文科數(shù)學(xué)-第2篇10講

第10講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算f′(x0)或y′|x＝x0

(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)．記作f′(x)或y′.2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝________．f′(x0)3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝C(C為常數(shù))f′(x)＝___f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝_______f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝exf′(x)＝_______f(x)＝ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝_______f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝_______0nxn－1cosx－sinxexaxlna4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 若f′(x)，g′(x)存在，則有

(1)[f(x)±g(x)]′＝___________________；

(2)[f(x)·g(x)]′＝____________________；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)辨析感悟1．對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解

(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率． () (2)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同． ()2．對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何和物理意義的理解

(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)． () (4)物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝－4t2＋16t，在某一時(shí)刻的速度為0，則相應(yīng)時(shí)刻t＝0. () (5)曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與過點(diǎn)P(x0，y0)的切線相同． ()××√×××××[感悟·提升]1．一個(gè)區(qū)別曲線y＝f(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線是指P為切點(diǎn)，切線唯一，若斜率存在時(shí)，切線的斜率k＝f′(x0)；曲線y＝f(x)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過P點(diǎn)，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條．2．三個(gè)防范一是并不是所有的函數(shù)在其定義域上的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，如函數(shù)y＝|x|在x＝0處就沒有導(dǎo)數(shù)． 二是曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別，如(3)． 三是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)要看準(zhǔn)自變量，是對(duì)自變量的求導(dǎo)，而不是對(duì)其它參數(shù)的求導(dǎo)，如(6)．答案B

規(guī)律方法

(1)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時(shí)，要牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，切忌記錯(cuò)記混．(2)求導(dǎo)前應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等變形將函數(shù)先化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)．答案(1)A

(2)1

考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程． 審題路線

(1)求f′(x)?求f′(2)?求f(2)?由點(diǎn)斜式寫出切線方程．

(2)設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)?求f′(x0)?由點(diǎn)斜式寫出過點(diǎn)A的切線方程?把點(diǎn)P代入切線方程?求x0?再代入求得切線方程．解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲線在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程時(shí)，注意區(qū)分是曲線在某點(diǎn)處的切線，還是過某點(diǎn)的切線．曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求過某點(diǎn)的切線方程時(shí)需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程．【訓(xùn)練2】

(1)(2014·德州期末)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f′(x)是偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為 (

)．

A．y＝3x＋1

B．y＝－3x C．y＝－3x＋1

D．y＝3x－3 (2)曲線y＝x(3lnx＋1)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為________．答案(1)B

(2)y＝4x－3

考點(diǎn)三利用曲線的切線方程求參數(shù)【例3】

(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.求a，b的值． 解f′(x)＝aex＋ex(ax＋b)－2x－4

＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，∴f′(0)＝a＋b－4＝4， 又f(0)＝b＝4，∴a＝4.規(guī)律方法

已知曲線在某點(diǎn)處的切線方程求參數(shù)，是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的逆用，解題的關(guān)鍵是這個(gè)點(diǎn)不僅在曲線上也在切線上．1．在對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時(shí)，特別要注意f′(x0)與(f(x0))′是不一樣的，f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值，不一定為0；而(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即(f(x0))′＝0.2．對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．[錯(cuò)解]

∵點(diǎn)O(0,0)在曲線f(x)＝x3－3x2＋2x上，∴直線l與曲線y＝f(x)相切于點(diǎn)O.則k＝f′(0)＝2，直線l的方程為y＝2x.又直線l與曲線y＝x2＋a相切，∴x2＋a－2x＝0滿足Δ＝4－4a＝0，a＝1，選A.[答案]

A[錯(cuò)因]

(1)片面理解“過點(diǎn)O(0,0)的直線與曲線f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．這里有兩種可能：一是點(diǎn)O是切點(diǎn)；二是點(diǎn)O不是切點(diǎn)，但曲線經(jīng)過點(diǎn)O，解析中忽視后面情況．(2)本題