豐臺(tái)區(qū)高二（下期）期末數(shù)學(xué)試題卷（含答案）

2022北京豐臺(tái)高二(下)期末2022.07第一部分(選擇題共40分)一.選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。.已知函數(shù)/(x)=cosx,則/吟)=TOC\o"1-5"\h\z(A)— (B) (C)- (D)--2 2 2 2.(x-2)3的展開(kāi)式中V的系數(shù)是(A)-12 (B)12 (C)-6 (D)6.設(shè)5“是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若S,,=〃2+2〃，則％=(A)-21 (B)11 (C)27 (D)35.經(jīng)驗(yàn)表明，某種樹(shù)的高度y(單位：m)與胸徑x(單位：cm)(樹(shù)的主干在地面以上1.3米處的直徑)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(4其)(i=L2,…,〃)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為》=0.25x+15.據(jù)此模型進(jìn)行推測(cè)，下列結(jié)論正確的是(A)y與x負(fù)相關(guān)(B)胸徑為20cm的樹(shù)，其高度一定為20m(C)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，樣本中一棵樹(shù)的胸徑增加1cm,估計(jì)其高度增加0.25m(D)樣本數(shù)據(jù)(0?)(i=L2,…中至少有一對(duì)滿(mǎn)足經(jīng)驗(yàn)回歸方程g=0.25x+15.在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度人(單位：m)與起跳后的時(shí)間r(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系力⑺=-4.9r+4.8r+ll.該運(yùn)動(dòng)員在uls時(shí)的瞬時(shí)速度(單位：m/s)為(A)10.9 (B)-10.9 (C)5 (D)-5.同時(shí)拋擲一枚紅骰子和一枚藍(lán)骰子，觀(guān)察向上的點(diǎn)數(shù)，記“紅骰子向上的點(diǎn)數(shù)為1”為事件A,“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于6”為事件B，則P(B|A)=(A)- (B)- (C)— (D)—3 6 12 36.甲，乙，丙3位同學(xué)從即將開(kāi)設(shè)的4門(mén)校本課程中任選一門(mén)參加，則他們參加的校本課程各不相同的概率為(A)-8(A)-8(B)-4(D)號(hào)98.“4=2”是“函數(shù)/(x)=e，(x—0)在x=1處有極小值”的8.(A)充分而不必要條件(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件.某項(xiàng)活動(dòng)需要把包含甲，乙，丙在內(nèi)的6名志愿者安排到A,B,C三個(gè)小區(qū)做服務(wù)工作，每個(gè)小區(qū)安排2名志愿者.已知甲必須安排在A小區(qū)，乙和丙不能安排在同一小區(qū)，則不同安排方案的種數(shù)為（A）24 （B）36 （C）48 （D）72.已知a“是不大于〃的正整數(shù)，其中〃wN*.若4+/+%+…+4270,則正整數(shù)機(jī)的最小值為（A）23 （B）24 （C）25 （D）26第二部分（非選擇題共110分）二.填空題共5小題，每小題5分，共25分。.為了解性別因素是否對(duì)某班學(xué)生打籃球的經(jīng)常性有影響，對(duì)該班40名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下的2x2列聯(lián)表；經(jīng)常打籃球不經(jīng)常打籃球合計(jì)男生m420女生820合計(jì)n40則加=,n=..由兩個(gè)“1”和兩個(gè)“2”組成的不同的四位數(shù)有個(gè).（用數(shù)字作答）.函數(shù)/*）=叱在x=l處的瞬時(shí)變化率為.X.數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為=p”2+〃（pwR）,若則p的一個(gè)取值為..某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.每個(gè)瓶子的造價(jià)H（單位：元）、瓶?jī)?nèi)飲料的獲利尸2（單位：元）分別與瓶子的半徑r（單位：cm,rW5）之間的關(guān)系如圖甲、乙所示.設(shè)制造商的利潤(rùn)為/（「）=△-￡,給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)re（0,7；）時(shí)，/（r）＜0；/（，）在區(qū)間（小5）上單調(diào)遞減；/（，）在區(qū)間（0當(dāng)）上存在極小值；f\r）在區(qū)間（0,7;）上存在極小值.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三.解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。.（本小題14分）某同學(xué)在上學(xué)途中要經(jīng)過(guò)一個(gè)路口，假設(shè)他騎車(chē)上學(xué)在該路口遇到紅燈的概率為,.已知該同學(xué)一周有3天騎3車(chē)上學(xué).（I）求該同學(xué)在這3天上學(xué)途中恰有1天遇到紅燈的概率；（II）記該同學(xué)在這3天上學(xué)途中遇到紅燈的天數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）..（本小題13分）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，S2=9,請(qǐng)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，解決下面的問(wèn)題：（I）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列出｝滿(mǎn)足hn=2中,求數(shù)列0｝的前〃項(xiàng)和7；.條件①：%=7；條件②：S4=22.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分..（本小題14分）已知函數(shù)/（X）=V—2以2+/x,flaR.（I）當(dāng)。=2時(shí)，求/（x）在區(qū)間［1,3］上的最大值和最小值;（II）求/（x）的單調(diào)區(qū)間..（本小題15分）一興趣小組為了解5種APP的使用情況，在某社區(qū)隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，得到使用這5種APP的人數(shù)及每種APP的滿(mǎn)意率，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：APP第1種第2種第3利?第4種第5種使用APP的人數(shù)160901509080滿(mǎn)意率0.850.750.80.70.75（I）從這200人中隨機(jī)抽取1人，求此人使用第2種APP的概率；（II）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，將使用人數(shù)超過(guò)50%的APP稱(chēng)為“優(yōu)秀APP”.該興趣小組從這5種APP中隨機(jī)選取3種，記其中“優(yōu)秀APP”的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；（III）假設(shè)每種APP被社區(qū)居民評(píng)價(jià)為滿(mǎn)意的概率與表格中該種APP的滿(mǎn)意率相等，用“4=1”表示居民對(duì)第火種APP滿(mǎn)意，"芻=0”表示居民對(duì)第攵種APP不滿(mǎn)意伏=1,2,3,4,5）.寫(xiě)出方差。（芻），。?），。（芻），。（或），￡＞（備）的大小關(guān)系.（只需寫(xiě)出結(jié)論）.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=ae2，+(a-2)e—x(aeR).(I)當(dāng)4=0時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)點(diǎn)(0,7(0))處的切線(xiàn)方程；(II)求證：當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)存在極值；(III)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,一)上有零點(diǎn)，求a的取值范圍..(本小題14分)已知數(shù)列｛4｝是無(wú)窮數(shù)列.若-%，則稱(chēng)｛勿｝為數(shù)列｛%｝的1階差數(shù)列；若%=6用-々，則稱(chēng)數(shù)列｛c,｝為數(shù)列｛q｝的2階差數(shù)列；以此類(lèi)推，可得出數(shù)列｛%｝的。階差數(shù)列，其中peN*.(I)若數(shù)列｛?“)的通項(xiàng)公式為4=〃2,求數(shù)列｛《,｝的2階差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(II)若數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1，其一階差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為"=2〃，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；(III)若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a"=〃"'(mGN*),寫(xiě)出數(shù)列｛a“｝的機(jī)階差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并說(shuō)明理由.參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.題號(hào)12345678910答案DCBCDBACAB二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.16；16 12.6 13.114.一1(答案不唯一，只要滿(mǎn)足"p＜一,”即可) 15.①③?三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.(本小題14分)解：(I)記“該同學(xué)在這3天上學(xué)途中恰有1天遇到紅燈”為事件A,貝lJP(A)=Gxgx(l—g)2=1,所以，該同學(xué)在這3天上學(xué)途中恰有1天遇到紅燈的概率為士 5分9(IDX的所有可能取值為：0,123.P(X=O)=^x(1)ox(1-1)3=A,P(X=l)=C；xgx(l一;)2=1，TOC\o"1-5"\h\z1 I2P(X=2)=C^x(-)2x(l--)'=-,P(X=3)=C^x(1)3x(1-1)°=±,X的分布列為X0I23P8274929127TOC\o"1-5"\h\zq 4 7 1數(shù)學(xué)期望E(X)=0x￡+1x2+2x*+3x」-=1 14分27 9 9 27(另解：X~B(3,9,數(shù)學(xué)期望E(X)=3xg=l).(本小題13分)解：選擇條件①：(I)設(shè)公差為d,e, ~+d=9因?yàn)镾2=9,4=7,所以《 ，

TOC\o"1-5"\h\z解得I1=4,所以4=〃+3,(”wN*) 7分d=1(II)因?yàn)槌?2"「3,所以4=2-3=2",所以數(shù)列他J是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,21-2" ,、 13分Tn=bl+b2+.：+bn=^--l=2(2"-1)=2"+'-2所以 I、 / 13分(I)設(shè)公差為“，因?yàn)?2=9,S4=22,所以2q+d=94q+6d=22解得4,所以q=〃+3,(〃eN*).[a=1(H)與選擇條件①時(shí)的第(H)問(wèn)答案相同..(本小題14分)解:(I)當(dāng)。=2時(shí),f(x)=、-4〉+4x,/'(x)=3/_8x+4=(3x-2)(x-2)_2令r(x)=0得，x=§或x=2.當(dāng)x在區(qū)間口，3]上變化時(shí)，的變化情況如下表X(1,2)2(2,3)r(x)-0+/(X)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增因?yàn)?⑴="⑶=3,所以f(x)在區(qū)間口，3］上的最大值為3,最小值為0 6分(II)/(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a)令八x)=0得，或x=a,當(dāng)a=°時(shí)，r(x)=3x2>0(/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)a>°時(shí)，3<a,隨著x的變化，r*)，f(x)的變化情況如下表Xa3,a、a(a,+8)f(x)+00+/(X)單調(diào)遞增4/單調(diào)遞減0單調(diào)遞增a a所以/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,g）,（a,+00）；/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（§,a）.a當(dāng)a＜°時(shí)，隨著x的變化，r（x），〃x）的變化情況如下表X(-8,4)a3,三）a3(p+°°)fXx)+0-0+/（X）單調(diào)遞增0單調(diào)遞減4/~ri單調(diào)遞增所以/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一嗎a）,（§,+oo）；A?的單調(diào)遞減區(qū)間為（a,§）. 14分19.（本小題15分）解：（I）記“從這200人中隨機(jī)抽取1人，此人選擇第2種APP”為事件A,由表中數(shù)據(jù)可得：200人中有90人選擇使用了第2種APP,~ 9所以，P（A）=—.20o從這200人中隨機(jī)抽取1人，此人選擇第2種APP的概率為之.…4分20（H）樣本數(shù)據(jù)中有5種APP,其中“優(yōu)秀APP”有2種，X的所有可能取值為：0,1,2,P（X=0）=^~^」,C：10X的分布列為X012P1lo353WTOC\o"1-5"\h\z^^XH^￡(X)=0x—+lx-+2x—=- 11分10 5 105（HI）。（。）＜。（芻）＜。（芻）=）＜。（芻） 15分20.（本小題15分）解：（I）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2ex-x,f'（x）=-2e'-\,f'（0）=-3,因?yàn)?(0)=-2,所以曲線(xiàn)y=/(x)在x=0處的切線(xiàn)方程為y—(-2)=—3*-0),即3x+y+2=0 4分/'(x)=2ae~'+(a—2)e'一1=(ae、-l)(2e'+1).當(dāng)。>0時(shí)，由/'(x)=0得，x=In—.a隨著工的變化，;(幻，/(幻的變化情況如下表X(-co,In-)aIna(In—,+oo)a/'(X)-0+/(X)單調(diào)遞減,11In67 F1a單調(diào)遞增所以/(外存在極小值，且極小值為Ina-，+1 9分af'(x)=2i+(a-2)ex-l=(aev-l)(2er+1),當(dāng)aWO時(shí)，r(x)<0,7(x)在區(qū)間(一l,+a>)上單調(diào)遞減，且/(0)=2。-2<0,因?yàn)?(x)在區(qū)間(-1,+OO)上有零點(diǎn)，所以〃-1)==+"匚+1>0,解得a>一+2e,e,e e+l-e2+2e所以y十“〈awoe+1、i,八2 /aa—2.ea+a-2+e,_TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)a>0時(shí)，/(-1)=—+ +1= >0,ee e~因?yàn)?(x)在區(qū)間(-1，長(zhǎng)。)上有零點(diǎn)，由(II)可知，/(X)mjn=/(ln-!-)=lna--+l<0,a a因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=lnx-'+l是增函數(shù)，且g⑴=。，x所以0<a41.綜上所述，。的取值范圍是 15分e+121.(本小題14分)解：(I)因?yàn)閍“="2,所以2=a“+|=(〃+1)2。=2〃+1,?！?%*=2(〃+1)+1-(2〃+1)=2 4分(H)因?yàn)閎“=a”+「a”,且或=2"，所以a.+]=2〃，所以q=2,6一%=4, %=6,…，=2(〃—1),6分把上面n-1個(gè)等式左右兩邊分別依次相加，得到q-q=2+4+6+…+2(〃-1),于是a”-at=n2-n,又因?yàn)閝=l,所以+l 9分(III)數(shù)列｛凡｝的機(jī)階差數(shù)列的通項(xiàng)公式為=m!.理由如下：當(dāng)機(jī)=1時(shí)，?！?〃，其1階差數(shù)列的通過(guò)項(xiàng)公式勿=〃+1-〃=1,r(r>l)階差數(shù)列各項(xiàng)均為0.當(dāng)機(jī)=2時(shí)，an-n2,其1階差數(shù)列的通過(guò)項(xiàng)公式或=(〃+1)2-〃2=2〃+1,2階差數(shù)列的通項(xiàng)公式為cn=2,t(t>2)階差數(shù)列各項(xiàng)均為0.假設(shè)m44時(shí)，a?=n\ieN,0<i4幻的邛介差數(shù)列為常數(shù)k\,t(