《高等數學》電子課件(同濟第六版)04第三章-第4節(jié)-函數單調性與曲線的凹凸性

1一、單調性的判別法三、小結及作業(yè)1一、單調性的判別法三、小結及作業(yè)2一、單調性的判別法定理2一、單調性的判別法定理3證應用拉氏定理,得3證應用拉氏定理,得445例2解注意:函數的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區(qū)間上的單調性．5例2解注意:函數的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數在這一6（2）函數在整個定義域上不一定是單調的，但在不同的區(qū)間上具有單調性，且改變單調性的點只可能是的點及導數不存在的點．6（2）函數在整個定義域上不一定是單調的，但在不同的區(qū)間上具7）（4）區(qū)間內個別點導數為零,不影響區(qū)間的單調性.例如,（3）討論函數單調性的步驟：1）確定函數的定義域；2）求函數導數為零的點及一階導數不存在的點；3）這些點將定義域分成若干個小區(qū)間，列表討論。7）（4）區(qū)間內個別點導數為零,不影響區(qū)間的單調性.例如,（8的單調區(qū)間.解:令得故的單調增區(qū)間為的單調減區(qū)間為例3確定函數8的單調區(qū)間.解:令得故的單調增區(qū)間為的單調減區(qū)間為例39例4解單調區(qū)間為9例4解單調區(qū)間為10例5證10例5證11證明：因此，單調減少,f(x)

單調減少也就是11證明：因此，單調減少,f(x)單調減少也就是121213問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方13問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位圖形上任意141.曲線的凹凸與拐點的定義定義1.設函數

在區(qū)間上連續(xù),(1)若恒有則稱的圖形是凹的;(2)若恒有則稱的圖形函數圖形上凹凸的分界點稱為拐點

.是凸的.141.曲線的凹凸與拐點的定義定義1.設函數在區(qū)間152、曲線凹凸的判定定理1152、曲線凹凸的判定定理116證:利用一階泰勒公式可得兩式相加16證:利用一階泰勒公式可得兩式相加17例1.判斷曲線的凹凸性.解:當時時故曲線在上是向上凹的.說明(1)在個別二階導數為0的點,若此點兩側二階導數不變號,則不改變曲線的凹凸性.17例1.判斷曲線的凹凸性.解:當時時故曲線在上是向上凹的.18例2解注意到,18例2解注意到,19例3.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.19例3.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,020（c）檢查在這些點左右兩邊的符號，從而決定曲線的凹凸區(qū)間及拐點。（3）判別曲線的凹凸性及拐點的方法步驟：（a）求出；（b）求出使的點及不存在的點；20（c）檢查在這些點左右兩邊的符號，從而決定曲線的凹21例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求函數二階導為零的點令得對應3)列表判別,點

(0,1)

及均為拐點.故該曲線在上凸21例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求函數二22證明：22證明：232324三、小結

單調性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應用.

定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論仍然成立.

應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式.曲線的彎曲方向——凹凸性;凹凸性的判定.改變彎曲方向的點——拐點;拐點的求法1,2.24三、小結單調性的判別是拉格朗日中值定理定理251,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(1,3),9(1,3,6),10(1,2),13,14251,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(26思考題26思考題27思考題解答例27思考題解答例28練習題28練習題292930練習題答案30練習題答案313132思考題32思考題33思考題解答不能斷定.例但33思考題解答不能斷定.例但34當時，當時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內，都不單調遞增．34當時35練習題35練習題363637練習題答案37練習題答案383839一、單調性的判別法三、小結及作業(yè)1一、單調性的判別法三、小結及作業(yè)40一、單調性的判別法定理2一、單調性的判別法定理41證應用拉氏定理,得3證應用拉氏定理,得42443例2解注意:函數的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區(qū)間上的單調性．5例2解注意:函數的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數在這一44（2）函數在整個定義域上不一定是單調的，但在不同的區(qū)間上具有單調性，且改變單調性的點只可能是的點及導數不存在的點．6（2）函數在整個定義域上不一定是單調的，但在不同的區(qū)間上具45）（4）區(qū)間內個別點導數為零,不影響區(qū)間的單調性.例如,（3）討論函數單調性的步驟：1）確定函數的定義域；2）求函數導數為零的點及一階導數不存在的點；3）這些點將定義域分成若干個小區(qū)間，列表討論。7）（4）區(qū)間內個別點導數為零,不影響區(qū)間的單調性.例如,（46的單調區(qū)間.解:令得故的單調增區(qū)間為的單調減區(qū)間為例3確定函數8的單調區(qū)間.解:令得故的單調增區(qū)間為的單調減區(qū)間為例347例4解單調區(qū)間為9例4解單調區(qū)間為48例5證10例5證49證明：因此，單調減少,f(x)

單調減少也就是11證明：因此，單調減少,f(x)單調減少也就是501251問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方13問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位圖形上任意521.曲線的凹凸與拐點的定義定義1.設函數

在區(qū)間上連續(xù),(1)若恒有則稱的圖形是凹的;(2)若恒有則稱的圖形函數圖形上凹凸的分界點稱為拐點

.是凸的.141.曲線的凹凸與拐點的定義定義1.設函數在區(qū)間532、曲線凹凸的判定定理1152、曲線凹凸的判定定理154證:利用一階泰勒公式可得兩式相加16證:利用一階泰勒公式可得兩式相加55例1.判斷曲線的凹凸性.解:當時時故曲線在上是向上凹的.說明(1)在個別二階導數為0的點,若此點兩側二階導數不變號,則不改變曲線的凹凸性.17例1.判斷曲線的凹凸性.解:當時時故曲線在上是向上凹的.56例2解注意到,18例2解注意到,57例3.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.19例3.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,058（c）檢查在這些點左右兩邊的符號，從而決定曲線的凹凸區(qū)間及拐點。（3）判別曲線的凹凸性及拐點的方法步驟：（a）求出；（b）求出使的點及不存在的點；20（c）檢查在這些點左右兩邊的符號，從而決定曲線的凹59例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求函數二階導為零的點令得對應3)列表判別,點

(0,1)

及均為拐點.故該曲線在上凸21例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求函數二60證明：22證明：612362三、小結

單調性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應用.

定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論仍然成立.

應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式.曲線的彎曲方向——凹凸性;凹凸性的判定.改變彎曲方向的點——拐點;拐點的求法1,2.24三、小結單調性的判別是拉格朗日中值定理定理631,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(1,3),9(1,3,6),10(1,2),13,14251,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(64思考題26思考題65思考題解答例27思考題解答例66練習題28練習題672968練習題答案30練習題答案693170思考題32思考題71