初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識(shí)

初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識(shí)初中階段我們學(xué)過(guò)三種路徑最值問(wèn)題，一是兩點(diǎn)之間線段最短；二是將軍飲馬問(wèn)題；三是直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的連線中，垂線段最短。一、直接利用公理（定理）求最值1、公理：兩點(diǎn)直接線段最短2、定理：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊（由上面公理證明而得）3、定理：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。（簡(jiǎn)稱垂線段最短）所有的線段和差問(wèn)題都是直接利用或者轉(zhuǎn)化為第1點(diǎn)或第3點(diǎn)來(lái)求最值，這是咱們思考這類問(wèn)題的由發(fā)點(diǎn)，大家要死死記住。二、結(jié)合圖形三大變換求最值1、應(yīng)用平移變換、軸對(duì)稱變換將線段和差轉(zhuǎn)化為可以利用公理（定理）求最值（將軍飲馬問(wèn)題）2、應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換將線段和差轉(zhuǎn)化為可以利用公理（定理）求最值（費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題）【將軍飲馬問(wèn)題】【費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題】三.例題.如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向AB兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求生總費(fèi)用是多少？作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB',交CD于點(diǎn)M則AM+BM=AM+B'M=AB',水廠建在M點(diǎn)時(shí),費(fèi)用最小如右圖，在直角△AB'E中，AE=AC+CE=10+30=40EB'=30所以：AB'=50總費(fèi)用為：50×3=150萬(wàn).如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接ACEC已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE勺長(zhǎng);(2)請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE勺值最??？(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求生代數(shù)式的最小值.兩條公路OAOB相交，在兩條公路的中間有一個(gè)油庫(kù)，設(shè)為點(diǎn)P,如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車從油庫(kù)由發(fā)，經(jīng)過(guò)一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫(kù)所走的路程最短.分析這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析，我們知道此題是求運(yùn)油車所走路程最短，OA與OB相交，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，通常我們會(huì)想到軸對(duì)稱，分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2,連結(jié)P1P2分別交OAOB于C、D,C、D兩點(diǎn)就是使運(yùn)油車所走路程最短，而建加油站的地點(diǎn)，那么是不是最短的呢？我們可以用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行說(shuō)明.解：分別做點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2,連結(jié)P1P2分別交OAOB于C、D,則C、D就是建加油站的位置.若取異于C、D兩點(diǎn)的點(diǎn)，則由三角形的三邊關(guān)系，可知在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車所走的路程最短.點(diǎn)評(píng)：在這里沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明為什么在C、D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車所走的路程最短，請(qǐng)同學(xué)們思考弄明白。.如圖∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10,QP分別是OAOB上的動(dòng)點(diǎn)，求^PQR周長(zhǎng)的最小值.分別作點(diǎn)P關(guān)于OAOB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2,連接P1P2,交OAOB于點(diǎn)QR,連接OP1,OPZ貝UOP=OP1=OP2=10且∠P1OP2=90°由勾股定理得P1P2=10.如圖，等腰Rt^ABC的直角邊長(zhǎng)為2,E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE勺最小值為即在AC上作一點(diǎn)P,使PB+PE1小作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B',連接B'E,交AC于點(diǎn)P,貝UB'E=PB'+PE=PB+PEB'E的長(zhǎng)就是PB+PE的最/」、值在直角△B'EF中，EF=1,B'F=3根據(jù)勾股定理，B'E=.等腰△ABC中，∠A=20°,AB=AC=20,MN分別是ARAC上的點(diǎn)，求BN+MN+MC最小值分別作點(diǎn)C、B關(guān)于ARAC的對(duì)稱點(diǎn)C’、B’,連接C’B’交ARAC于點(diǎn)MN,貝UBN+MN+MC=B’N+MN+MC’=B’C’,BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值「∠BAC’=∠BAC,∠CAB’=∠CAB∴∠B’AC’=60°「AC’=AC,AB’=AB,AC=AB∴AC’=AB’∴△AB’C&