《數(shù)學哲學史》課件

二、數(shù)學的特征及其在科學中的地位（一）、數(shù)學的特征1、抽象性2、邏輯的嚴格性3、系統(tǒng)地使用符號①、計算的需要②、邏輯推理的需要③、使數(shù)學形式簡化的最佳途徑二、數(shù)學的特征及其在科學中的地位14、廣泛的應用性①、數(shù)字電視②、1991年海灣戰(zhàn)爭③、姜伯駒的就職演說5、數(shù)學美簡潔美對稱美和諧美奇異美4、廣泛的應用性2

?Poincare（1854－1912）說：“感覺數(shù)學的美，感覺數(shù)與形的調(diào)和，感覺幾何學的優(yōu)雅，這是所有數(shù)學家都知道的真正的美感?！?/p>

?Pythagoras（-580－-500）聲稱，萬物皆數(shù)，美是數(shù)的和諧。

?Davinci（1452－1519）認為“黃金分割是美的原則?！?Poincare（1854－1912）說：“感覺數(shù)學3

?Euler（1707－1783）公式

?項武義－情理之中，意料之外?Euler（1707－1783）公式?項武義－情4（二）、數(shù)學在科學中的地位1、古希臘－科學的同義詞2、歐洲中世紀－經(jīng)院哲學盛行R.培根（1214－1294）：數(shù)學是所有科學的支柱。（二）、數(shù)學在科學中的地位53、文藝復興時期－帶頭學科Copernicus

1473-1543,波蘭Kepler1571-1630,德國Galliler

1564-1642,意大利Newton

1642-1727,英國3、文藝復興時期－帶頭學科6?Galliler：宇宙是一部巨著,其中的內(nèi)容是自然科學,它的語言是數(shù)學,符號是幾何圖形.如果不懂數(shù)學,就無法讀懂它.?Galliler：74、19世紀，Laplace（1749－1827）－“數(shù)學是自然科學的工具”?孔德（法）：數(shù)學力學天文學物理學化學生理學社會學4、19世紀，Laplace（1749－1827）－“數(shù)學85、19世紀末，數(shù)學與自然科學并列?馬克思：一種科學只有在成功地運用數(shù)學時，才能達到真正的完善。?數(shù)學是橫斷科學5、19世紀末，數(shù)學與自然科學并列9三、數(shù)學發(fā)展的幾個重要階段及其主要特征1、數(shù)學萌芽時期（至前6世紀）算術、幾何開始形成主要成就出現(xiàn)在：巴比倫、埃及、中國三、數(shù)學發(fā)展的幾個重要階段及其主要特征10?巴比倫：一些數(shù)表?埃及：-1800，算術級數(shù)，幾何級數(shù)，正方形錐臺的體積?中國：甲骨文中的數(shù)字，六十甲子?特點：有簡單的推理?巴比倫：一些數(shù)表112、初等數(shù)學時期（-6世紀—17世紀）：又稱為常量數(shù)學或有限數(shù)學時期?西方數(shù)學的中心：古希臘→阿拉伯和印度→西歐?中國數(shù)學獨立地發(fā)展著2、初等數(shù)學時期（-6世紀—17世紀）：12（1）、古希臘：科學發(fā)展的第一個黃金時期

?泰勒斯

Thales

-624_-547

幾何學鼻祖（1）、古希臘：科學發(fā)展的第一個黃金時期13?畢達哥拉斯Pythagoras-572_-497初等整數(shù)論?畢達哥拉斯Pythagoras14?亞里士多德Aristoteles-384_-322邏輯學創(chuàng)始人?亞里士多德Aristoteles-384_-32215歐幾里德Eulid

-330_-275公理法歐幾里德Eulid16?阿基米德Archmedes

-287_-212數(shù)學之神窮竭法積分法?阿基米德17阿波羅紐斯Apollonius

-262_-190《圓錐曲線》阿波羅紐斯18?丟番圖Diophantus

246-330代數(shù)方程論?丟番圖19－1世紀，羅馬消滅古希臘，數(shù)學的中心轉移到阿拉伯主要成就：（1）二次方程的解法（2）二項式定理（3）三角學出現(xiàn)－托勒密（Ptolemy,100-170）－1世紀，羅馬消滅古希臘，數(shù)學的中心轉移到阿拉伯20托勒密（Ptolemy,100-170）托勒密（Ptolemy,100-170）21（2）、西方文藝復興前后（15—17世紀）：科學發(fā)展的第二個黃金時期①、代數(shù)學已系統(tǒng)地使用符號。標志:Vieta1540－1603，意，代數(shù)學之父（2）、西方文藝復興前后（15—17世紀）：22②、有三次和四次方程的公式解法

Tartaglia，意塔塔里亞1500－1557②、有三次和四次方程的公式解法23③、“印度—阿拉伯數(shù)碼”定型通用

Fibonacci，1170-1250，意④、產(chǎn)生了十進制小數(shù)及對數(shù)③、“印度—阿拉伯數(shù)碼”定型通用24（3）、中國：《九章算術》?唐朝李淳風校定的“算經(jīng)十書”：《周髀算經(jīng)》，《九章算術》，《海島算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》，《張邱建算經(jīng)》，《五曹算經(jīng)》，《五經(jīng)算術》，《輯古算經(jīng)》，《夏侯陽算經(jīng)》，《綴術》

（3）、中國：《九章算術》25李淳風602－670李淳風602－67026主要成就：①、勾股定理及測量－趙爽，劉徽②、正負數(shù)運算法則－劉徽③、多元一次方程組的解法－劉徽④、極限思想在幾何中的應用——劉徽的“割圓術”主要成就：27⑤、中國傳統(tǒng)數(shù)學最輝煌的時期——宋元時期：

泰九韶的剩余定理和高次方程數(shù)值解法李治和朱世杰的天元術和四元術賈憲和楊輝的二項式展開系數(shù)表朱世杰和沈括的高階等差級數(shù)求和算籌的發(fā)展，元代產(chǎn)生了算盤⑤、中國傳統(tǒng)數(shù)學最輝煌的時期——宋元時期：28初等數(shù)時期的特點：①、除虛數(shù)外，初等數(shù)學已基本完備②、與萌芽時期數(shù)學的主要區(qū)別③、這一時期的數(shù)學雖然有極限思想及其初步運用，但主要是以常量、有限和不變圖形的研究為特征的初等數(shù)學。初等數(shù)時期的特點：293、近代數(shù)學時期（17世紀中期—19世紀末期）：又稱為變量數(shù)學時期或高等數(shù)學時期或無限數(shù)學時期（1）、十七世紀的數(shù)學：①、幾何問題代數(shù)化②、變量進入數(shù)學③、概率論產(chǎn)生，使數(shù)學開始涉及偶然事件3、近代數(shù)學時期（17世紀中期—19世紀末期）：30（2）、十八世紀的數(shù)學：①、為微積分作奠基工作②、在微積分的基礎上發(fā)展出無窮級數(shù)，常微分方程，偏微分方程，變分法等學科③、概率論也發(fā)生了變化：組合概率時期到分析概率時期（2）、十八世紀的數(shù)學：31（3）、十九世紀的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展的第三個黃金時期。GaussRiemannPoincareLobachevskyGaloisCantorCauchyCayley……（3）、十九世紀的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展的第三個黃金時期。32分析方面——確立了微積分的現(xiàn)代形式，產(chǎn)生了復變函數(shù)幾何方面——羅氏幾何代數(shù)方面——伽羅瓦創(chuàng)立群論分析方面——確立了微積分的現(xiàn)代形式，產(chǎn)生了復變函334、現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀以來）：①、數(shù)學方面：

1900年希爾伯特提出的23個全局性問題，是推動19世紀數(shù)學發(fā)展的強大動力。②、現(xiàn)代數(shù)學的特點：4、現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀以來）：34Ⅰ、集合論成為各個數(shù)學分支的基礎，純粹數(shù)學轉向研究基本的數(shù)學結構Ⅱ、數(shù)學的抽象化程度越來越高，分支越來越細，內(nèi)在聯(lián)系揭露的越來越深Ⅲ、電子計算機進入數(shù)學領域，推動了數(shù)學的發(fā)展Ⅳ、應用數(shù)學蓬勃發(fā)展Ⅰ、集合論成為各個數(shù)學分支的基礎，純粹數(shù)學轉向研35四、數(shù)學的真理性問題問題：數(shù)學體系是否具有真理性？（）

A、嚴密完善；

B、有矛盾，可避免；

C、有矛盾，無法徹底消除；

D、不知道四、數(shù)學的真理性問題36（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機37（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機1、畢達哥拉斯悖論：

①、畢達哥拉斯悖論：希伯索斯(Hippasus)不可公度量（無理數(shù)）的發(fā)現(xiàn)導致第一次危機（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機38希伯索斯在研究邊長為1的正方形時,發(fā)現(xiàn)其對角線不能用整數(shù)之比來表示,即證明不可公度量的存在.

意義：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導致了西方數(shù)學史上的第一次危機，致使以后數(shù)域的擴張，從而為數(shù)學的發(fā)展做出了巨大的貢獻。希伯索斯在研究邊長為1的正方形時,發(fā)現(xiàn)其對角線不能用整數(shù)之39證明不是有理數(shù)。證明：（反證）若是有理數(shù)，即，，則，于是是偶數(shù)，則可設，代入有，即可得是偶數(shù)，這與矛盾！證明不是有理數(shù)。40②、關于負數(shù)和虛數(shù)：Ⅰ、比“沒有”還小的數(shù)Ⅱ、瓦里斯-負數(shù)應大于無窮大Ⅲ、-1/1=1/-1

負數(shù)-錯的數(shù),荒謬的數(shù)；負根-假根Ⅳ、虛數(shù)的名稱：卡爾丹諾——詭辯量；納皮爾——實數(shù)的鬼魂；笛卡爾——虛擬的數(shù)；萊布尼茲——它是介于存在和不存在之間的兩棲物②、關于負數(shù)和虛數(shù)：Ⅰ、比“沒有”還小的數(shù)41③、關于無窮：Ⅰ、莊子（-369－-286）：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！雹?、芝諾悖論：芝諾（Zenon，-490—-436），古希臘唯心主義哲學家，巴門尼德的學生，埃利亞學派的主要代表之一。認為世界上唯一真實的東西只是“唯一不動的存在”。所以“存在”是“一”而不是“多”，是“靜”而不是“動”。③、關于無窮：Ⅰ、莊子（-369－-286）：42《數(shù)學哲學史》課件43“二分法”——運動不存在理由是：“運動著的物體在到達目的地之前，必先到達半路上的一點。”即欲從甲處到達乙處，必先到達其1/2處，又必先到達其1/4處，...，由于線段無限可分，所以根本就不可能開始運動。問：是怎樣到達的？“二分法”——運動不存在理由是：“運動著的物體在到達目的地44阿基里斯追龜假設阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，而烏龜在阿基里斯?00米處，二者同時同向起跑，當阿基里斯追到100米時，烏龜前進了10米；阿基里斯追上了10米，這時烏龜又前進了1米；阿基里斯又追上1米，烏龜又前進了0.1米，...，阿基里斯總要經(jīng)過烏龜?shù)钠瘘c，即阿基里斯總在烏龜?shù)暮竺妫还苓@個距離如何短。所以阿基里斯永遠追不上烏龜。阿基里斯追龜假設阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，而烏龜在阿基?5飛箭不動一只飛著的箭在一定的時間內(nèi)經(jīng)過許多點，但在每一個瞬間都占有一個特定的位置，它在這一瞬間是不動的，無限個不動的瞬間的總和還是不動，所以飛箭不動。如果說它在動，那就等于說它同時在這一點上又不在這一點上，矛盾！飛箭不動一只飛著的箭在一定的時間內(nèi)經(jīng)過許多點，但在每一個瞬46Ⅲ、普羅克魯斯悖論一個無窮大＝兩個無窮大Ⅲ、普羅克魯斯悖論47Ⅳ、亞里士多德悖論大小不同的兩個圓周長相等Ⅳ、亞里士多德悖論大小不同的兩個圓周長相等48Ⅴ、伽俐略悖論：“部分等于全體”Ⅴ、伽俐略悖論：“部分等于全體”492、貝克萊悖論：1650年，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，使數(shù)學進入了變量時代，但當時的微積分理論還不是很嚴密，例如關于實無窮小量，產(chǎn)生了嚴重的邏輯困難，因而導致了第二次數(shù)學危機。2、貝克萊悖論：1650年，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了50①、展開，含有，當時認為是有限的非零的量，要多小就有多小，在展開式中不去掉；②、但求導數(shù)時，又可以把高階無窮小去掉。①、展開，含有，當時認為是有限的非零51Newton認為，對函數(shù)有

Newton認為，對函數(shù)52英國的貝克萊（Beckly）大主教說：“是逝去量的鬼魂！”——招之即來，揮之即去。馬克思在《數(shù)學手稿》中也曾說過：“把高階無窮小去掉是暴力鎮(zhèn)壓！”---導致了第二次數(shù)學危機。英國的貝克萊（Beckly）大主教說：“是逝去量的鬼魂！”—53分析的嚴密化過程17－19世紀①、分析學最后歸結為實數(shù)理論Ⅰ、戴德金（Dedekind，1813－1916，德）的分劃說——對數(shù)軸用不同的分劃有不同的有理數(shù)和無理數(shù)Ⅱ、康托（Cantor，1829－1920，德）：基本序列——用有理數(shù)的逼近構造無理數(shù)微積分理論建立在實連續(xù)統(tǒng)的基礎上分析的嚴密化過程17－19世紀①、分析學最后歸結為實數(shù)理54②、集合論的建立集合論的建立成為整個現(xiàn)代數(shù)學的基礎。它的創(chuàng)始人是康托Cantor，1829－1920，德—樸素的集合論②、集合論的建立集合論的建立成為整個現(xiàn)代數(shù)學的基礎。它的創(chuàng)55結論：到19世紀，現(xiàn)代數(shù)學是建立在實數(shù)理論和與它相聯(lián)系的集合論的基礎上的。這樣，分析的嚴密化過程基本結束。結論：到19世紀，現(xiàn)代數(shù)學是建立在實數(shù)理論和與它相聯(lián)系的集合563、集合論悖論：（1）、Russell悖論—1902年：A={集合A|A不屬于A}問:A是否屬于A？?“由一切不包含自身的集合所組成的集合”是否包含自身的問題。

3、集合論悖論：（1）、Russell悖論—190257Russell悖論的替代說法“理發(fā)師悖論”—1919年:某城鎮(zhèn)中只有一個理發(fā)師，而鎮(zhèn)中的每一個人都要理發(fā)，理發(fā)師就約定：“我給且只給鎮(zhèn)中那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)，”問：這位理發(fā)師是否給他自己理發(fā)？

Russell悖論的替代說法“理發(fā)師悖論”—1919年:58Russell悖論的影響弗雷格（Frege，1848－1925，德）的《算法基礎》第三卷戴德金（Dedkind，1831－1916，德）的名著《什么是數(shù)和數(shù)是什么》布勞維爾（Brouwer，1881－1966，荷蘭)Russell悖論的影響弗雷格（Frege，1848－1959（3）、Cantor悖論—1899年對等與基數(shù)一方面,有另一方面,若令S為大全集,則有（3）、Cantor悖論—1899年對等與基數(shù)60（4）、說謊者悖論一個克里特人說：“所有的克里特人都說謊?！闭垎栠@個克里特人是否在說謊？?等價的一句話：“這句話是假的?！保?）、說謊者悖論一個克里特人說：“所有的克里特人都說謊?！?14、其他悖論：（1）、柏拉圖—蘇格拉底悖論：柏拉圖：下面蘇說的話是假的蘇格拉底：柏拉圖前面說了真話問：蘇格拉底是否在說真話？4、其他悖論：（1）、柏拉圖—蘇格拉底悖論：62（2）、梵學者的預言：印度預言家的女兒，在紙上寫了一件事（一句話），讓她的父親預言這件事情在今天下午三點鐘之前是否發(fā)生，并在卡片上寫下“是”或“不”字。此梵學者在卡片上寫下了一個“是”字。她女兒在紙上寫的這件事（這句話）是“在今天下午三點鐘之前，您將寫一個‘不’字在卡片上?！保?）、梵學者的預言：63（3）、意料之外的考試：一位教授宣布，下周的某一天要進行一次“意料之外的考試”，并說沒有一個學生能夠在考試那天之前的一天推測出考試的日期。一個學生“證明”了：考試不會在一周的最后一天進行。

（3）、意料之外的考試：64（4）、哪輛車中的異性多：甲乙兩輛汽車都坐滿了40人，甲車中40個男人，乙車中40個女人，甲車中10個男人到乙車中去了，又從乙車中下來10個人（幾男幾女不清楚）到甲車中去，問：甲乙二車中哪輛車中的異性多？（4）、哪輛車中的異性多：65（5）、格里林悖論－1908年形容詞有兩種：一是“自狀的”：如“抽象的”、“中文的”等均適用于自身；一種是“非自狀的”：如“圓的”、“單音節(jié)的”、“英文的”等均不適用于自身?，F(xiàn)在問：“非自狀的”這一性質(zhì)是自狀的還是非自狀的呢？（5）、格里林悖論－1908年66（6）、飛蟲悖論：一只飛蟲在二輛騎自行車相對而行的人之間來回飛行（二車同速，勻速為每小時2公里，相距18公里），當二車在中點碰面時，飛蟲共走了多少距離？一個遞減的級數(shù)之和？－VonNeumann，1903－1957，美

逆問題（6）、飛蟲悖論：67二、數(shù)學的特征及其在科學中的地位（一）、數(shù)學的特征1、抽象性2、邏輯的嚴格性3、系統(tǒng)地使用符號①、計算的需要②、邏輯推理的需要③、使數(shù)學形式簡化的最佳途徑二、數(shù)學的特征及其在科學中的地位684、廣泛的應用性①、數(shù)字電視②、1991年海灣戰(zhàn)爭③、姜伯駒的就職演說5、數(shù)學美簡潔美對稱美和諧美奇異美4、廣泛的應用性69

?Poincare（1854－1912）說：“感覺數(shù)學的美，感覺數(shù)與形的調(diào)和，感覺幾何學的優(yōu)雅，這是所有數(shù)學家都知道的真正的美感?！?/p>

?Pythagoras（-580－-500）聲稱，萬物皆數(shù)，美是數(shù)的和諧。

?Davinci（1452－1519）認為“黃金分割是美的原則?！?Poincare（1854－1912）說：“感覺數(shù)學70

?Euler（1707－1783）公式

?項武義－情理之中，意料之外?Euler（1707－1783）公式?項武義－情71（二）、數(shù)學在科學中的地位1、古希臘－科學的同義詞2、歐洲中世紀－經(jīng)院哲學盛行R.培根（1214－1294）：數(shù)學是所有科學的支柱。（二）、數(shù)學在科學中的地位723、文藝復興時期－帶頭學科Copernicus

1473-1543,波蘭Kepler1571-1630,德國Galliler

1564-1642,意大利Newton

1642-1727,英國3、文藝復興時期－帶頭學科73?Galliler：宇宙是一部巨著,其中的內(nèi)容是自然科學,它的語言是數(shù)學,符號是幾何圖形.如果不懂數(shù)學,就無法讀懂它.?Galliler：744、19世紀，Laplace（1749－1827）－“數(shù)學是自然科學的工具”?孔德（法）：數(shù)學力學天文學物理學化學生理學社會學4、19世紀，Laplace（1749－1827）－“數(shù)學755、19世紀末，數(shù)學與自然科學并列?馬克思：一種科學只有在成功地運用數(shù)學時，才能達到真正的完善。?數(shù)學是橫斷科學5、19世紀末，數(shù)學與自然科學并列76三、數(shù)學發(fā)展的幾個重要階段及其主要特征1、數(shù)學萌芽時期（至前6世紀）算術、幾何開始形成主要成就出現(xiàn)在：巴比倫、埃及、中國三、數(shù)學發(fā)展的幾個重要階段及其主要特征77?巴比倫：一些數(shù)表?埃及：-1800，算術級數(shù)，幾何級數(shù)，正方形錐臺的體積?中國：甲骨文中的數(shù)字，六十甲子?特點：有簡單的推理?巴比倫：一些數(shù)表782、初等數(shù)學時期（-6世紀—17世紀）：又稱為常量數(shù)學或有限數(shù)學時期?西方數(shù)學的中心：古希臘→阿拉伯和印度→西歐?中國數(shù)學獨立地發(fā)展著2、初等數(shù)學時期（-6世紀—17世紀）：79（1）、古希臘：科學發(fā)展的第一個黃金時期

?泰勒斯

Thales

-624_-547

幾何學鼻祖（1）、古希臘：科學發(fā)展的第一個黃金時期80?畢達哥拉斯Pythagoras-572_-497初等整數(shù)論?畢達哥拉斯Pythagoras81?亞里士多德Aristoteles-384_-322邏輯學創(chuàng)始人?亞里士多德Aristoteles-384_-32282歐幾里德Eulid

-330_-275公理法歐幾里德Eulid83?阿基米德Archmedes

-287_-212數(shù)學之神窮竭法積分法?阿基米德84阿波羅紐斯Apollonius

-262_-190《圓錐曲線》阿波羅紐斯85?丟番圖Diophantus

246-330代數(shù)方程論?丟番圖86－1世紀，羅馬消滅古希臘，數(shù)學的中心轉移到阿拉伯主要成就：（1）二次方程的解法（2）二項式定理（3）三角學出現(xiàn)－托勒密（Ptolemy,100-170）－1世紀，羅馬消滅古希臘，數(shù)學的中心轉移到阿拉伯87托勒密（Ptolemy,100-170）托勒密（Ptolemy,100-170）88（2）、西方文藝復興前后（15—17世紀）：科學發(fā)展的第二個黃金時期①、代數(shù)學已系統(tǒng)地使用符號。標志:Vieta1540－1603，意，代數(shù)學之父（2）、西方文藝復興前后（15—17世紀）：89②、有三次和四次方程的公式解法

Tartaglia，意塔塔里亞1500－1557②、有三次和四次方程的公式解法90③、“印度—阿拉伯數(shù)碼”定型通用

Fibonacci，1170-1250，意④、產(chǎn)生了十進制小數(shù)及對數(shù)③、“印度—阿拉伯數(shù)碼”定型通用91（3）、中國：《九章算術》?唐朝李淳風校定的“算經(jīng)十書”：《周髀算經(jīng)》，《九章算術》，《海島算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》，《張邱建算經(jīng)》，《五曹算經(jīng)》，《五經(jīng)算術》，《輯古算經(jīng)》，《夏侯陽算經(jīng)》，《綴術》

（3）、中國：《九章算術》92李淳風602－670李淳風602－67093主要成就：①、勾股定理及測量－趙爽，劉徽②、正負數(shù)運算法則－劉徽③、多元一次方程組的解法－劉徽④、極限思想在幾何中的應用——劉徽的“割圓術”主要成就：94⑤、中國傳統(tǒng)數(shù)學最輝煌的時期——宋元時期：

泰九韶的剩余定理和高次方程數(shù)值解法李治和朱世杰的天元術和四元術賈憲和楊輝的二項式展開系數(shù)表朱世杰和沈括的高階等差級數(shù)求和算籌的發(fā)展，元代產(chǎn)生了算盤⑤、中國傳統(tǒng)數(shù)學最輝煌的時期——宋元時期：95初等數(shù)時期的特點：①、除虛數(shù)外，初等數(shù)學已基本完備②、與萌芽時期數(shù)學的主要區(qū)別③、這一時期的數(shù)學雖然有極限思想及其初步運用，但主要是以常量、有限和不變圖形的研究為特征的初等數(shù)學。初等數(shù)時期的特點：963、近代數(shù)學時期（17世紀中期—19世紀末期）：又稱為變量數(shù)學時期或高等數(shù)學時期或無限數(shù)學時期（1）、十七世紀的數(shù)學：①、幾何問題代數(shù)化②、變量進入數(shù)學③、概率論產(chǎn)生，使數(shù)學開始涉及偶然事件3、近代數(shù)學時期（17世紀中期—19世紀末期）：97（2）、十八世紀的數(shù)學：①、為微積分作奠基工作②、在微積分的基礎上發(fā)展出無窮級數(shù)，常微分方程，偏微分方程，變分法等學科③、概率論也發(fā)生了變化：組合概率時期到分析概率時期（2）、十八世紀的數(shù)學：98（3）、十九世紀的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展的第三個黃金時期。GaussRiemannPoincareLobachevskyGaloisCantorCauchyCayley……（3）、十九世紀的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展的第三個黃金時期。99分析方面——確立了微積分的現(xiàn)代形式，產(chǎn)生了復變函數(shù)幾何方面——羅氏幾何代數(shù)方面——伽羅瓦創(chuàng)立群論分析方面——確立了微積分的現(xiàn)代形式，產(chǎn)生了復變函1004、現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀以來）：①、數(shù)學方面：

1900年希爾伯特提出的23個全局性問題，是推動19世紀數(shù)學發(fā)展的強大動力。②、現(xiàn)代數(shù)學的特點：4、現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀以來）：101Ⅰ、集合論成為各個數(shù)學分支的基礎，純粹數(shù)學轉向研究基本的數(shù)學結構Ⅱ、數(shù)學的抽象化程度越來越高，分支越來越細，內(nèi)在聯(lián)系揭露的越來越深Ⅲ、電子計算機進入數(shù)學領域，推動了數(shù)學的發(fā)展Ⅳ、應用數(shù)學蓬勃發(fā)展Ⅰ、集合論成為各個數(shù)學分支的基礎，純粹數(shù)學轉向研102四、數(shù)學的真理性問題問題：數(shù)學體系是否具有真理性？（）

A、嚴密完善；

B、有矛盾，可避免；

C、有矛盾，無法徹底消除；

D、不知道四、數(shù)學的真理性問題103（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機104（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機1、畢達哥拉斯悖論：

①、畢達哥拉斯悖論：希伯索斯(Hippasus)不可公度量（無理數(shù)）的發(fā)現(xiàn)導致第一次危機（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機105希伯索斯在研究邊長為1的正方形時,發(fā)現(xiàn)其對角線不能用整數(shù)之比來表示,即證明不可公度量的存在.

意義：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導致了西方數(shù)學史上的第一次危機，致使以后數(shù)域的擴張，從而為數(shù)學的發(fā)展做出了巨大的貢獻。希伯索斯在研究邊長為1的正方形時,發(fā)現(xiàn)其對角線不能用整數(shù)之106證明不是有理數(shù)。證明：（反證）若是有理數(shù)，即，，則，于是是偶數(shù)，則可設，代入有，即可得是偶數(shù)，這與矛盾！證明不是有理數(shù)。107②、關于負數(shù)和虛數(shù)：Ⅰ、比“沒有”還小的數(shù)Ⅱ、瓦里斯-負數(shù)應大于無窮大Ⅲ、-1/1=1/-1

負數(shù)-錯的數(shù),荒謬的數(shù)；負根-假根Ⅳ、虛數(shù)的名稱：卡爾丹諾——詭辯量；納皮爾——實數(shù)的鬼魂；笛卡爾——虛擬的數(shù)；萊布尼茲——它是介于存在和不存在之間的兩棲物②、關于負數(shù)和虛數(shù)：Ⅰ、比“沒有”還小的數(shù)108③、關于無窮：Ⅰ、莊子（-369－-286）：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！雹?、芝諾悖論：芝諾（Zenon，-490—-436），古希臘唯心主義哲學家，巴門尼德的學生，埃利亞學派的主要代表之一。認為世界上唯一真實的東西只是“唯一不動的存在”。所以“存在”是“一”而不是“多”，是“靜”而不是“動”。③、關于無窮：Ⅰ、莊子（-369－-286）：109《數(shù)學哲學史》課件110“二分法”——運動不存在理由是：“運動著的物體在到達目的地之前，必先到達半路上的一點?！奔从麖募滋幍竭_乙處，必先到達其1/2處，又必先到達其1/4處，...，由于線段無限可分，所以根本就不可能開始運動。問：是怎樣到達的？“二分法”——運動不存在理由是：“運動著的物體在到達目的地111阿基里斯追龜假設阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，而烏龜在阿基里斯?00米處，二者同時同向起跑，當阿基里斯追到100米時，烏龜前進了10米；阿基里斯追上了10米，這時烏龜又前進了1米；阿基里斯又追上1米，烏龜又前進了0.1米，...，阿基里斯總要經(jīng)過烏龜?shù)钠瘘c，即阿基里斯總在烏龜?shù)暮竺?，不管這個距離如何短。所以阿基里斯永遠追不上烏龜。阿基里斯追龜假設阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，而烏龜在阿基?12飛箭不動一只飛著的箭在一定的時間內(nèi)經(jīng)過許多點，但在每一個瞬間都占有一個特定的位置，它在這一瞬間是不動的，無限個不動的瞬間的總和還是不動，所以飛箭不動。如果說它在動，那就等于說它同時在這一點上又不在這一點上，矛盾！飛箭不動一只飛著的箭在一定的時間內(nèi)經(jīng)過許多點，但在每一個瞬113Ⅲ、普羅克魯斯悖論一個無窮大＝兩個無窮大Ⅲ、普羅克魯斯悖論114Ⅳ、亞里士多德悖論大小不同的兩個圓周長相等Ⅳ、亞里士多德悖論大小不同的兩個圓周長相等115Ⅴ、伽俐略悖論：“部分等于全體”Ⅴ、伽俐略悖論：“部分等于全體”1162、貝克萊悖論：1650年，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，使數(shù)學進入了變量時代，但當時的微積分理論還不是很嚴密，例如關于實無窮小量，產(chǎn)生了嚴重的邏輯困難，因而導致了第二次數(shù)學危機。2、貝克萊悖論：1650年，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了117①、展開，含有，當時認為是有限的非零的量，要多小就有多小，在展開式中不去掉；②、但求導數(shù)時，又可以把高階無窮小去掉。①、展開，含有，當時認為是有限的非零118Newton認為，對函數(shù)有

Newton認為，對函數(shù)119英國的貝克萊（Beckly）大主教說：“是逝去量的鬼魂！”——招之即來，揮之即去。馬克思在《數(shù)學手稿》中也曾說過：“把高階無窮小去掉是暴力鎮(zhèn)壓！”---導致了第二次數(shù)學危機。英國的貝克萊（Beckly）大主教說：“是逝去量的鬼魂！”—120分析的嚴密化過程17－19世紀①、分析學最后歸結為實數(shù)理論Ⅰ、戴德金（Dedekind，1813－1916，德）的分劃說——對數(shù)軸用不同的分劃有不同的有理數(shù)和無理數(shù)Ⅱ、康托（Cantor，1829－1920，德）：基本序列——用有理數(shù)的逼近構造無理數(shù)微積分理論建立在實連續(xù)統(tǒng)的基礎上分析的嚴密化過程17－19世紀①、分析學最后歸結為實數(shù)理121②、集合論的建立集合論的建立成為整個現(xiàn)代數(shù)學的基礎。它的創(chuàng)始人是康托Cantor，1829－1920，德—樸素的集合論②、集合論的建立集合論的建立成為整個現(xiàn)代數(shù)學的基礎。它的創(chuàng)122結論：到19世紀，現(xiàn)代數(shù)學是建立在實數(shù)理論和與它相聯(lián)系的集合論的基礎上的。這樣，分析的嚴密化過程基本結束。結論：到19世紀，現(xiàn)代數(shù)學