高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件

第五節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第五節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)1定義n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式定義n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的2一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上3有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特4有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為5有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為6定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特7解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為解得故所求通解為例28二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點：如9設非齊方程特解為代入原方程設非齊方程特解為代入原方程10綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k11特別地特別地12解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例1解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例13利用歐拉公式利用歐拉公式14注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.15解對應齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解為（取虛部）例2解對應齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解16解對應齊方通解作輔助方程代入輔助方程例3解對應齊方通解作輔助方程代入輔助方程例317所求非齊方程特解為原方程通解為（取實部）注意所求非齊方程特解為原方程通解為（取實部）注意18解對應齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例4解對應齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例419小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解.

(見下表)小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的20高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件21小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取特解的實部或虛部,得原非齊方程特解.小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取22思考題求微分方程的通解.思考題求微分方程23思考題解答令則特征根通解思考題解答令則特征根通解24思考題寫出微分方程的待定特解的形式.思考題寫出微分方程的待定特解的形式.25思考題解答設的特解為設的特解為則所求特解為特征根（重根）思考題解答設26練習題練習題27高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件28練習題答案練習題答案29高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件30練習題練習題31練習題答案練習題答案32第五節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第五節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)33定義n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式定義n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的34一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上35有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特36有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為37有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為38定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特39解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為解得故所求通解為例240二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點：如41設非齊方程特解為代入原方程設非齊方程特解為代入原方程42綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k43特別地特別地44解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例1解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例45利用歐拉公式利用歐拉公式46注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.47解對應齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解為（取虛部）例2解對應齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解48解對應齊方通解作輔助方程代入輔助方程例3解對應齊方通解作輔助方程代入輔助方程例349所求非齊方程特解為原方程通解為（取實部）注意所求非齊方程特解為原方程通解為（取實部）注意50解對應齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例4解對應齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例451小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解.

(見下表)小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的52高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件53小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取特解的實部或虛部,得原非齊方程特解.小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程,求特解,取54思考題求微分方程的通解.思考題求微分方程55思考題解答令則特征根通解思考題解答令則特征根通解56思考題寫出微分方程的待定特解的形式.思考題寫出微分方程的待定特解的形式.57思考題解答設的特解為設