大一高數(shù)基礎練習題

第第18頁共18頁《高等數(shù)學》（理工類）yf(x)(0,1](x)1lnxyf(x的定義域為 ；0lnx1,x[1,e)已知x0時，arctan3x與 ax 是等價無窮小，則a ；cosxlimarctan3x

31,a3；x0 ax a sin2 函數(shù)y cos ，則dy ；x 6 x2

(2cos2xsin2x)dx；4．函數(shù)yxex的拐點；yex(x2)0,x2，(2,2e2)2sinx,x2

f(x) ，當a= 時ax,x

f(x)在x2

處連續(xù)；1 2；yy(x是由方程ey

2xy20所確定的隱函數(shù)，則y ；yeyxf(x)

1 的跳躍間斷點；f)0, f)1,x1；x定積分1(1

1e1x1x2sinx)dx＝ ；21x20

1x2dx 29．已知點空間三個點M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),則AMB= ；3；10．已知a(2,3,1) b(12,3)，則ab＝ 。(1)二、計算題（每小題6分，共42分）求極限

ln(1x2) 1。x0arcsin2x2 2求極限

et0

=

3sin2xesin3x61cosxx0

xsinx x0

yex2sinx

dy.dy

ex

2(2xsinxcosx)dx dxxln

dy d2y1t21t2yarctant

dx dx21解x

1ln(1t2)，dy2 dx

1t2t1t2

1，d2yt dx2

1t2t35．計算不定積分

ln(lnx)dx。x解ln(lnx)dlnxlnxln(lnx)

1dxlnx(ln(lnx)1)C3x36、計算不定積分

1 dx

sec2x

dx 1

1 d tanx32 3 1 arctan32 32

3cos2x 3sec3tanx3tanx

x1

3tan2

x47．計算定積分20

1x (x4)2dx1(1x)(4x)dx2(1x)(4x)dx0 11(x2

5x4)dx2(x2

5x4)dx

154(x3

5x2)

4320 1 3 2 3 2 12三、證明題（每小題8分，共16分）1fx[0,3]上連續(xù)，在區(qū)間(0,3)內(nèi)可導，且f(0)f(1)f(2)3，f(3)1，試證必存在(0,3)使f()0。證明因為f(x)在上連續(xù)所以f(x)在[0,2]上連續(xù)且在[0,2]上有最大值M和最小值m。于是 mf(0)M,mfM,mf(2)M,f(0)f(1)f(2)所以m

M,由介值定理知至少存在c[0,2]f(c1。3因為f(c)f(31f(x)[c,3](c,3)內(nèi)可導，由羅爾定理存在(c,3)(0,3)，使f)0 。1x22、證明不等式：當x0時，1xln(x 1x2)1x21x2證明 f(x)1xln(x 1x2) ，f(x)ln(x 1x2)0,x01x21x2f(x)f(0)0，則當x0時，1xln(x 1x21x2四、應用題（第1小題10分，第2小題12分）V50m3的圓柱形的容器，問怎樣選擇它的底半徑和高，使所用的材料最省？解設圓柱體的半徑為rh

50 100 ，表面積為S,S r2 ， 325r325325Sr1000，r325r2

，h2

表面積最小。xya(a0xax2ax得到的旋轉(zhuǎn)體體積。

y 軸旋轉(zhuǎn)一周所解V a2adxa2y a《高等數(shù)學》（理工）一、選擇題（每空3分，共15分）1、下列變量在給定的變化過程中為無窮小量的是（ ；D；sinxA、2x1(x)； B、x

(x0)x32xx32x1

(x； Dax2 x2

x2 (x0)。x12、設函數(shù)f(x) 在x2處連續(xù)則a（ ；A；1 x21 1A、； B、0； C、； D、1、4 23f(x在[abf(x0.若(xx0C；

ft)dt則下列說法正確的（ ；A、(x)在[a,b]上單調(diào)減少； B、(x)在[a,b]上單調(diào)增加；C、(x)在[a,b]上為凹函數(shù)； D、(x)在[a,b]上為凸函數(shù)。4、下列不定積分計算正確的是（ ；D；A、 x2dxx3c； B、1dx1c；x2 xC、sincosxc； D、cossinxc。5、設f(x)在[a,b]上連續(xù)，則下列論斷不正確的是（ 。A；Aa

f(x)dx是f(x)的一個原函數(shù). Ba

f(t)dt在(abf(x).；C、x

f(t)dt在(ab內(nèi)是f(x)的一個原函數(shù)；Df(x)在(ab上可積。x21 x21 x216、若limf(x)2,則lim( x21

x21)f(x) ；2lim 1

0；x

x

xx2x2

在點( 3,2)的切線方程為

；y2

(x 3)；3238、曲線ysinx在(0,)內(nèi)的拐點為 ；,e)；9、當p滿足條時,反常積

dx收斂；p1；1 xp10、微分方程(y)4

(y)3

2yx1的階數(shù).2；三、計算題（共45分）11、求下列函數(shù)極限(每題6分，共12分)：x1x11x0

sin3x 6

limx0

xsint20x3

limsinx21x0 3x2 312、求下列函數(shù)導數(shù)（每題6分，共12分：1yxetanx

x

ln5,求y ；解 yetanx(1xsec2x)

1(xxyyfxy

lny4x0所確定，求5

y(5,1)；1yxxy

y4x5,y1代入得

y 3y 5 (5,1) 51x213、求下列函數(shù)積分（每題7分，共211x21x1x2

x dx C(2)

exlnxdx1elnxdx21(x2lnx eexdx) (e2

e21 1 ) (e21)11 2 1 2 1 11

2 2 4

1(

xcos5

xx)dx21

1x2dx1x1x2四、證明題(每小題8分，共16分）14、證明：設ln(x1)arctanx1x

0 2x01證明設f(x)(xlnx)arctanx x0，f(x)(1lnx)1

1x20f(xf(0)0ln(x1)arctanx1x

x015、設f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導，且f(1)0，求證在(0,1)內(nèi)至少存在一點使得3f(f0成立.F(x)x3f(x在[0,1](0,1)F(0)F(1)0由羅爾中值定理得F()2f(3f)0，即有3f(f()0五、應用題（共9分）16y2

x與過該曲線上的點(4,2)y軸所圍成的圖形的面積S.解2yy1，y

1，切線方程 y21(x4)，y x11(4,2)1

4 4 4S64

xdx6

2 3 4 2x20 3

3高等數(shù)學（上）一、單項選擇題（本題共20分，每小題2分）11y

ln(2x)的定義域為（；D；xAx0且x； Bx0； Cx； Dx2且x0。2、limxsin1

（；C；x xA、； B、不存在； C、1； D、0。3、按給定的x的變化趨勢，下列函數(shù)為無窮小量的是（；A；x4x4x1

(x)

B 1

1x1(x)、 ； 、 ； xxC、12x (x0)； D

sinx

(x0)；4、設fxex , x0ax, x

要使fx在x0處連續(xù)，則a（；B；A、2； B、1； C、0； D、-15f(x在(abf(x0,f(x0yf(x在(ab（；A、單調(diào)上升，向上凸； B、單調(diào)下降，向上凸；C、單調(diào)上升，向上凹； D、單調(diào)下降，向上凹。6f(x1)x2)x3)x4)f(x)0（B；A、4； B、3； C、2； D1。1x2,xf(x)

3f(x2)dx

2xB f(x2)x

4x5,x27

ex, x0 1

（ ；；

ex2, x21A、e1

； B、e

1； C、

； D、。13 3 318、設函數(shù)f(x)在[a,b]上是連續(xù)的，下列等式中正確的是（ ；C；A、(aC、(a

f(x)dx)f(x； B、(f(x)dx)f(xC；f(x)dx)f(x)； Df(x)dxf(x。1 19、當nsin21

與n nk

為等價無窮小，則k=（ ；C；A、； B、1； C、2； D；-2。210f01，f2，3，則1xfxdx（）B；A、1；B、2；C、3；0D、4。二、填空題（本題共10分，每空2分）1f(x

x2sintdt,(0ax),則f( ) 。 ；2 2a t 22 22、極限lim(2n1)(3n2)(4n3) ；4；n 6n3dd2ydx23、設yexsin ，則2 x0

1； x, x14、函數(shù)fxx1x2的不連續(xù)點為 。x1x, x25

1x，則fx 。1 x x2 三、計算題9x212x1 9x212x13x 9x212x3x 9x212x1x2（7分）lim1cos2x

1lim4x2

lim 2x2x0

xsinx

2x0 x2xlnsint3（7分設

dy dx求 。

cost dy，

eycost

，dy

eysintyeysint1 dx4（8分）y(sinx)cosx,求dy。dx

dt sint

dt 1eysint dx 1eysint解 設lnycosxlnsinx，兩邊同時求導

dy cos2x (sinx)cosx( sinxlnsin dx sinx5（7分）

1cos1dxcos1d1sin1Cx2 x x x x 6（7分）2x2cosxdx 2x2dsinxx2sinx 22 2xsinxdx000 02 2000 02 2 xdcosx22 cosxdx24 0 4 0 47（8分x

1x29

dx x3sect,

3tant,dx3secttantdtt3，x2x29 1 dxtC1arccos3Cx x29 3 3 x四、綜合題1（9分）yexyex0x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。1 Ve2e2xdxe21 0

(e21)2

(e21)22（9分證x3xcosx.證明設函數(shù)f(t)t3tcost在t[0,x] ,x0連續(xù)，f(0)10，令f(t)3t21sint0，f(t)為單調(diào)遞增函數(shù)，limf(x)limx3xcosx，由零點定理可知f(t)f(t)只存在一點在x x[0,x]f)0x3xcosx只有一個正根。理工《高等數(shù)學》一、填空題（本題共15分，每小題3分）)1.函數(shù)fx 1 的連續(xù)區(qū)間是 ()x21 x2 x若lim axb0，a，b均為常數(shù)，則a ，bxx x2 (1a)x2(ab)xblim axblim 0，a1,b1；xx1

x1yf(x)xy2lnxy4yf(x)在點（1，1）處的切線方程是 yxy24y3y，y 1，yxx (1,1)1設yln(lnx)sec2(2x)，則y .1xlnx

4sec2xtanxf(x)xa可導，則limx0二求下列各題極限（28分

f(ax)f(a)x

fa11x 1x

1lim2x1x0

ex1 2

x0 x1 1 lim2sinxcosx1lim(2sinxcosx)

(2sinxcosx1)]x

ex0

x e2x0 x0x(31sin2x1)lim tanxsinx limtanx(31sin2x1)x0

x0

1 2x x23

(3)n4n

lim

3n41 41n 3 n 3 n(3)n14n1

3( )n44三．計算題（共32分）設yxarctan3x，求y.yarctan3x

3x ，y

3

19x2 619x2

19x2

(19x2)2 (19x2)2yxsinxarcsin(lnx)y.yxsinx[(sinxlnx)arcsinx

1 ]x 1(lnx)2xsinx[(cosxlnx

sinx

)arcsinx ]1x 1(lnx)2xln(11x 1(lnx)2求由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導數(shù) , .1 ytarctan1 1 ( )

dx dx2dy

1t2

t d2y 2；

1t2dx

2 dx2

1t2 1t2設函數(shù)yy(x)是由方程xy

sinydyd2y.dx dx2解方程兩邊同時求導得1y

cosyy0 y2

2cosy，y2sinyy(2cosy)2

4siny(2cosy)3四．綜合題（27分）

axb x09.求常數(shù)a,b的值，使函數(shù)f(x) 在x0處一階可.x) x0limf(x)lim(axb)bf(0)，limf(x)limln(1x)0，b0；x0

x0

x0

x0f(x)lim

axa，f(x)lim

ln(1x)

1a1。 x0 x x0 xx2f(xx2

x23x

所有間斷點，并指出其類型.f(x)

x2(x2)(xx2

，limf(x)，x2

f(x)1，x2

f(x)1x2n1ax2bx設f(x)lim 為連續(xù)函數(shù)，求a,bn x2n1一、填空題（每空3分，共15分）1、已知f(x)的定義域是，則函數(shù)f(lnx)的定義域；[1,e]；2、f(x),則

f(2x)dx ；1f(2x)c；23I1

2lnxdx與I1 2

2ln2xdx的大小關(guān)系 ；I1

I ；234、設曲線yax3bx以點(3)為拐,則數(shù)組(a,b) .；( ，)；32 2解 f(x)6ax2b

f(1)6a2b0

a1b3又ab3

a , b9

時為曲線 fxax3bx2 的拐點。32 235、設y

7 1x x x，則dy . x8dx。x x x8二、選擇題（每空3分，共15分）1、曲線xyexy1在(0,0點的切線斜率是（ ；D；A、1； B、e1 ； C、0； D、-1。2、設f(x)2x

2，則當x0時，有（ ；B；A、f(x)與x是等價無窮??； B、f(x)與x是同階但非等價無窮??；C、f(x)是比x高階的無窮?。?D、f(x)是比x低階無窮小。3、設函數(shù)f(x)在bxf(x)f(x)dx（ ；A；a

bf2(x)dx1，f(a)f(b)aA

1 1； B、； C、0； D、1。2 24、下列積分發(fā)散的有（ ；A；A、lnxdx；

B、

1dx；

C.1 dx ；

D

exdx。1 x

1x21 1

0 01x2f(x)1x25、設f(x)cosx,P(x)1 x2 x4

能使極限式lim 0成立，則2 24正整數(shù)n的最大值是（ 。C。

x0 xn3 axbaxbb3 axbaxbbxa1（7分）y

的導數(shù)。3a3axbaxbbxa

1ax 3y

xba2

b 1axbaxb

3

ax a

ax y

ln xba (ba)xba13bxa

ab b

b b 2（7分）

lim

x2sin tdt0 ．x0

0(1cos t)ln(1 t)dtx2解原式lim

2xsinx

lim

sinx

lim 1x0

2x(1cosx)

x0

x) x01cosx3

xa(tsint) 分 y a(1 cost)

（t2,nZyy(x)的二階導數(shù)。dydy

dt

asint

sint

（t2n,nZ）dx dxdtd(dy

a(1cost) 1costd2ydt dxdx2 dt

1a(1cost)24、(7分）yf3x2),f(x)arctanx2,求5x2

.dydxxdydx解: 令u

3x25x2 ,則 y'u'f'(u)

3(5x2)5(3x2) 3x2dydxarctg( )2,dydx

4arctan1.(5x2)25（8分）計算不定積分(arcsinx)2dx.

5x2

x0(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2

2xarcsinxdx1x21x2x(arcsinx)22arcsinxd(1x2)=x(arcsinx)22 arcsinx1x21x2=x(arcsinx)22 arcsinx2x1x21 x6（8分）計算定積分1 x1x解：令x

t 則xt2,dx2tdt, 且當x1時,t1 當x4時t21 x于是1 x

22tdt

2

2(1

1 )dtln(1t)]2

2ln91 11t 1 1t 1 47y1sinxy0,x0,xx軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)8分）V(1sinx)2dx(12sinxsin2x)dx0 03 sin2x 32x2cosx

4 0

2

4四、證明題（每小題9分，共18分）1（9分）當0x2

時，sinxtanx2x.證：令f(x)sinxtanx2x, f(x)cosxsec2

x2cos2

xsec2

x2(cosxsecx)20,當0x

f(x)在(02

)內(nèi)單調(diào)增加.而f(x)f(0)0x(0, 即當0xsinxtanx2x.2 22（9分）fxgx在gx0,fafbgagb0，證明(1)在a,b)內(nèi)gx0（2）在a,b)內(nèi)至少存在一點

fg

fg.（設(，b)內(nèi)存在一點x1

g(x1

)0x1

g(a)g(x1

)0,由羅爾定理知在(a,x1

)內(nèi)至少存在一點1

g1

)0，同理在(x1

,b)內(nèi)也至少存在一點 使g2

)0g1

)g(2

)0,1 2

)內(nèi)至少存在一點3g)0g(x)0矛盾，故在gx0。3（2）F(x)f(x)g(xg(x)f(x)由題設條件可知，F(xiàn)(x)在上連續(xù)，在(a，b) 內(nèi)可導，且F(a)F(b)0,由羅爾定理可知，存在bF0

gfg0，g0,g0

f fg g。一、填空題（每空3分，共24分）(x5)ex,x01、要使f(x) 在x0處連續(xù)，則a ；5；axx2,x02、設f(x)的一個原函數(shù)為x3x，則f(sinx)cosxdx ；sin3xsinxC；3、設y32x2，則dy ；4ln332x2xdx；4f(x)xsinx是sinx3x0時的_無窮小量（。5

arctanxdx ；0；1(1x2)26、若lim

x3ax4

b，則a ，b ；x1 x17、函數(shù)y x 的單調(diào)增加區(qū)間。(e,)lnx二、求極限（510。1（5分）lim[ 1

1]limxln(1x)limxln(1x)1x0

ln(1x) x

x0 xln(1x)

x0

x2 22（5）lim

0

3t2dt

lim

x32x

12x0

xt(tsint)dt0

x0

x(xsinx)三、求導數(shù)（618。1（6xylnxlny1yf(xdyd2y。dx dx2解：方程兩邊同時對xyxy1

y0y

y d2y 2y，x y x dx2 x2xt2sint dy d2y2（6分）設函數(shù)yy(x)的參數(shù)方程為 ，求 ， 。 ytcost

dx dx2dy y 1sint d2

1sint 1cost

costt，3解： t，3dx t

1cost dx2

1cost

cost3（6）

y