(shù)，求：（1）所得三位數(shù)是偶數(shù)的概率；（2）所得三位數(shù)小于350的概率；（3）所得三位數(shù)是5的概率．10．把10個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)一部平均分成兩組進(jìn)行預(yù)賽．求最強(qiáng)兩隊(duì)被分在（1）不同組內(nèi)；（2）同一組內(nèi)的概率．四、研究題11．某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)有n只大熊貓，從捕捉t只體檢并加上標(biāo)志再放回保護(hù)區(qū)，1年后再從這個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)捕捉m只大熊貓（設(shè)該區(qū)內(nèi)大熊貓總數(shù)不變），求其中有5只大熊貓是第2次接受體檢的概率．參考答案：1．C

2．B

3．A

4．D

5．

6．

7．8．解：基本事件有．事件A為組里男、女生各半的情形，它有，即種，所以．9．解：從5張卡片中任取3張組成三位數(shù)共可組成個(gè)不同的三位數(shù)．（1）所得三位數(shù)是偶數(shù)的情況有種，因而所得三位數(shù)是偶數(shù)的概率為．（2）所得三位數(shù)中小于350的個(gè)數(shù)為．因而所得三位數(shù)小于350的概率為．（3）所得三位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為．10．解：10個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)平均分成兩組，共有種不同分法．（1）最強(qiáng)兩隊(duì)被分在不同組內(nèi)的分法有種．所以最強(qiáng)兩隊(duì)被分在不同組內(nèi)的概率為．（2）最強(qiáng)兩隊(duì)被分在同一組內(nèi)的分法有．所以最強(qiáng)兩隊(duì)被分在同一組內(nèi)的概率為．11．解：基本事件（第二次捕捉m只大熊貓）數(shù)為，事件A為第二次捕捉的大熊貓有S只是第2次接受體檢，它有個(gè)．所以．

第六節(jié)：互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率一、選擇題1．兩個(gè)事件對立是這兩個(gè)事件互斥的（

）．A．充分但不是必要條件B．必要但不是充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件2．今有光盤驅(qū)動(dòng)器50個(gè)，其中一級品45個(gè)，二級品5個(gè)，從中任取3個(gè)，出現(xiàn)二級品的概率為（

）．A．B．

C．D．3．打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射一個(gè)目標(biāo)，則他們都中靶的概率是（

）A．B．C．D．4．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03，丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為（

）A．0.99B．0.98C．0.97D．0.96二、填空題5．乘客在某電車站等待26路或16路電車，該站?？?6，22，26，31四路電車假定各路電車?？康念l率一樣，則乘客期待電車首先?？康母怕实扔?．今有一批球票，按票價(jià)分類如下：10元票5張，20元票3張，50元票2張，從這10張票中隨機(jī)抽出3張，票價(jià)和為70元的概率是____________．7．某市派出甲、乙兩支球隊(duì)參加全省足球冠軍賽甲乙兩隊(duì)奪取冠軍的概率分別是．則該市足球隊(duì)奪得全省冠軍的概率是_________.三、解答題8．在放有5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、3個(gè)白球的袋中，任意取出3個(gè)球，分別求出3個(gè)全是同色球的概率及全是異色球的概率．9．在房間里有4個(gè)人．間至少有兩個(gè)人的生日是同一個(gè)月的概率是多少？10．從1，2，3，…，100這100個(gè)數(shù)中，隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，求其積是3的倍數(shù)的概率參考答案1．A；

2．C；

3．A；

4．D；

5．；

6．；

7．；8．解：以12個(gè)球中任取3個(gè)，共有種不同的取法，故全是同色球的概率為，全是異色球的概率為9．解：由于事件A“至少有兩個(gè)人的生日是同一個(gè)月”的對立事件是“任何兩個(gè)人的生日都不同月”．因而至少有兩人的生日是同一個(gè)月的概率為：10．解：基本事件數(shù)有種．在由1到100這100個(gè)自然數(shù)中．3的倍數(shù)的數(shù)組成的集合M中有33個(gè)元素，不是3的倍數(shù)組成的集合N中有67個(gè)元素，事件A為任取兩整數(shù)相乘為3的倍數(shù)，分二類：1°取M中2個(gè)元素相乘有種；2°從集合M，N中各取1個(gè)元素相乘有種．因?yàn)榈趦深惢コ?，所?/p>

第七節(jié)：相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率一、選擇題1．甲盒中有200個(gè)螺桿，其中有160個(gè)A型的，乙盒中有240個(gè)上螺母，其中有180個(gè)A型的，現(xiàn)從甲、乙兩盒中各任取一個(gè)，則能配成A型的螺栓概率為（

）．A．B．C．D．2．流星穿過大氣層落在地面上的概率為0.002，則流星數(shù)量為10個(gè)的流星群穿過大氣層有4個(gè)落在地面上的概率約為（

）A．B．C．D．3．有10門炮同時(shí)向目標(biāo)各發(fā)射一發(fā)炮彈，如果每門炮的命中率都是0.1，則目標(biāo)被擊中的概率約為（

）A．0.45B．0.55C．0.65D．0.754．某人參加一次考試，若五道題中解對四題則為及格，已知他的解題正確率為，則他及格的概率是（

）．A．B．C．D．二、填空題5．從甲、乙、丙三種零件中各取1件組成某產(chǎn)品，所用三零件必須是正品，所得產(chǎn)品才是合格品．已知三種零件的次品率分別為2％，3％，5％，則產(chǎn)品的次品率是______．6．兩臺獨(dú)立在兩地工作的雷達(dá)，每臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率