多組均數(shù)間比較的方差分析

關(guān)于多組均數(shù)間比較的方差分析第一頁，共七十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)方差分析（一）：

單向方差分析第二頁，共七十六頁，2022年，8月28日一、方差分析(analysisofvariance,ANOVA)的基本思想把全部數(shù)據(jù)關(guān)于總均數(shù)的離均差平方和分解成幾個部分，每一部分表示某一影響因素或諸影響因素之間的交互作用所產(chǎn)生的效應(yīng)，將各部分均方與誤差均方相比較，依據(jù)F分布作出統(tǒng)計(jì)推斷，從而確認(rèn)或否認(rèn)某些因素或交互作用的重要性。第三頁，共七十六頁，2022年，8月28日二、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的單因素方差分析完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)(completelyrandomdesign)：在實(shí)驗(yàn)研究中，將全部觀察對象隨機(jī)分入k個組，每個組給予不同的處理，然后觀察實(shí)驗(yàn)效應(yīng)。在調(diào)查研究中，按某個因素的不同水平分組，比較該因素的效應(yīng)。第四頁，共七十六頁，2022年，8月28日

第1組第2組···第k組X11X12···X21X22Xk1Xk2······X1n1X2n2Xknk

n1n2nkXNXij為第i個處理組的第j個觀察值，i=1，2，···，g，j=1，2，···，nk；為第i個處理組的均數(shù)

為總均數(shù)，第五頁，共七十六頁，2022年，8月28日1.總變異，總=N-12.組間變異，組間=k-1

均方MS組間=SS組間/

組間3.組內(nèi)變異，組內(nèi)=N-k

MS組內(nèi)=SS組內(nèi)/

組內(nèi)4.三種變異的關(guān)系：

=0第六頁，共七十六頁，2022年，8月28日總=N-1=（k-1）+（N-k）=組間+組內(nèi)

H0：1=2=···=

k

F=MS組間/

MS組內(nèi)

F服從自由度組間=k-1，組內(nèi)=N-k的F分布，表示為F~F（組間，組內(nèi)）若F

F（組間，組內(nèi)），P>，不拒絕H0；若F

F（組間，組內(nèi)），P，拒絕H0，接受H1。

第七頁，共七十六頁，2022年，8月28日注1：

H0：1=2=···=

kH1：1，2，

···，

k不全相等，不能用12

···

k表示。注2：優(yōu)點(diǎn)（1）不受比較的組數(shù)限制；（2）可以同時(shí)比較多個因素的作用，以及因素間的交互作用。注3：條件（1）各組樣本是互相獨(dú)立的；（2）各樣本來自于正態(tài)總體；（3）方差齊性。第八頁，共七十六頁，2022年，8月28日例8.1有3種解毒藥:A,B,C,同時(shí)設(shè)一個空白對照D.受試大白鼠共24只,用完全隨機(jī)化方法將它們等分成4組,每組接受一種藥物.試比較不同解毒藥的解毒效果.

應(yīng)用不同解毒藥的大白鼠血中膽堿酯酶含量組號膽堿酯酶含量(Xij)ni

1231218162814611118.52233.02283123242834616828.04790.03142417191622611218.72162.048122119141568914.81431.0合計(jì)2448020.010616.0第九頁，共七十六頁，2022年，8月28日（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)。H0：各組大白鼠血中膽堿酯酶含量的總體均數(shù)相等H1：各組大白鼠血中膽堿酯酶含量的總體均數(shù)不全相等=0.05（2）選定檢驗(yàn)方法，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。第十頁，共七十六頁，2022年，8月28日

===SS組間（SS處理）SS組內(nèi)（SS誤差）====10616-4802/24=1016.0=SS總

-

SS組間==447.67=1112/6+1682/6+1122/6+892/6-4802/24=568.33第十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日總=N-1=24-1=23組間=k-1=4-1=3組內(nèi)=N-k=24-4=20MS組間=SS組間/

組間=568.33/3=189.44MS組內(nèi)=SS組內(nèi)/

組內(nèi)=447.67/20=22.38F=MS組間/

MS組內(nèi)=189.44/22.38=8.46

方差分析結(jié)果變異來源SSMSFP組間組內(nèi)總568.33447.671016.0032023189.4422.388.46<0.05（3）確定P值和作出推斷結(jié)論：

F0.05（3，20）=3.10，F(xiàn)=8.46>F0.05（3，20），P<0.05。在=0.05水準(zhǔn)上拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為各組大白鼠血中膽堿酯酶含量的總體均數(shù)不全相等.第十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日三、多個樣本均數(shù)間的

多重比較第十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日（一）LSD-t檢驗(yàn)最小顯著差異t檢驗(yàn)（leastsignificantdifferencettest）第十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日適合于某幾個特定的總體均數(shù)間的比較。按算得的t值，以及誤差和檢驗(yàn)水準(zhǔn)查t界值表，作出推斷結(jié)論。如tt/2，則在水準(zhǔn)上拒絕H0。與一般t檢驗(yàn)的不同：1）MS誤差代替Sc2；2）自由度為N-k，比成組比較中的n1+n2-2大得多，易于檢出均數(shù)之差的顯著性。當(dāng)各處理組例數(shù)相等時(shí)，，最小顯著差數(shù)

當(dāng)|XA-XB|LSD時(shí)，則P，則可認(rèn)為被比較的兩組總體均數(shù)之間有顯著性差別。第十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日（二）Dunnett-t檢驗(yàn)

適用于k-1個試驗(yàn)組與一個對照組均數(shù)差別的多重比較。

查Dunnett-t界值表。

當(dāng)各組例數(shù)相等時(shí),第十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日（三）SNK-q檢驗(yàn)用于多個樣本均數(shù)間每兩個均數(shù)的比較。第十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日

當(dāng)各組例數(shù)相等時(shí)，在比較時(shí)，將均數(shù)從大到小或從小到大依次排列，根據(jù)計(jì)算所得q值，組間跨度a，誤差自由度誤差和檢驗(yàn)水準(zhǔn)查q界值表，如qq（a，）

，則在水準(zhǔn)上拒絕無效假設(shè)。第十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日四、方差分析的假定條件1.觀察值Xij獨(dú)立來自正態(tài)分布的總體；2.方差齊性。第十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日方差齊性檢驗(yàn)1.提出檢驗(yàn)假設(shè)；2.計(jì)算每一組的中位觀察值mdi；3.計(jì)算各組內(nèi)個體觀察值與中位觀察值之差的絕對值dij；

dij=|Xij-mdi|4.用dij作單向方差分析。第二十頁，共七十六頁，2022年，8月28日五、SPSS演示第二十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方差分析,例8.1

ViewVariable:ViewData:第二十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日AnalyzeCompareMeansOne-WayANOVA…Dependentlist:xFactor:gPostHoc…EqualVariancesAssumed:S-N-KContinueOptions…Statistics:HomogeneityofvariancestestContinueOK第二十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日第二十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)方差分析（二）：

雙向方差分析第二十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日一、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的兩因素方差分析隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)(randomizedblockdesign)：將全部受試對象按某一個重要的屬性（即區(qū)組因素）分組，把條件最接近的a個受試對象分在同一個區(qū)組內(nèi)，然后用完全隨機(jī)的方法，將每個區(qū)組中的全部受試對象分配到a個組中去。第二十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日例9.1采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方案，以窩作為區(qū)組標(biāo)志，給斷奶后的小鼠喂以三種不同的營養(yǎng)素A、B和C。四周后檢查各種營養(yǎng)素組的小鼠所增體重（g）。資料見下表，試比較不同營養(yǎng)素對小鼠體重增加的差別。

第二十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日

三種營養(yǎng)素喂養(yǎng)四周后各小鼠所增體重（g）

營養(yǎng)素分組（i）按區(qū)組求和

1（A）2（B）3（C）nj

157.064.876.03197.8255.066.674.53196.1362.169.576.53208.1474.561.186.63222.2586.791.894.73273.2642.051.843.23137.0771.969.261.13202.2851.548.654.43154.5ni88824500.7523.4567.01591.162.665.370.966.332783.435459.142205.0110447.5

區(qū)組（j）第二十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日1.變異的分解===SS處理SS區(qū)組SS誤差其中：，N=na

，i=1，2，

···，a，j=1，2，

···，n總=N-1=（a-1）+（n-1）+(a-1)(n-1)===處理區(qū)組誤差第二十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日2.分析計(jì)算步驟（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：三種營養(yǎng)素喂養(yǎng)的小鼠體重增量相等H1：三種營養(yǎng)素喂養(yǎng)的小鼠體重增量不全相等=0.05（2）計(jì)算F值

=（197.82+196.1+···+154.52)/3-1591.12/24=3990.31SS誤差=SS總-SS處理-SS區(qū)組=4964.21-283.83-3990.31=690.07第三十頁，共七十六頁，2022年，8月28日總=N-1=24-1=23處理=a-1=3-1=2區(qū)組=n-1=8-1=7誤差=(a-1)(n-1)=27=14MS處理=SS處理/

處理=283.83/2=141.92MS誤差=SS誤差/

誤差=690.07/14=49.29F=MS處理/

MS誤差=141.92/49.29=2.88（3）確定P值和作出推斷結(jié)論：

F0.05（2，14）=3.74，F(xiàn)=2.88<F0.05（2，14），P>0.05。在=0.05水準(zhǔn)上不拒絕H0，尚不能認(rèn)為三種營養(yǎng)素喂養(yǎng)的小鼠體重增量有差別。第三十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日區(qū)組間差別的檢驗(yàn)：H0：8個區(qū)組的小白鼠體重增量相等H1：8個區(qū)組的小白鼠體重增量不全相等=0.05MS區(qū)組=SS區(qū)組/

區(qū)組=3990.31/7=570.04F=MS區(qū)組/

MS誤差=570.04/49.29=11.56F0.05（7，14）=2.77，F(xiàn)0.01（7，14）=4.28，F(xiàn)=11.56>F0.01（7，14），P<0.01。在=0.05水準(zhǔn)上拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為8個區(qū)組的小白鼠體重增量不全相等。第三十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日SPSS演示第三十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的方差分析:例9.1

ViewVariable:ViewData:第三十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日AnalyzeGeneralLinearModelUnivariate…DependentVariable:xFixedFactors:abModel…SpecifyModel:CustomBuildTerms:MaineffectsModel:abContinuePostHoc…PostHocTestsfor:a

EqualVariancesAssumed:S-N-KContinueOK第三十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日UnivariateAnalysisofVariance第三十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日第三十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日二、數(shù)據(jù)變換第三十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日（一）對數(shù)變換(logarithmtransformation)Y=lgX常用于：1）使服從對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)正態(tài)化。如生長率、變化速度、抗體滴度等。2）使數(shù)據(jù)達(dá)到方差齊性，特別是各樣本的標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)成比例時(shí)。第三十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日例：為了診斷某種疾病需要測量一項(xiàng)指標(biāo)，現(xiàn)用4種不同的方式來測量這一指標(biāo)，以增加診斷的可靠性。表1是對4名健康人測得的數(shù)據(jù)。試檢驗(yàn)4種測量方式有無差異？第四十頁，共七十六頁，2022年，8月28日

表1用4種方式對4人測得的某指標(biāo)值測量方式A1A2A3A4對象123440000001500000100000001000002200013000300008500600034001600052007807201900550均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差39000004374928.6183759568.876505671.9987.5616.1

表2表1資料的方差分析變異來源SSMSF臨界值測量方式間測量對象間誤差總4.5410131.4510134.29101310.281013339151.5110134.8310124.7710123.171.01F0.05=3.50第四十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日

表3經(jīng)對數(shù)變換后的數(shù)據(jù)測量方式A1A2A3A4對象12346.606.187.005.006.200.864.344.114.483.934.220.243.783.534.203.723.810.282.892.863.282.742.940.23均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

表4表2資料的方差分析變異來源SSMSF臨界值測量方式間測量對象間誤差總25.5622.731.701.13339157.580.570.1358.314.38F0.01=6.99F0.05=3.86第四十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日（二）平方根變換(squareroottransformation)Y=常用于：1）使服從Poisson分布的計(jì)數(shù)資料正態(tài)化，如水中細(xì)菌數(shù)的分布、放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)放射的次數(shù)等。2）當(dāng)各樣本的方差與均數(shù)呈正相關(guān)時(shí)，可使數(shù)據(jù)達(dá)到方差齊性。第四十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日例：下面的表1資料是3組小白鼠在注射某種同位素24h后脾臟蛋白質(zhì)中放射性強(qiáng)度的測定，試問芥子氣和電離輻射對同位素進(jìn)入脾蛋白質(zhì)是否起抑制作用？第四十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日表1小白鼠注射某種同位素后脾臟蛋白質(zhì)中放射性的測定窩別XY=對照組芥子氣中毒組電離輻射組對照組芥子氣中毒組電離輻射組12345678910Xs23817671181076.88.816053476634.15.413031254522.62.91.732.831.002.652.452.653.322.833.162.652.530.4701.002.450.002.241.732.002.652.452.451.731.870.6741.001.730.001.731.001.412.242.002.241.411.480.468第四十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日

表2方差分析結(jié)果

變異來源自由度SSMSFF0.01P處理間窩別間誤差總的2918295.63814.0200.48720.1462.8191.5580.027104.4157.706.013.60<0.01<0.01用LSD法進(jìn)行多重比較：第四十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日

表3處理組均數(shù)與對照組均數(shù)比較

處理均數(shù)與對照組的差異P反變換為平方對照組芥子氣中毒組電離輻射組2.531.871.480.661.05<0.01<0.016.403.502.19第四十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日（三）倒數(shù)變換Y=X常用于數(shù)據(jù)兩端波動較大的資料。1第四十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日（四）平方根反正弦變換(arcsinesquareroottransformation)常用于服從二項(xiàng)分布的率或百分比的資料，如發(fā)病率、治愈率、病死率、有效率等。第四十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日

表1不同溫度對玫瑰花瓣形成率（%）的影響病員編號

低溫（4-6oC）室溫（20-25oC）高溫（30-37oC）PPP12345總和均數(shù)40.034.034.034.534.539.2335.6735.6735.9735.97182.5136.5048.058.049.065.555.543.8549.6044.4354.0348.16240.0748.0149.036.040.016.015.044.4336.8739.2323.5822.79166.9033.38例：某醫(yī)學(xué)院病理生理教研組研究不同溫度對淋巴細(xì)胞玫瑰花瓣形成率的影響，結(jié)果見表1，試作方差分析和多重比較。第五十頁，共七十六頁，2022年，8月28日

表2方差分析結(jié)果

變異來源自由度SSMSFF0.05P溫度間病人間誤差總的24814594.04583.866371.1331049.044297.0220.9746.396.400.454.463.84<0.05>0.05用q檢驗(yàn)法對各溫度的形成率進(jìn)行兩兩比較：第五十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日將3個樣本均數(shù)從大到小依次排列，組次123均數(shù)48.0136.5033.38組別室溫低溫高溫表3兩兩比較計(jì)算表對比組兩均數(shù)之差標(biāo)準(zhǔn)誤q值組數(shù)q界值PA與B=0.05=0.011與31與22與314.6311.513.123.0463.0463.0464.8033.7791.0243224.043.263.265.644.754.75<0.05<0.05>0.05第五十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日三、析因設(shè)計(jì)的方差分析如果試驗(yàn)所涉及的處理因素的個數(shù)2，當(dāng)各因素在試驗(yàn)中所處的地位基本平等，而且因素之間存在交互作用時(shí)，需選用析因設(shè)計(jì)(factorialdesign)。第五十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日（一）2×2析因設(shè)計(jì)第五十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日例用A、B兩藥治療12名貧血病人，性別、年齡一致，隨機(jī)分成4組，治療后1個月測得血中紅細(xì)胞增加數(shù)（1012/L），結(jié)果如表，問A、B兩藥的治療效果如何？兩藥是否存在交互效應(yīng)？A、B兩藥治療后病人紅細(xì)胞增加數(shù)（1012/L）A藥B藥用不用用不用2.12.22.00.91.11.01.31.21.10.80.90.7第五十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)對于有重復(fù)的兩因素設(shè)計(jì)資料方差分析，可以作3個原假設(shè)。

H0：A藥無效；或H0：B藥無效；或H0：A、B兩藥無交互作用。=0.05（2）計(jì)算F值

1）列表計(jì)算各種X、X2。

A藥B藥用（i=1）不用（i=2）合計(jì)

用（j=1）不用（j=2）合計(jì)X=6.3X2=13.25X=3.6X2=4.34X=9.9X2=17.59X=3.0X2=3.02X=2.4X2=1.94X=5.4X2=4.96X=9.3X2=16.27X=6.0X2=6.28X=15.3X2=22.55第五十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日2）校正數(shù)C=（X）2/n=15.32/12=19.513）總的離均差平方和SS總=X2-C

=22.55-19.51=3.044）總的處理離均差平方和

SS總處

==6.32/3+3.02/3+3.62/3+2.42/3-19.51=2.965）A藥的離均差平方和

SSA

=（X）ij2nij-C（X）i2niiji-C=9.92/6+5.42/6-19.51=1.696）B藥的離均差平方和

SSB

=（X）j2njj-C=9.32/6+6.02/6-19.51=0.917）A藥和B藥的交互作用

SSAB

=SS總處

-SSA

-SSB

=2.96-1.69-0.91=0.36第五十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日8）誤差離均差平方和

SS誤差

=SS總

-SS總處

=3.04-2.96=0.089）計(jì)算與上述各種離均差平方和相對應(yīng)的自由度總=n-1=12-1=11總處=（A的水平數(shù)×B的水平數(shù)）-1=2×2-1=3A=A的水平數(shù)-1=2-1=1B=B的水平數(shù)-1=2-1=1AB=總處-A-B=3-1-1=1誤差=總-總處=11-3=8

第五十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日10）列方差分析表變異來源SSMSF臨界值總處理ABAB誤差總2.961.690.910.360.083.0431118111.690.910.360.013611.3（3）確定P值并作出推斷結(jié)論本例分析交互作用時(shí)，P<0.01，認(rèn)為交互作用有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。表明A因素處于不同水平時(shí)，B因素的作用是不同的，反之亦然。因此，不能籠統(tǒng)地分析A因素和B因素的作用。第五十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日

四種處理的樣本均數(shù)

A藥B藥用不用用不用2.11.21.00.8由此算出，在不用B藥時(shí)，A1-A2=1.2-0.8=0.4；用B藥時(shí)，A1-A2=2.1-1.0=1.1。即B藥能加強(qiáng)A藥的作用。同理，A