振動力學(xué)(梁的橫向振動)分析課件

振動力學(xué)------彈性體的振動振動力學(xué)------彈性體的振動梁的橫向振動

僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動。這種振動只有當(dāng)梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材料力學(xué)中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)。梁的橫向振動僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動1、運(yùn)動微分方程

在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz，原點(diǎn)位于梁的左端截面的形心，x軸與梁平衡時的軸線重合。假設(shè)梁在振動過程中，軸線上任一點(diǎn)的位移u(x,t)均沿z軸方向。1、運(yùn)動微分方程在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz，原點(diǎn)位

取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負(fù)號的規(guī)定和材料力學(xué)一樣。

則微段梁dx沿z方向的運(yùn)動方程為：取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負(fù)號即利用材料力學(xué)中的關(guān)系得到梁的彎曲振動方程即利用材料力學(xué)中的關(guān)系得到梁的彎曲振動方程邊界條件

和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分方程成為定解問題，必需給出邊界條件和初始條件。

梁的每一端必須給出兩個邊界條件(以左端為例)。（1）固定端：撓度和轉(zhuǎn)角為0，即邊界條件和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分（2）簡支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為0，即其它邊界條件用類似的方法給出。（2）簡支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為02、梁彎曲自由振動的解令振動方程中的干擾力為0，得到對于均勻梁，振動方程為其中2、梁彎曲自由振動的解令振動方程中的干擾力為0，得到對于均假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫為假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫為則有其中（稱為特征方程）則有其中（稱為特征方程）方程的通解為

由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程，進(jìn)一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用四個邊界條件只能確定四個積分常數(shù)之間的比值。方程的通解為由特征方程，利用邊界條件即可求出振【例1】求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解以及解：邊界條件為撓度和彎矩為0?！纠?】求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程得到以及則則以及頻率方程由此解得得到以及則則以及頻率方程由此解得所以固有頻率振型為

第i階振型有i－1個節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)即所以固有頻率振型為第i階振型有i－1個節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)坐【例2】求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解得到以及解：邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0，即【例2】求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方化簡后得到頻率方程求得求出b后得到固有頻率化簡后得到頻率方程求得求出b后得到固有頻率振型為振型為【例3】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的

均勻梁彎曲振動的頻率方程。解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0【例3】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的解：左端的邊界解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力代入特征方程的解以及代入特征方程的解以及進(jìn)一步化簡后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為進(jìn)一步化簡后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為將邊界條件代入得到求得將邊界條件代入得到求得討論：（1）k＝0時，頻率方程變?yōu)榧礊閼冶哿旱那闆r。（2）k趨于無窮大時，頻率方程變?yōu)榛蚣礊樽蠖斯潭ǎ叶撕喼У那闆r。討論：即為懸臂梁的情況。（2）k趨于無窮大時，頻率方程變?yōu)榛颉舅伎碱}】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：【思考題】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：關(guān)于振型函數(shù)的正交性

和一維波動方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階特征值滿足關(guān)于振型函數(shù)的正交性和一維波動方程振型函數(shù)的

考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況，梁端點(diǎn)的位移、彎矩或剪力為0，則對第j階振型進(jìn)行上面類似的運(yùn)算得：考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況，梁端點(diǎn)用Fj左乘上式兩端，并積分用Fj左乘上式兩端，并積分上兩式相減得則i＝j(luò)時上兩式相減得則i＝j(luò)時梁在激勵力作用下的響應(yīng)

和一維波動方程一樣，用振型疊加法求響應(yīng)1.標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）

對振型函數(shù)按下式條件正則化梁在激勵力作用下的響應(yīng)和一維波動方程一樣，用振型2.對初始激勵的響應(yīng)

設(shè)初始條件為將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開2.對初始激勵的響應(yīng)將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵響應(yīng)用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵響應(yīng)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用標(biāo)準(zhǔn)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo);（4）求標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng);（5）求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。響應(yīng)求解步驟：【例4】長為l的均勻簡支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微段d上有初始速度v，求系統(tǒng)對此初始條件的響應(yīng)。

解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci【例4】長為l的均勻簡支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微段d上求得所以（3）初始條件。按題意求得所以（3）初始條件。按題意變換到主坐標(biāo)下變換到主坐標(biāo)下3.對外激勵的響應(yīng)（1）分布干擾力

設(shè)干擾力密度為f(x,t),和前面桿的外激勵受迫振動響應(yīng)推動方法一樣。利用標(biāo)準(zhǔn)化振型函數(shù)Fi，得到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的解耦方程利用杜哈美積分得3.對外激勵的響應(yīng)利用杜哈美積分得（4）響應(yīng)總響應(yīng)為（4）響應(yīng)總響應(yīng)為（2）集中力

設(shè)在x＝x1處受集中力F(t),這時可以用函數(shù)表示為分布形式：F(x,t)dx(x-x1),方程變?yōu)榭傢憫?yīng)為（2）集中力總響應(yīng)為（3）集中力偶（不推導(dǎo)，只給出結(jié)果）

設(shè)在x＝x1處受集中力M(t),這時有總響應(yīng)為（3）集中力偶（不推導(dǎo)，只給出結(jié)果）總響應(yīng)為強(qiáng)迫振動的響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）求主坐標(biāo)下的響應(yīng);（4）求廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)。強(qiáng)迫振動的響應(yīng)求解步驟：

解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci【例5】設(shè)長為l的簡支梁在x＝a處受集中力Fsint作用,求響應(yīng)。求得解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條（3）響應(yīng)（3）響應(yīng)【例6】火車在很長的橋梁上通過，可以簡化為一均勻筒支梁受到以等速率v向右運(yùn)動的荷重P的作用。假設(shè)在初始時刻荷重位于梁的左端，試求強(qiáng)迫振動的響應(yīng)。【例6】火車在很長的橋梁上通過，可以簡化為一均勻筒支梁受到以

解：（1）均勻簡支梁的固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）和前面一樣由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci得到（3）干擾力密度可表為解：（1）均勻簡支梁的固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）和前（4）主坐標(biāo)下的響應(yīng)其中（4）主坐標(biāo)下的響應(yīng)其中（5）廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)（5）廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)固有頻率的結(jié)構(gòu)特性

系統(tǒng)參數(shù)的變化與增加約束對固有頻率的影響：（1）增大剛度、增加約束，固有頻率提高;（2）增大質(zhì)量，固有頻率降低;（3）在某階固有振型取值最大的地方增大質(zhì)量，能最有效地降低該階固有頻率;（4）在某階振型曲線曲率最大的地方增大剛度，能最有效地提高該階固有頻率。固有頻率的結(jié)構(gòu)特性系統(tǒng)參數(shù)的變化與增加約束振動力學(xué)------彈性體的振動振動力學(xué)------彈性體的振動梁的橫向振動

僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動。這種振動只有當(dāng)梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材料力學(xué)中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)。梁的橫向振動僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動1、運(yùn)動微分方程

在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz，原點(diǎn)位于梁的左端截面的形心，x軸與梁平衡時的軸線重合。假設(shè)梁在振動過程中，軸線上任一點(diǎn)的位移u(x,t)均沿z軸方向。1、運(yùn)動微分方程在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz，原點(diǎn)位

取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負(fù)號的規(guī)定和材料力學(xué)一樣。

則微段梁dx沿z方向的運(yùn)動方程為：取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負(fù)號即利用材料力學(xué)中的關(guān)系得到梁的彎曲振動方程即利用材料力學(xué)中的關(guān)系得到梁的彎曲振動方程邊界條件

和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分方程成為定解問題，必需給出邊界條件和初始條件。

梁的每一端必須給出兩個邊界條件(以左端為例)。（1）固定端：撓度和轉(zhuǎn)角為0，即邊界條件和一維波動方程一樣，要使彎曲振動微分（2）簡支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為0，即其它邊界條件用類似的方法給出。（2）簡支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為02、梁彎曲自由振動的解令振動方程中的干擾力為0，得到對于均勻梁，振動方程為其中2、梁彎曲自由振動的解令振動方程中的干擾力為0，得到對于均假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫為假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫為則有其中（稱為特征方程）則有其中（稱為特征方程）方程的通解為

由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程，進(jìn)一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用四個邊界條件只能確定四個積分常數(shù)之間的比值。方程的通解為由特征方程，利用邊界條件即可求出振【例1】求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解以及解：邊界條件為撓度和彎矩為0?！纠?】求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程得到以及則則以及頻率方程由此解得得到以及則則以及頻率方程由此解得所以固有頻率振型為

第i階振型有i－1個節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)即所以固有頻率振型為第i階振型有i－1個節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)坐【例2】求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解得到以及解：邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0，即【例2】求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方化簡后得到頻率方程求得求出b后得到固有頻率化簡后得到頻率方程求得求出b后得到固有頻率振型為振型為【例3】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的

均勻梁彎曲振動的頻率方程。解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0【例3】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的解：左端的邊界解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力代入特征方程的解以及代入特征方程的解以及進(jìn)一步化簡后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為進(jìn)一步化簡后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為將邊界條件代入得到求得將邊界條件代入得到求得討論：（1）k＝0時，頻率方程變?yōu)榧礊閼冶哿旱那闆r。（2）k趨于無窮大時，頻率方程變?yōu)榛蚣礊樽蠖斯潭?，右端簡支的情況。討論：即為懸臂梁的情況。（2）k趨于無窮大時，頻率方程變?yōu)榛颉舅伎碱}】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：【思考題】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：關(guān)于振型函數(shù)的正交性

和一維波動方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階特征值滿足關(guān)于振型函數(shù)的正交性和一維波動方程振型函數(shù)的

考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況，梁端點(diǎn)的位移、彎矩或剪力為0，則對第j階振型進(jìn)行上面類似的運(yùn)算得：考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況，梁端點(diǎn)用Fj左乘上式兩端，并積分用Fj左乘上式兩端，并積分上兩式相減得則i＝j(luò)時上兩式相減得則i＝j(luò)時梁在激勵力作用下的響應(yīng)

和一維波動方程一樣，用振型疊加法求響應(yīng)1.標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）

對振型函數(shù)按下式條件正則化梁在激勵力作用下的響應(yīng)和一維波動方程一樣，用振型2.對初始激勵的響應(yīng)

設(shè)初始條件為將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開2.對初始激勵的響應(yīng)將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵響應(yīng)用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵響應(yīng)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用標(biāo)準(zhǔn)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo);（4）求標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng);（5）求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。響應(yīng)求解步驟：【例4】長為l的均勻簡支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微段d上有初始速度v，求系統(tǒng)對此初始條件的響應(yīng)。

解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci【例4】長為l的均勻簡支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微段d上求得所以（3）初始條件。按題意求得所以（3）初始條件。按題意變換到主坐標(biāo)下變換到主坐標(biāo)下3.對外激勵的響應(yīng)（1）分布干擾力

設(shè)干擾力密度為f(x,t),和前面桿的外激勵受迫振動響應(yīng)推動方法一樣。利用標(biāo)準(zhǔn)化振型函數(shù)Fi，得到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的解耦方程利用杜哈美積分得3.對外激勵的響應(yīng)利用杜哈美積分得（4）響應(yīng)總響應(yīng)為（4）響應(yīng)總響應(yīng)為（2）集中力

設(shè)在x＝x1處受集中力F(t),這時可以用函數(shù)表示為分布形式：F(x,t)dx(x-x1),方程變?yōu)榭傢憫?yīng)為（2）集中力總響應(yīng)為（3）集中力偶（不推導(dǎo)，只給出結(jié)果）

設(shè)在x＝x1處受集中力M(t),這時有總響應(yīng)為（3）集中力偶（不推導(dǎo)，只給出結(jié)果）總響應(yīng)為強(qiáng)迫振動的響應(yīng)求解