2022-2023學(xué)年四年級(jí)數(shù)學(xué)專(zhuān)訓(xùn)《利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問(wèn)題》

2022-2023學(xué)年專(zhuān)訓(xùn)1利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問(wèn)題名師點(diǎn)金：折疊問(wèn)題往往通過(guò)圖形的折疊找出線段或角與原圖形之間的聯(lián)系，從而得到折疊部分與原圖形或其他圖形之間的關(guān)系，即折疊前后的圖形全等；在計(jì)算時(shí)，常常通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程求解．利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中的角1．當(dāng)身邊沒(méi)有量角器時(shí)，怎樣得到一些特定度數(shù)的角呢？動(dòng)手操作有時(shí)可以解“燃眉之急”．如圖，已知矩形紙片ABCD(矩形紙片要足夠長(zhǎng))，我們按如下步驟操作可以得到一個(gè)特定的角：(1)以點(diǎn)A所在直線為折痕，折疊紙片，使點(diǎn)B落在邊AD上，折痕與BC交于點(diǎn)E；(2)將紙片展平后，再一次折疊紙片，以點(diǎn)E所在直線為折痕，使點(diǎn)A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度數(shù)．(第1題)利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的長(zhǎng)2．【2023·臺(tái)灣】圖①為長(zhǎng)方形紙片ABCD，AD＝26，AB＝22，直線L，M皆為長(zhǎng)方形的對(duì)稱(chēng)軸．今將長(zhǎng)方形紙片沿著L對(duì)折后，再沿著M對(duì)折，并將對(duì)折后的紙片左上角剪下直角三角形，形成一個(gè)五邊形EFGHI，如圖②，最后將圖②的五邊形展開(kāi)后形成一個(gè)八邊形，如圖③，且八邊形的每一邊長(zhǎng)恰好均相等．(第2題)(1)若圖②中的HI長(zhǎng)度為x，請(qǐng)用x分別表示剪下的直角三角形的勾長(zhǎng)和股長(zhǎng)．(2)請(qǐng)求出圖③中八邊形的一邊長(zhǎng)的數(shù)值，并寫(xiě)出完整的解題過(guò)程．利用矩形的性質(zhì)巧證折疊中線段的關(guān)系3．如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于F，連接AE.求證：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.(第3題)利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中線段的比4．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N.(1)求證：CM＝CN；(2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為31，求eq\f(MN,DN)的值．(第4題)答案(第1題)1．解：設(shè)折疊后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，如圖，由折疊的性質(zhì)得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′，∠B＝∠AB′E，BE＝B′E，AE＝EA′.∵∠BAB′＝∠ABE＝90°，∴∠BEB′＝90°.∴∠BEA＝∠AEB′＝45°.又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°，∴∠FEA′＝67.5°.∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.2．解：(1)分別延長(zhǎng)HI與FE，相交于點(diǎn)N，如圖．∵HN＝eq\f(1,2)AD＝13，NF＝eq\f(1,2)AB＝11，HI＝EF＝x，∴NI＝HN－HI＝13－x，NE＝NF－EF＝11－x.∴剪下的直角三角形的勾長(zhǎng)為11－x，股長(zhǎng)為13－x.(第2題)(2)在Rt△ENI中，NI＝13－x，NE＝11－x，∴EI＝eq\r(NI2＋NE2)＝eq\r(2x2－48x＋290).∵八邊形的每一邊長(zhǎng)恰好均相等，∴EI＝2HI＝2x＝eq\r(2x2－48x＋290)，整理得：x2＋24x－145＝0，(x－5)(x＋29)＝0，解得：x＝5，或x＝－29(舍去)．∴EI＝2×5＝10.故八邊形的邊長(zhǎng)為10.3．證明：(1)由折疊的性質(zhì)可知，∠FBD＝∠CBD.因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AD∥BC，所以∠FDB＝∠CBD.所以∠FBD＝∠FDB.所以BF＝DF.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以