復變函數(shù)1到5章測試題及答案

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第一章 復數(shù)與復變函數(shù)答案)選擇題1iz100z75z50的值等于（B）1i（A）i （B）i （C）1 （D）1設復數(shù)z滿足arg(z2) ，arg(z2)，那么z（A）3 633（A）1 3i （B） i （C）1 i （D）332 231 i312 2ztani(2

)的三角表示式是（D）（A）sec[cos()isin()] （B）sec[cos()isin(

)]2 2 2 2（C）sec[cos()isin()]（D）sec[cos()isin(

)]2 2 2 2若z為非零復數(shù)，則z2z2與2zz的關系是（C）z2z22zz z2z22zz（C）z2z22zz （D）不能比較大?。担Ox,y為實數(shù)，z x1點x,y的軌跡是（B）

yi,z x11211

yi且有z z 12，則動111 211（A）圓 （B）橢圓 （C）雙曲線 （D）拋物線６．一個向量順時針旋轉(zhuǎn) ，對應的復數(shù)為1 3i，則原向量對應的復數(shù)是33（A）3

3（A）2 （B）1 3i （C）3

i （D） i７．使得z22成立的復數(shù)z是（D）（A）不存在的 （B）唯一的 （C）純虛數(shù) （D）實數(shù)z８．設z為復數(shù)，則方程z 2i的解是（B）z3 3 3 3（A）

4i （B）4i （C）4i （D）4izzizi

2z構成的集合是（D）（A）有界區(qū)域 （B）無界區(qū)域 （C）有界閉區(qū)域 （D）無界閉區(qū)域210z23i2

所代表的曲線是（C）2（A）中心為23i，半徑為 的圓周 （B）中心為23i，半徑為２的2圓周2（C）中心為23i，半徑為 的圓周 （D）中心為23i，半徑為２的圓2周11．下列方程所表示的曲線中，不是圓周的為（B）z1z2（A） 2 （B）z3z3z1z2za1az（C） 1(a（D）zzazazaac0(cza1az12．設f(z)1z,z1

23i,z2

5i,，則f(z1

z)（C）2（A）44i （B）44i （C）44i （D）44i

Im(z)Im(z0

（D）0zz zz00（A）等于i （B）等于i （C）等于0 （D）不存在函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在點z x iy處連續(xù)的充要條件是（C）0 0 0（A）u(x,y)在(x,y)處連續(xù) （B）v(x,y)在(x,y)處連續(xù)0 0 0 0（C）ux,y和vx,y在x,y處連續(xù)（D）ux,yvx,y在x,y處連續(xù)0 0 0 0zC且z1，則函數(shù)f(z)

z2z1的最小值為（A）z（A）3 （B）2 （C）1 （D）1二、填空題21zi)(2i)(3i，則z2(3i)(2i)2z(23i)(2i，則argzarctan83．設z 5,arg(zi)，則z 12i4(cosisin)2 復數(shù) 的指數(shù)表示式e16 (cos3 isin3 )23以方程z67 15i的根的對應點為頂點的多邊形的面積63６．不等式z2z25所表示的區(qū)域是曲線z2z25（或x25( )2

y23( )2

1）的內(nèi)部2 22z2z1i2(1i)z

1所表示曲線的直角坐標方程為 x2y21８．方程z12iz2i12i和2i的線段的垂直平分線９．對于映射iz

x2(y)21的像曲線為u12v2110．limz22z4) 12iz1i5252三、若復數(shù)z滿足zz(12i)z(12i)z30，試求z2的取值范圍．525255([ 2,55

2]（或

z2

）)四、設a0，在復數(shù)集Cz22za.1a(當0a1時解為 1a)i或( 1a1a當1a時解為( 1a五、設復數(shù)zi，試證 z 是實數(shù)的充要條件為z1或Im(z)0.1z2六、對于映射1(z1，求出圓周z4的像.2 zu

17cos2

u2 v2 (像的參數(shù)方程為 15

0 2 w平面上的橢圓

17 15 1)v sin ( )2 ( )2 2 2 2七、設zxiy，試討論下列函數(shù)的連續(xù)性： 2xy , z01.f(z)

x

y2 0, z0 x3y2.f(z)

x

y

, z0. , z0(1．f(z)在復平面除去原點外連續(xù)，在原點處不連續(xù)；2．f(z)在復平面處處連續(xù))第二章解析函數(shù)（答案）一、選擇題：函數(shù)f(z)3z2在點z0處是(B)（A）解析的 （B）可導的（C）不可導的 （D）既不解析也不可導函數(shù)f(zz可導是f(zz解析的(B)（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既非充分條件也非必要條件D（A）設x,y為實數(shù)，則cos(xiy)1若z是函數(shù)f(z的奇點，則f(zz不可導0 0若u,vD內(nèi)滿足柯西-黎曼方程，則f(z)uivD內(nèi)解析若f(zD內(nèi)解析，則if(zD內(nèi)也解析C（A）x2y22xyi （B）x2xyi（C）xyi(y2x22x) （D）x3iy3函數(shù)f(z)z2Im(zz0處的導數(shù)A（A）等于0 （B）等于1 （C）等于1 （D）不存在若函數(shù)f(z)x22xyy2iy2axyx2在復平面內(nèi)處處解析，那么實常數(shù)aC（A）0 （B）1 （C）2 （D）2如果f(z)在單位圓z1內(nèi)處處為零，且f(0)1，那么在z1內(nèi)f(z)(C)（A）0 （B）1 （C）1 （D）任意常數(shù)設函數(shù)f(zD內(nèi)有定義，則下列命題中，正確的是C若f(z)在D內(nèi)是一常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)是一常數(shù)若Re(f(zD內(nèi)是一常數(shù)，則f(zD內(nèi)是一常數(shù)若f(z與f(zD內(nèi)解析，則f(zD內(nèi)是一常數(shù)若argf(zD內(nèi)是一常數(shù)，則f(zD內(nèi)是一常數(shù)9．設f(z)x2iy2，則f(1i)(A)（A）2 （B）2i （C）1i （D）22i10ii的主值為D

（A）0 （B）1 （C）e2 （D）e 211．ez在復平面上(A)（A）無可導點 （B）有可導點，但不解析（C）有可導點，且在可導點集上解析 （D）處處解析設f(z)sinz，則下列命題中，不正確的是C（A）f(z)在復平面上處處解析 （B）f(z)以為周期eizeiz（C）f(z) （D）f(z)是無界的2設為任意實數(shù)，則1(D（A）無定義 （B）等于1（C）是復數(shù)，其實部等于1 （D）是復數(shù)，其模等于1B（A）(1i)3

（B）cosi （C）lni （D）e32i設是復數(shù)，則C（A）z在復平面上處處解析 （B）z的模為zz一般是多值函數(shù) （D）z的輻角為z的輻角的倍二、填空題1．設f(0),f(0)1i，則z0

f(z)11iz 設f(z)uivD內(nèi)是解析的，如果uv是實常數(shù)，那么f(zD內(nèi)是常數(shù)導函數(shù)f(z)uivD內(nèi)解析的充要條件為uv可微且滿足x x x x2u2v,2u2vx2 xy xy x24．設f(z)x3y3ix2y2，則f(

33i)2727i2 2 4 8若解析函數(shù)f(z)uiv的實部ux2y2，那么f(z)x2y22xyiic或z2icc為實常數(shù)函數(shù)f(z)zIm(zRe(zzi處可導設f(z)

15zi)z，則方程f(z)0的所有根為2k 2k82(cos4 isin4 ),k4 48．復數(shù)ii的模為e2k (k0,1,2, )9．Im{ln(34i)}arctan4310．方程1ez0的全部解為2ki (k0,1,2, )三、試證下列函數(shù)在z平面上解析，并分別求出其導數(shù)f(z)cosxcoshyisinxsinhy; （f(z)sinz;）f(z)exxcosyysinyiexycosyixsiny（f(z)(zz.）四、已知uvx2y2，試確定解析函數(shù)f(z)uiv.（f(z)

i2 zi)cc為任意實常數(shù)）第三章復變函數(shù)的積分（答案）一、選擇題：設c為從原點沿y2x至1i的弧段，則xiy2)dzDc15 1 5 1 5 1 5（A）6 6i （B）

i （C） 6 6 6

6i （D）66i設c為不經(jīng)過點1與1的正向簡單閉曲線，則c

z dz為D)(z1)(z1)2i（A）

i

0 （D）(A)(B)(C)都有可能2 2設c1

:z1c2

:z3

ccc1

sinzdz (B)z2（A）i （B）0 （C）i （D）i設c為正向圓周z2，則c

coszdz (C)z(1z)2（A）sin1 （B）sin1 （C）sin1 （D）sin1設c為正向圓周z

1，則2c

1z3cosz(1z)2

dz (B)（A）i(3cos1sin（B）0 （C）icos1 （D）isin16．設f(z) 4

e d，其中z4，則fAz（A）（B）1 （C）i （D）1設f(zBcB內(nèi)任何一條簡單閉曲線，dz則積分 f(z)2f(z)f(z)dz

(C)c f(z)（A）于i （B）等于（C）等于0 （D）不能確定設c是從0到1

i的直線段，則積分zezdz（A）c（A）1e

(B)1e

(C)1ei (D)1ei2 2 2 2設cx

y

2x0，則

sin( z)4 dz (A)z21c（A）2i22

i （B） i （C）0 （D）222設c為正向圓周ziai，則c

zcoszdz(C)(ai)2（A）ie （B）i （C）0 （D）icosie設f(zDcD內(nèi)任一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部全屬于D．如果f(z在c2，那么對cz0

,f(z0

)(C)（A）等于0 （B）等于1 （C）等于2 （D）不能確定D

zar

1 dz的值與半徑r(r0的大小無關zax2iy2)dz2,其中c為連接i到i的線段cD內(nèi)有f(z)g(zDg(z存在且解析若f(z)在0z1內(nèi)解析，且沿任何圓周c:zr(0r的積分等于零，則f(zz0處解析設c為任意實常數(shù)，那么由調(diào)和函數(shù)ux2y2確定的解析函數(shù)f(z)uiv是(D)(A)iz2c （B） iz2ic （C）z2c （D）z2ic(C)設v1v2D內(nèi)均為u的共軛調(diào)和函數(shù)，則必有v1v2解析函數(shù)的實部是虛部的共軛調(diào)和函數(shù)u若f(z)uivD內(nèi)解析，則xD內(nèi)的調(diào)和函數(shù)以調(diào)和函數(shù)為實部與虛部的函數(shù)是解析函數(shù)設vx,yD內(nèi)為ux,yD內(nèi)解析函數(shù)的是B（A）v(x,y)iu(x,y) （B）v(x,y)iu(x,y)u v（C）u(x,y)iv(x,y) （D） ix x二、填空題1．設cz0z1i的直線段，則2zdz2c2．設c為正向圓周z41，則z23z2dz 10isin()

c (z4)23．設f(z) 2

2 d,其中z2，則f(3)0zzzz設c為正向圓周z3，則 dzzzzc設c為負向圓周z4，則 ez dz i(zi)5 12c解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值設f(zBB內(nèi)任何一條簡單閉曲線c都有 f(z)dz0，那么f(zB解析c1調(diào)和函數(shù)(x,y)xy的共軛調(diào)和函數(shù)為 (y2x2)C2若函數(shù)x,y)x3axy2為某一解析函數(shù)的虛部，則常數(shù)a-3設ux,y的共軛調(diào)和函數(shù)為vx,y)，那么vx,y的共軛調(diào)和函數(shù)為u(x,y)三、計算積分1.z

(z

6z dz,R0,R1R2;1)(z2)（當0R1時，0；當1R2時，8i；當2R時，0）2. dz ．（0）z4z2

2z22四、求積分 ezdz，從而證明ecoscos(sin.（2i）z 0z1五、若uux2y2，試求解析函數(shù)f(z)uiv.（f(z)2clnzc ic（ccc為任意實常數(shù)））1 2 3 1 2 3第四章級數(shù)（答案）一、選擇題：設

(1)nni(n1,2, ，則lim

(C)n n4

n n（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在C

13i( )n

(34i)n2 n1 n1innn1

(1)nin1 n1(D（B）

1

i) B）

(1)n i[ ]nn1

n n 2nn1(C)n2

inlnn

D）n1

(1)nin2n

n0

cznz12iz2處的斂散性為An（A）絕對收斂 （B）條件收斂（C）發(fā)散 （D）不能確定設冪級數(shù)cz,n

zn1和

cn zn1

RRR，則n n0 n0

n0

n1

1 2 3R,R1

R之間的關系是D3R R R1 2 3

R R R1 2 3R1

R R2 3

R R R1 2 36．設0q1，則冪級數(shù)n0

qn2znRD)q（A）q （B）1 （C）0 （D）q冪級數(shù)

sin 2

z()n的收斂半徑R(B)n 2n12（A）1 （B）2 （C）2

（D）

n0

(1)nn

zn1

在z1內(nèi)的和函數(shù)為(A)（A）ln(1z) （B）ln(1z)（D）ln 1 (D)ln 11z 1z設函數(shù) ez 的泰勒展開式coszR(C)

n0

cznn

，那么冪級數(shù)

n0

czn的收斂半徑n（A） （B）1 （C） （D）2

1 1zzz2 z1

的收斂域是B（A）z1 （B）0z1 （C）1z （D）不存在的函數(shù)1z1處的泰勒展開式為D)z2（A）n1

(1)nn(z1)n1

(z1（B）n1

(1)n1n(z1)n1

(z11)（C）n1

n(z1)n1 (z（D）n

n(z1)n1

(z11)函數(shù)sinzz

處的泰勒展開式為(B)22（A）

(1)n (z )2n1

(z

)n0

(2n22(1)n 2（B）

n0

(2n)!

(z )2n2

(z

)2 ()n1 2（C） (z)2n1 (z

)n0

(2n22(1)n1 2（D）

n0

(2n)!

(z )2n2

(z

)設f(zHR1

zzR0

內(nèi)的洛朗展開式為

cnn

(zz0

)n，c為H內(nèi)繞z0

的任一條正向簡單閉曲線，那么 f(z) dz(B)c(zz)20(A)ic （B）ic （C）ic （D）if(z)1 1 2 0若

3n()n, n,,，則雙邊冪級數(shù)

zn的收斂域為(A)n1（A）

z

4n, n1

nn（B）3z44 31 1（C）4z （D）3z設函數(shù)f(z)那么m(C)

1z(z1)(z

在以原點為中心的圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式有m個，（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空題

n0

c(zi)n在zi處發(fā)散，那么該級數(shù)在z2處的收斂性為 發(fā)n散設冪級數(shù)

cznn

與

[Re(cn

)]zn的收斂半徑分別為R1

RR2

與R之2n0 n0間的關系R R．2 122

n0

(2i)nz2n1R2設f(zDzdzD的邊界上各點的最短距0 0離，那么當zz01

d時，f(z)

n0

c(zzn

)n成立，其中cn

(n)(z0

)(n0,1,2,)或2i (zz2i (zz)n1zz0r 0

f(z) dz(n0rd)）．函數(shù)arctanzz0

()nz2n1

n1

(z1)．n0設冪級數(shù)

cznn

R，那么冪級數(shù)

(2n1)cn

zn的收斂半徑為R．2

n0 n0 1 z

(1)n

(1)n )n(z2)2 2

的收斂域為1z12．n1 1

1

1函數(shù)ezez在0z內(nèi)洛朗展開式為 zn．zn n0 n0設函數(shù)cotz在原點的去心鄰域0zR內(nèi)的洛朗展開式為洛朗級數(shù)收斂域的外半徑R ．

cnn

zn，那么該

1z(zi)

在1zi內(nèi)的洛朗展開式為 n0

(1)nin(zi)n1三、若函數(shù) 在z0處的泰勒展開式1zz2

n0

aznn

，則稱n

為菲波那契(Fibonacci)數(shù)列，試確定an

滿足的遞推關系式，并明確給出an

的表達式．（a a a a a (n2)，0 1 n n1 n255a 1{(155

)n1

15( )n1}(n )）5n 2 2

n2四、求冪級數(shù)

n2z

的和函數(shù)，并計算

之值.n2（f(z)2

n1 n1z(1z)，6）(1z)3五、將函數(shù)

ln(2z)z(z1)

在0z1內(nèi)展開成洛朗級數(shù).ln(2z) 1 1

n ()k1（ ln(2z)z(zz1 z

( )(z1)n）nk1n0k0第五章留數(shù)(答案)一、選擇題：函數(shù)cotz在zi2內(nèi)的奇點個數(shù)為D2z3（A）1 （B）2 （C）3 （D）42．設函數(shù)f(zg(zza為本性奇點與mza為函數(shù)f(z)g(z)的(B（A）可去奇點 （B）本性奇點（C）m級極點 （D）小于m級的極點z0

1ex2z4sinz

的m級極點，那么mC（A）5 （B）4 (C)3 （D）2z1是函數(shù)(z

1z1

的(D可去奇點 （B）一級極點（C）一級零點 （D）本性奇點5．z是函數(shù)32zz3z2

的(B(A)可去奇點 （B）一級極點（C）二級極點 （D）本性奇點 f(z)設f(z)

n0

azn在zRk為正整數(shù)，那么Ren zk

,0](C)（A）a （B）k!a （C）a （D）(k1)!ak k k1 k1za為解析函數(shù)fz的m級零點，那么Re

f(z),a](A)f(z)(A)m （B）m （C）m1 （D）(m1)Ref(z),00的是（D）f(z)

ez1

f(z)

sinz1z2 z zsinzcosz 1 1f(z)

(D)f(z)z e

1 zC設f(z)(zz)m(z)，zzm為自然數(shù)，則z為fz)0 0 0的m級極點．如果無窮遠點是函數(shù)fz的可去奇點，那么Refz0z0為偶函數(shù)fz的一個孤立奇點，則Ref(z),00若 f(z)dz0，則f(z)在c內(nèi)無奇點cRes[z3