復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)資料

復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)資料一、單項(xiàng)選擇題1．解析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為（ B ；（A）（C）

f(z)u iu；（B）f(z)u iu；x x x f(z)u iv；（D）f(z)u ivx y x2C是正向圓周z3，如果函數(shù)f(z)（ D，則 f(z)dz0．C（A）

3 ；（B）3(z；

3(z

；（D） 3 .z2

z2 (z2)2

(z2)2如果級(jí)數(shù)n1

czn

在z2點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在( C )（A）（C）z

點(diǎn)條件收斂； （B）z點(diǎn)絕對(duì)收斂；1i點(diǎn)絕對(duì)收斂； （D）z12i點(diǎn)一定發(fā)散．下列結(jié)論正確的是( )f(zz0

f(zz0

點(diǎn)一定解析；f(zCC

f(z)dz0如果C

f(z)dz0，則函數(shù)f(z)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；函

f(z)u(x,yiv(x,y在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,yv(x,y在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．下列結(jié)論不正確的是（ D ．(A)

為sin 的可去奇點(diǎn)；1z1

(B)為sinz的本性奇點(diǎn)；(C)

為1sin1z

的孤立奇點(diǎn);

(D)

為1 的孤立奇點(diǎn)sinz二．填空題．1i 3的幅角是（ ；2Ln(1i)

1ln2i2. 的主值是（ 2 4 ；f ()f 3.

11z

，f(5)(0)（ 0 ；4z0

zsinz4

的（一級(jí) ）極點(diǎn)；5．f(z)

1，Res[f(z),]（-1 z三.按要求完成下列各題f(z)x

axyby

i(cx

dxyy2abcd.fzC-Ruv uvx y y x2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,計(jì)算解：

z15 dzz3z2)2(2z4)31 dz（3）．利用留數(shù)計(jì)算

C(z1)(z2)2

C

3；f(zz3內(nèi)，由留數(shù)定理 z15z3z2)2(2z4)3

dziRef(z),]2

iRes[f(1)1] 1z1 1 ( )15 1zf() z z2 1 1 z2 )2(2)4)3z2 zf(1 1 1) 有唯一的孤立奇點(diǎn)zf(1 1 1z z2 z2)2(2z411

1 1lim 1 1Ref) ,0] zf) z z2

z15

z z2z0 z0dz2i

z2)2(2z

1)3z3z2)2(2z4)3z(z21)(z2)3(z3)24）函數(shù)f(z) 在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類型的奇點(diǎn)？如果有(sinz)3極點(diǎn)，請(qǐng)指出它的級(jí).解： （1）z(z21)(z2)3(z解： （1）f(z) 的奇點(diǎn)為zk,k(sinz)3zk,k0,,2,3,為（sinz3

0的三級(jí)零點(diǎn)，z為f(z)z是f(z)的可去奇點(diǎn)，

3為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，2,3,4，為f(z)的三級(jí)極點(diǎn)；為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。備注：給出全部奇點(diǎn)給5分，其他酌情給分。四.將函數(shù)f(z) 1 在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)；z2(z（1）0z11（2）0z1（3）1z1）當(dāng)0z11f(z) 1 1 [ 1 z2(z(z(z1而 [ 而 (z1

[n0

(1)n(z (1)nn(zn0f(z) (1)n