大學(xué)專業(yè)課程《線性代數(shù)》試題及答案(五)

大學(xué)專業(yè)課程《線性代數(shù)》試題及答案（五）1．填空題設(shè)A為n階奇異矩陣，則A一定有特征值 0 .解：方法一：

AA0E00A的特征值；方法二：

A 0

0，即0是A的特征值.12 n in階矩陣A的元素全為1，則A的特征值為 n-1個0和n .1111111111112n1 1 12n

n

n

n方法一：AE 1

1

1 rr r 1

1 1111111111111111111111 00 nn10111000（n1重）nAn10n；AA0E00A的特征值，易知RA1，dimSA

nRA0En10An1A的另一特征值為x，由P1221（2）有trAn00

xxn An10n.已知3階矩陣A滿足A2R(2,則A的相特征值為 0，1，1 .Axx是Ax是AA2AA2xAx ，2xx2x0x0 ， x0 ，100,1AAAE0，由P1109RARAEn3RA2RAE3210的特征向量為Ax0dimSA3RA1，1的特征向量為AEx0的非零解，dimSAE3RAE312，0,1,1.7 4 1（4）A4 x 1，已知A的特征值為2，3，3，則x為 . 4 4 1 解：由P1221A3x12

23318x2，123trA7x11 2 3

8x0.

1 1 1, ,3A1，2，3(2)1

12 6 4 .AA1236；2

21

1AA2A 1AP12321是A(2) 12 121 1 1特征值為 , , .12 6 4已知3階矩陣A的特征值為1，2，-2，則|AE|值為 -6 .解：設(shè)AAEA12,3,1，則行列式A231.7 5 4 2已知矩陣x y與3 4相似，則x

35 ，y為 1 . 解7 5與B4 2相似則A與B特征值相同得AB且trAtrB，x y 3 4 A7y5xB10trA7ytrB448x3y1.5B為n階矩陣，AB有特征值2，則BA3E一定有特征值 5 .解：AB有特征值0使A，（否則A000，兩邊左乘BBA22是BA是BA的2是A的特征值知：2+3=5BA3E.P1APABP1AP

A(mN)，則Bm B .ABPBP1APBmP1AmPP1APB.0 a 1

P1APP1APA0 2 0ab

a. 4 2b 0 解：AE 04

a2

10 02,2,2因為A32222的特征向量是A2Ex0的非零解，dimS 3RA2E2RA2E1，A2E2 a 1

a 1A2E

0 0 0

0 0 0 4 2 0 2 ab0RA2E1abab0.2．選擇題A必有相同特征值的矩陣是（C）.解：是A的特征值是的特征值，故ABD）均錯誤；C：AEAE

EA

有相同特征值，正確.設(shè)A為2階實矩陣，0，則矩陣A （A）.（A）可對角化（B）不可對角化（C）與反對稱陣相似（D）以上都不對解：方法一：

AEac

bd

2dadbc，a bAc d

adbc0d4bc0A有兩個不同的特征值，由P128推論2知A與對角陣相似，故（A）正確；A

0

0或

0

A有兩個不同的特征值.12 1 2 2 1已知A是3

是A的互不相等的特征值，對應(yīng)特征向量分別為1 2 3,,1 2

，1

AA2（B）3（A）線性相關(guān)（B）線性無關(guān)（C）可能線性相關(guān)，可能線性無關(guān)（D）以上都不對1

,i1,2,3,,,

1，i i i

1 2 3

1 2

1 2

11

1A A1 2 3

A A A1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3 2，32

1A2

222

21 2

1 2

1 1 2 2 3

1 2 3 231 23

2

1 1B A2 1 2

，由

互不相同特征1 2 3

2 2

1 2 31 23 3向量,,線性無關(guān)A0， 0B

A0向量組1 2 3

i j3ij1,A,A2線性無關(guān)，故（B）正確.設(shè)A的特征值，,分別是

的特征向量，則（C）1 2 1 2 1 21

時，,2 1

一定成比例1

時，若2 1

是特征值，則對應(yīng)的特征向量是3 1 21

時，2

不可能是特征向量2（D） 0,有 01 1A1 2

時，是A的二重根，A對應(yīng)于的特征向量可能是二維的，即A對應(yīng)于可能有兩個線性無關(guān)的特征向量，故（A）錯誤；（C：1

，設(shè)2

A的特征向量，即2

2

，20，,

線性無關(guān)，1 2 11 2 2 1 1 2 2 1 2 1 21

01 2

與已知矛盾，故1

不是A的特征向量C.2BnAB相似，則（D）（A）EAEB （B）AB有相同的特征值與特征向量（C）A與B都相似于同一對角陣 （D）對任意常數(shù)t，有tEA與tEB相解：A與B相似，則存在可逆陣P使BP1AP：：

EAEB，但一般EAEB，故（A）錯誤；AB有相同特征值，但一般特征向量不同，A的特征向量是AEx0B的特征向量是Ex0的非零解，故錯誤；AB相似，但它們可能都不能相似于對角矩陣，故錯誤；P1APAPtP1PP1APtEBtEAtEB，故（D）正確.An階實對稱矩陣，Pnn維列向量A的特征向量。則(P1AP)T的特征向量是（B） ）P （）PT （）P D）P1T 解：A，P

是P1APT的屬于P時，P1AP

PTAT

P1

PTPTA

PP1

PTAPTPT，故（B）正確.nAnA與對角陣相似的（B）（A）充分必要條件 （B）充分而非必要條件（C）必要而非充分條件 （D）既非充分又非必要條件解：An個不同的特征值A(chǔ)nA正確.0 0 1設(shè)矩陣B0 1 0，A與B相似，則R(AE)與R(AE)的和為（B） 1 0 0 （A）2 （B）3（C）4（D）5解：BE 01

010

10 2

01，1，1，1 由B是實對稱矩陣，則一定存在正交陣P使P1BP 1 ，11 1 11

1 1 AB

A

，則存在可逆陣陣P

使P1AP

11 ，11 1

2 2 1 1 1 0 P1AEP

P1

P1P

1

1 2 ，2 2 2

2 2

1 1 2 1 1 2 P1AEPP1APP1P

1

1 0 ，2 2 2 2 2 2 1 1 0 RAERP1AEP2，RAERP1AEP

1，2 2 2 2RAERAE213，故.A2,1 2

1

0，2

21

A2的非零特征值為（B）（A）-1 （B）1（C）-2（D）21

001

0A2

1

0（否則,1 2

線性相關(guān)，矛盾，A2

A21

2 2

02

12

1A的特征值，A1的特征向量，故.23A

0(kNR為（C）（A）2 （B）1（C）0（D）3解：設(shè)A的特征值，則kAkkNk

00，即A只有0AP

P1APOAORA0，故（B）.31 1 0 2 1 1

5 6 6

2 1 11）4 3 0（）

0 2 0

1 4

（）2 3 2. 1 0 2 4 1 3 3 6 4 3 3 4 ）A的特征多項式為：

110AE110AE413002

1 14 3

22A1

2；2

133 1 0

0 1 0

0 0 0

1 0 0 r3r

rr

rr 當(dāng)2時，A2E4 1 01

30 1 0

1 2 0 1 01

30 1 01 1 0 0r 4r1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 3 0 0得基礎(chǔ)解系為0，故對應(yīng)于

2

0(k

0)； 1 1 11 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 r2r rr 當(dāng)

1時，AE4 2 0

2 10 0 01

30 1 22 3

0 1

2r1

0 1r

0 0 0 1 3 2 3 1 1得基礎(chǔ)解系為

2，故對應(yīng)于

1k2(k

0). 2 3 2 21 1 A的特征多項式為：

211A211AE0204134 3

22A1

1；2

2300101 1 1 1 1 1 1 1 10010 r-4r r+r 當(dāng)1時，AE0 3 03 10 3 0 3 2 0 3 0 01 4 1 4 0 3 0 0 0 0 0 1 1得基礎(chǔ)解系為0，故對應(yīng)于

1

0(k

0)； 1 1 11 1 1 1 14 1 1 1 1

4 4 rr

1r 當(dāng)2時，A2E0 0 0

10 0 0

410 0 02 3 4 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0得基礎(chǔ)解系為4 1

2

k4

1

k,k

故對應(yīng)于2 3

的特征向量為2 3

2 3不0 1 0 10）.

A的特征多項式為：AE

5 6 6

5 0 6 5

0 61cc1

cc142 23 cc142 23 122 1123643243142 0 12

60 2232c2c32

2 1 2A1

1；2

2310004 6 6 0 6 2 10001

AE1

2r4r

1 3 21

1 3 2 1當(dāng) 時，

1 2

2 11 3 6 5r+3r0 3 11r

r0 0 0 0 3 2

1 3 3得基礎(chǔ)解系為1，故對應(yīng)于

1

1(k

0)； 1 1 13 3 3 6 6

3 6 6

1 2 2 A E

rr

r1r 當(dāng) 2時， 2

1 2

23 1

1 2 22310 0 02 3 3 6 6 0 0 0 1 0 0 0r 31 2 2 2 2得基礎(chǔ)解系為10，故對應(yīng)于2

1

0（k,k不0 1 0 2 0 1 0

2

3 2 30）.

A的特征多項式為：232 23 2232 23 212 212334314314

cc2 0 1 2 0 1ccAE1c2c1

2 02 0 12

10 12732c2c 532

1 6A1

7；2

1300305 1 1 5 1 10030 rrr 當(dāng)7時，A7E2 4 23 1 22 4 2 2 01 3 3 3 01 1得基礎(chǔ)解系為2，故對應(yīng)于

7

2(k

0)； 1 1 13 3 1 1 1 1 1 1 r2r 當(dāng)1時，AE2 2 22 10 0 02 3 3 3 3

3r0 0 0 3 1 1 1 1 1得基礎(chǔ)解系為

0 1 0 10 1 0

0 2

23

的特征向量為k2

1+k3

0（

k,k2 30）.

AA2AA01.

AA0AAE0，兩邊取行列式得：x0 AAEAAE0A0E0AE01A的特征值；AxxA2AA2xAx2xx2x0，x0 210，0,1.AA的特征值，則A

為A*的特征值.AA0Axxx0，兩邊左乘

AAAxAx，

xAx，AA AA

是A*的特征值.34個矩陣中，哪些可以相似對角化？哪些則不能相似對角化？解：A能否相似對角化關(guān)鍵是A的二重根是否對應(yīng)兩個線性無關(guān)的特征向量，由第3題解答知：除第一個矩陣外，其余三個矩陣均能相似對角化.證明：矩陣A1 1與二階單位矩陣E1 0有相同的特征值，但不相.0 1 0 1 AAE

10

11

20故A與E有相同特征值，均為1（2重，E是對角陣，A要相似于EA.方法一E0 1得基礎(chǔ)解系0故對應(yīng)于1的特征向量為

0(k

0)， 0 0 1AA.

11 1方法二：dimS

AE

2RAE211A不能相似于對角陣.設(shè)A，B都是n階方陣，且0，證明AB與BA相.證明： A0，A1存在，又BAABA，BA與AB相似.1 2 4 5 0 09．設(shè)方陣A2 x 2與對角陣0 y 0相似，求x，y. 4 2 1 0 0 4 Arr1 31 2 rr1 3AE 2 x 2

5 0 5 1 0 12 x 2 2 x 24 2 1 4 2 1 4 2 11 0 03 152 x 4 523x3x8

（1）cc4 2 3由題知： 5， ， y；代入式得：1 2 391643x3x80 x4yy2xy3x80y5. 方法二： A與相似，A與特征值相同，的特征值為5，y，-4，4 2 45EA2 5x 20，4 2 45 2 44EA 2 4x 2

5 2 41 0 4x 0 9x0rr234 2 5r2r23

1 4 1x4；又trA1415y4，y5.1 0 2 3 3 1 210A02

，求A101.3 32 33 033 解：A的特征多項式為：

1 23 0 31 2AE 023

3 32 3

30A1

0，2

1，3

1，全不相等，故可相似對角化；1 0

2 1 0 2 3 3 3 1 2

31 2

1 0 200100 r2r 03131當(dāng)0A0

3 3

0 3 3 212 23 3

0 2

2 4 3 3故對應(yīng)于0的特征向量為2；11 14

0 2

4 4 3 3

3 3

2 0 1000010

2 2 r2r 當(dāng)1時，AE0

3 31

30 3 3

122 2

2 201 0

13 31

3 3 故對應(yīng)于1的特征向量為2；2 2 2 02 203 3 4 2

23rr

20 34 2

1 0 10020當(dāng)1時，AE 03233

3 32 13 2

3 100

3 3 102 1 0333 故對應(yīng)于1的特征向量為1；3 2 2 2 1 20 0 0

2 1

2 2 19 9 9 APP1 2 2 1 0 1

2 2 1

，其中P11

2 2，

9 9 91 2 20 0 11 2 2

2 1 2 999 999 12 1 20 0 09

2 19 9PP1A101PP1PPP1

P101P12 2 10 1 01 2 20 0 19

2 29 9 2 1 29 9 9 90 1 22 2 1 1 0 210 2 11 2 210 1 2.9 3 0 2 22 1 2 2 2 0 a 1 c 設(shè)矩陣A 5 b 3其行列式1又A的伴隨矩陣*有一個特征值， 1c 0 a 屬于的特征向量為1 ，求a,b,c和的值.

A1，An1n10，故可逆，則0，1 A，則 a 1

1

1 ac

11

ac 1

1 b3 5 b 31

b 2

cc1c 0 a1

1

ca11

1 a 1 c c 1 c

c 1 c 5 3A5b3533rA5b3533r3r3c501c0a1c0c1c02 1c31c22 11,a2,b3,c2.

c 1c c.1 2 3 1 3 0 1 2 2（1）2 1 3； （2）3 2 1；2 1 2； 3 3 6

0 1 1

2 2 1 2 2 2

2 2 0（4）

2 5 4；（5）2 1 2. 2 4 5 0 2 0 ）A的特征多項式為：1 2 3AE 2 1 3 103 3 6A1

1，2

0，3

9；002230022322311 0當(dāng)1AE22rr000 11 3 3 7 3 3 7 0 21 12故對應(yīng)于1

1的特征向量為1

，標(biāo)準(zhǔn)化為 111

1 1；00 00 2312323123101330101110001000000當(dāng)0時，A2 1 3

2 102 3 3 6rr0 3 33 3 1 1 1故對應(yīng)于

0的特征向量為

1，標(biāo)準(zhǔn)化為

11；32 2 2 31 1 1 4

3 1 38 2 3

2 2 當(dāng)9A9E 3

2 8 3

8 2

0 30 153 3 3

1 1

520 5 2 3 1 0 11 4 2 2 10 2 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1

1故對應(yīng)于9的特征向量為 11，標(biāo)準(zhǔn)化為

11；3 3 2

3 62 26 1 1 1 263263P

1 1 1 632 .63201 203636A的特征多項式為：1 3 0AE 3 2 1 00 1 1A1

4，2

1，3

3；5050315100000005301030101 1當(dāng)4時，A4E3 2 10 1 5 0 1 5

3

3故對應(yīng)于1

4的特征向量為1

5，標(biāo)準(zhǔn)化為 1

1 5；3511 3511 1 1 1 1 0 10 3 0 00100000100001000001000

3 32 0 1 0 1

1故對應(yīng)于1的特征向量為 10，標(biāo)準(zhǔn)化為

1 0；2 2 3

2 103 310 1 3 0 3 0101210021020001002

2 1 0

1 0 3 3當(dāng)33

A3E3 5 10 1 2

0 1 2

3 1 0 1

1 4 21 210 2 1

0 1 0 0 0 2 0 0 0 故對應(yīng)于

3的特征向量為

32，標(biāo)準(zhǔn)化為

3141 2；143 3 1 1

3 1 1 3 1 3101435 101435 P

5 235140.351401 3 1 351014351014A的特征多項式為：1 2 2AE 2 1 2 12502 2 1A1 2

1，3

5；當(dāng)

2 2 2 11001001時，A1001001 2 02 2 2 0

1 1 1故對應(yīng)于

1的特征向量為

，

1，正交化為

1，1 2 1

2

1 0 0 0 0 ,

1

11

2 1

0 1 1，2 2

1 2

2 1 1 1

0

21 1p1

11，p222

1 61 ；610 2 111 111 2 12211 010133231001011300當(dāng)5A5E3

2 4 22 2 41

1故對應(yīng)于

5的特征向量為 1，標(biāo)準(zhǔn)化為p

11；33 3 3 31 1 1 1 1263 263 P

1 1 1263.2630 2 1063 63 A的特征多項式為：2 2 2AE 2 5 4 21002 4 5A1 2

1，3

10；1002001002000當(dāng)1

1時，AE2 4 4 2 4 4 0 2 2 2故對應(yīng)于

1的特征向量為

，

0，正交化為

1，1 2 1

2

1 0

1

0 ,

2

24

21

1

0 1 4，2 2

1 5

5 2

1 12

1

0

5p

1

，p

1 4；53 51 2 53 50 5 25 425 4009 901010001010

0 9 9

2 5 4

0 1當(dāng)10時，A10E3

2 5 42 4 5 31 13故對應(yīng)于10的特征向量為2

12；3 3 2 2 2 2 1

23 2 53 5353 53 1 453 5故正交陣P53 555 0

3232 3 3A的特征多項式為：2 2 0AE 2 1 221400 2 A1

2，2

1，3

4；02024 204322023101200當(dāng)2時，A2E2 3 21 0 2 21 1故對應(yīng)于2的特征向量為 2，標(biāo)準(zhǔn)化為

12；1 1

1 3 2 2 1010024220101220 0101002011000當(dāng)1時，AE2 0 22 0 2 2 2故對應(yīng)于2

1的特征向量為2

，標(biāo)準(zhǔn)化為121

113 ；2 2 1010011 2201040110021001022000當(dāng)4時，A4E2 3 23 0 2 4 2 2故對應(yīng)于4的特征向量為 2，標(biāo)準(zhǔn)化為

12；3 3

3 3 1 113P2.3.

2 23 31 23 3

2 2 1333 333 3A的特征值為1

1,2

0,3

1，對應(yīng)的特征向量依次為2 2 1p

1,

2,

2，2 1 1 2 3 2 1 A.

解：記Pp p p，diag,,

，則P1AP，所以1 2 3 1 2 3 2 2 11 2 2 11 APP11 2 2 0 1 2 2 1 0 21 2 22 1 2 12 1 2 2 0 21 2 2 2 11 2 1 1 2 2 12 2 1 9 2 1 2 1 2 2 2 0 1 2 1 2 1 0 2A1 0 212 2

1

0 1 2. 9 3 2 0 2 1 2 2 2 2 0 3A1，1，-11的特征向量為1 2p1,p

2，1 1 2 1 A.

i j k

1 P1AP

pp

1 1 11，03 1 20

2 2 1 1 1 21 2 1 2 2 Pp p p1 2 1，P11 1 1，1 2 3

2 2 1 1 0 1 1 0 2 2 1 1 21 2 1

2 2

1 0APP11 2 1

1 1

1 1

0 0.

2 2 1 1 0

1

0

0 1

1 1 0 T1ATT為正交陣1 1

2 2

1，t

1131 1 1 31 1 p,

2

15

11

161 6

2

1

2 1 1，t

12 2

1

3 3 2 1 1 1

1

2

22i j k 1 12

1 1 13

，t

113 1 2

00 2 2 1 300 Tt1 2

1333t133

1 162621 1626201 2 036 36 0 1 0 ATT1TT1 0 0. 0 0 1 3A6，3，36的特征向量為1p1，11 1求A.pp2 3

ppp1 2

px y zT，則xyz0，1 1 1 11 1解得基礎(chǔ)解系為 ，0 ，所以可取

1，

0，

2

3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Pp p p1 1 0 ，P1 1 2 1 ，1 2 3

3 1 0 1 1 1 2 4 1 1 APP11 4 1. 1 1 4 16．已知3 階矩陣A與三維向量x，使得向量組x,Ax,A2x線性無關(guān)，且滿足A3x3Ax2A2xPAxA2x3BAPBP1； 2計算行列式AE 2解）x,Ax,Ax線性無關(guān)，則P x,Ax,A2x可逆，APPBAP

x Ax A2x

Ax A2x A3x

Ax A2x 3Ax2A2xAx

A2

0 0 0 0 0 01 0 3 PB，1 0 3 PB，B 1 0 3 0 1 2 （2）APBP1ABB的特征多項式為 0BE 1 0 1

032

310AB0,3,1AE1,2,2，AE.設(shè)3階實對稱矩陣A的各行元素之和為1

2

T,2

0 1 T是線性方程組Ax0的解.A的特征值與特征向量；QQTAQ.1 3 11）A的各行元素之和為3，則A1331，

0

，

0，故1 3 1 1 2 1 3 A的全部特征值為1

3,2

0，31對應(yīng)于

3

1(k

0)，1 1 1111 0對應(yīng)于

0的全部特征向量為k

2