2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一部分考點(diǎn)指導(dǎo)第六章平面向量、復(fù)數(shù)第五節(jié)復(fù)數(shù)

第五節(jié)復(fù)數(shù)【考試要求】.理解復(fù)數(shù)的基本概念..理解復(fù)數(shù)相等的充要條件..了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義..能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算..了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.【高考考情】考點(diǎn)考法：近3年高考在此處都有命題，主要考查復(fù)數(shù)及其有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于中低檔題目.核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算6 ---如謂赫理二思健激話.---o歸納?知識(shí)必備.復(fù)數(shù)的概念形如a+6i(a,6WR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,6分別是它的實(shí)部和虛部.若b=0,則a+歷為實(shí)數(shù)，若b#0,則a+6i為虛數(shù)，若a=0且6W0,則a+歷為純虛數(shù)..復(fù)數(shù)相等川a+bi=c+dioa=c且b=d(a,b,c,dGR)..共枕復(fù)數(shù).fa=c,a+6i與c+di共聊(a,b,c,</GR).[b=-d注解1利用復(fù)數(shù)相等a+6i=c+di列方程時(shí)，注意a,b,c,dGR的前提條件..復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面.x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);虛軸上的點(diǎn)除了原點(diǎn)都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示實(shí)部不為0的虛數(shù).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量組成的集合也是 對(duì)應(yīng)的..復(fù)數(shù)的模

向量應(yīng)的模不叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作Iz|或|a+歷|,即|z|=|a+bi\=Ja'+b，..復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)Z1=a+6i,z2=c+cii(a,b,c9d《R),貝(j(1)加法：zx+z2=(a+歷)+(c+di)=(a+c)+(6+o)i.(2)減法：Zi—22=(a+6i)—(c+di)=(lc)+(b—d)L(3)乘法：Z\?Z2=(a+6i)?(c+di)=(ac—bd)+(ad+bd)i.,、7人心?a+bi(a+bi)(c—di)⑷除法:z=淘=?…)一(二左=ac+bd+(bc-ad)i(c+片卻)C?+d27.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何Zi，Z2,Z：￡C,有Zi+z2=Zz+Z],(Zi+Z2)+Z3=?+(處+Z3).智學(xué)?變式探源1.必修二P69例12.必修二P79例51.(改變條件)已知復(fù)數(shù)(l+i)(a+i)為純虛數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則a=()A.1B.-1C.2D.-2a—1=0【解析】選A.(1+i)(a+i)=a+i+ai+i?=a—1+(a+1)i,它為純虛數(shù)，則＜ ,a盧+1WO=L.(改變數(shù)值)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)柒=.【解析】依題意得.A【解析】依題意得.AI1(2+i)(2-i)=-5-答案：3-2i-慧考?四基自測3.基礎(chǔ)知識(shí)4.基本方法5.基本應(yīng)用6.基本能力.(復(fù)數(shù)的幾何意義)在復(fù)平面內(nèi)，向量貶對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,向量蕾對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一1一3i,則向量灑對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(C.3+4iD.-3-4i【解析】選D.Ml=CB+BA=CB-AB=-l-3i-2-i=-3-4i.TOC\o"1-5"\h\z4.（復(fù)數(shù)的模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足丁匚=i,則|z|等于（ ）1—zA.1B.y[2C.mD.2]+z i-1【解析】選A.—=i,則2=不=匕所以|z|=L1—Z 1+11-I-5.（復(fù)數(shù)的概念）已知復(fù)數(shù)又為純虛數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a= .OI1.、u,an有皿1+ai （1+ai） （3—i） 3+a 3a—1 .'生有皿[觸析]由題意得，復(fù)數(shù)z=?,.=~,??.77rr- ?+~~1,因?yàn)閺?fù)數(shù)z3十1 （3十1） （3-1） 11（ 11）f3+a=0為純虛數(shù)，可得.，一八，解得a=-3.[3a—17=0答案：一36.（復(fù)數(shù)的運(yùn)算）已知（l+2i）,=4+3i,則2=.TOC\o"1-5"\h\z-，、— ，*— 4+3i （4+3i）（l-2i） cri,【解析】由（1+21）z=4+31得，z.7-= ； =2-1.所以z=21+21 5+i.答案：2+io .、考點(diǎn)探法培優(yōu),一 Q，考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念睦行透（2020?浙江高考）已知a6R,若a—l+（a—2）i（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則a=（ ）A.1B.-1C.2D.-2【解析】選C.因?yàn)閍—1+（a—2）i為實(shí)數(shù)，所以a—2=0,a—2.（2020?全國卷HI）復(fù)數(shù)不三的虛部是（）1—J1TOC\o"1-5"\h\z3 1 1 3a—r—— 「—d—10 10 10 10【解析】選D.因?yàn)閇=—r-_1_Q.、+17i，所以復(fù)數(shù)1 的虛部為白?1—31 （1—31）（1+31） 10 10 1—31 103.（多選題）（2022?廣州模擬）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.若復(fù)數(shù)z滿足/GR,則zGRB.若復(fù)數(shù)z滿足)V0,則zGRC.若復(fù)數(shù)z滿足』GR,則zCRzD.若復(fù)數(shù)z”Z2滿足??z2eR,則zi=z2【解析】選ABD.根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A,若2=匕則此時(shí)z2=i2=-lGR,但RR,所以A的說法錯(cuò)誤；對(duì)于B,復(fù)數(shù)z滿足/V0,令/=-6,b>0,所以z=土的i,所以z是虛數(shù)，所以B的說法錯(cuò)誤；對(duì)于C,設(shè)z=a+6i,則,=-/,:=~T~\2(a—bi),若。GR,必有6=0,貝!|zCR,所以CZ O1|Z| Z的說法正確；對(duì)于D,若4=i,a=-2i,則4Z2=2GR,但Zi#Z2，所以D的說法錯(cuò)誤.(2022?黃岡模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a+EY(a￡R)是純虛數(shù)，則a=( )A.-1B.1C.-2D.25i 5i(1—2i)【解析】選C.由已知，得a+-J,--=a+/1 ―K-=a+2+i,由題意得a+21~rzi 11-rzi)11—zi)=0,所以a=-2.,規(guī)律方法解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+歷(a,6GR),則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a,虛部為6.(2)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件：①z=a+歷eR<=>6=0(a,6GR)；②zGR=z=z；③zGRqz?2。.(3)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件：①z=a+6i是純虛數(shù)=&=0且6W0(a,6GR)；②z是純虛數(shù)+z=0(a0)；③z是純虛數(shù)oz2Vo.以【加練備選】如果復(fù)數(shù)需是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)勿等于()

0或10或一1/+/+（1—萬）i=1+^因?yàn)榇藦?fù)數(shù)為純虛數(shù),r/m啡n>+i（序+i0或10或一1/+/+（1—萬）i=1+^因?yàn)榇藦?fù)數(shù)為純虛數(shù),[nf+/z7=0,聽以L 一八解得/Z7=—l或0.?考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義講練互動(dòng)[典例1](1)(2021?開封模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)本對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線y=x的左上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(一°°,0) B.(—8,1)C.(0,+8) D.(1,+8)(a+i)(1—i)_=(1+i)(1-i)=【解析】選A.因?yàn)橹小窘馕觥窟xA.因?yàn)橹?a+1)+(1—a)i【解析】由題意，?=i,良=2—i,出(2-i)復(fù)數(shù)工對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線尸X的左上方，所以l—a>a+l,解得aVO.故實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)工對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線尸X的左上方，所以l—a>a+l,解得aVO.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,0).(2)如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都為1,點(diǎn)46對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是?,Z2,則I二|= .Z1 所以I—I- ： =二一=―—=5.Z1 1 1 |1I答案：5(3)★(命題?新視角)若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|W/(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為.【解析】設(shè)2=&+慶，a,6GR,則|z-i|=Ia+(6—1)i| (a—0)，+(6—1)《小‘所以(a-OF+B—1TW2,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形是以(0,1)為圓心，木為半徑的圓，面積為28.答案：2n，規(guī)律方法復(fù)數(shù)幾何意義解題策略自主完善，老師指導(dǎo)(1)已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置求參數(shù)范圍，可依據(jù)點(diǎn)所在位置建立不等式求解.(2)已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可建立方程求解.(3)研究復(fù)數(shù)模的問題，可利用數(shù)形結(jié)合法，考慮模的幾何意義求解.(4)若復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yGR),則|z|=r,點(diǎn)Z在以(0,0)為圓心,二為半徑的圓上.，對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練★(命題?新視角)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()A.(x+l)2+/=l B.(a—1)2+y=1C.C+(y-OF D.C+(y+1)2=1【解析】選C.由題意可知z=x+yi,所以Iz—i|=|x+(y—1)i|=胃+(y—1)'=1.所以*+(y-l)2=l.2.已知z=(m+3)+(加一l)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是( )A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+8)D.(-8,-3)歷+3>0,【解析】選A.由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(勿+3,加-1),所以[/^―1<0,解得一3VrV1.■考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算I多維探究高考考情：近幾年高考都在此處命題，主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則、共枕復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模，并且經(jīng)常交匯命題，屬于中低檔題目.?角度1求復(fù)數(shù)的值[典例2](2021?全國甲卷)已知(1一:1)22=3+2匕則z=( )TOC\o"1-5"\h\z3 3A.-1--i B.-1+/i3. 3C--2+iD.-2-i【解析】選B.(1一迷》=3+2i,3+2i (3+2i)?i-2+3i ,3.-2i -2i?i 2 2?角度2求共輾復(fù)數(shù)[典例3](金榜原創(chuàng)?易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰)1——i —(1)已知i是虛數(shù)單位，且z=T,則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限1-i (1-i)(—i) — —【解析】選B.z=——=—:—―--=-l-i,所以z=-l+i,則z在復(fù)平面內(nèi)11?1—17對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,1),所以二在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.1-i(2)已知i是虛數(shù)單位，且z=一1,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限1-i(1—i)(—i)【解析】選C.z=——=―—―--=-l-i,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象11,(—1)限.?角度3求復(fù)數(shù)的模[典例4](2020?全國卷I)若z=l+i,則|/—2z|=()A.0B.1C.y[2D.2【解析】選D.因?yàn)閦=l+i,所以z?—2z=(1+i)-—2(1+i)=l+2i+/-2—2i=-2,所以I/—2z|=-2—2.，規(guī)律方法

1.復(fù)數(shù)乘法和除法的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法，類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看為同類項(xiàng)，不含i的看為同類項(xiàng)，分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輾復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的暴寫成最簡形式..求一個(gè)復(fù)數(shù)的共枕復(fù)數(shù)的步驟(1)將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；(2)實(shí)部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共聊復(fù)數(shù).，多維訓(xùn)練l—3iTOC\o"1-5"\h\z(2022?長沙模擬)復(fù)數(shù)門=( )(1—1)(1+21)3 4A.~ —iB. — —— i5 5 5C.11D.—i【解析】選D.【解析】選D.(1-i)(l+2i)l-3i3+i(l-3i(l-3i)(3-i)-IQiTOC\o"1-5"\h\z - (3+i)(3-i) 10I.2.(2021?南昌模擬)復(fù)數(shù)z滿足 =1—i,則|z|=( )2iB.2C.iD.1【解析】選D.方法一：2=盧4=得=i,則|z|=l.1-1 L3.(多選題)(2022?武漢模擬)歐拉公式e''=cos夕+isin。(其中i為虛數(shù)單位，^GR)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是()n.e9為純虛數(shù)e米的共枕復(fù)數(shù)為3—乎iD.已知復(fù)數(shù)?=e",z2=e-3i,則復(fù)數(shù)z”0在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱【解析】選ABC.A選項(xiàng)：e7=cos~+isin~ i?故A正確；。五九不B選項(xiàng):e2=cos—+isin—=i,所以e?為純虛數(shù)，故BB選項(xiàng):—i ji j