立體幾何專(zhuān)題-空間中的角課件

《立體幾何》專(zhuān)題復(fù)習(xí)2空間的角《立體幾何》專(zhuān)題復(fù)習(xí)2空間的角1一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a’、b’，并使a’//a，b’//b，我們把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面二2aαbo.aˊO是空間中的任意一點(diǎn)

點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上bˊθoooooaαbo.aˊO是空間中的任意一點(diǎn)點(diǎn)o常取在兩條異面直3一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a’、b’，并使a’//a，b’//b，我們把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若L?α則L與α所成的角是直角，若L//α或Lα，則L與α所成的角是0o的角。一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面二4oLθαBAoLθαBA5一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a’、b’，并使a’//a，b’//b，我們把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBA平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若L?α則L與α所成的角是直角，若L//α或Lα，則L與α所成的角是的角。一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面二6AαβLBOAαβLBO7一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a’、b’，并使a’//a，b’//b，我們把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBAAαβLBO平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若L?α則L與α所成的角是直角，若L//α或L

α，則L與α所成的角是的角。一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面二8二、數(shù)學(xué)思想、方法、步驟：解決空間角的問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過(guò)解三角形求得。2.方法：3.步驟：b.求直線與平面所成的角：a.求異面直線所成的角：c.求二面角的大小：①作（找）②證③點(diǎn)④算1.數(shù)學(xué)思想：平移構(gòu)造可解三角形找（或作）射影構(gòu)造可解三角形找（或作）其平面角構(gòu)造可解三角形二、數(shù)學(xué)思想、方法、步驟：解決空間角的問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)9A1ABB1CDC1D1FEG解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，O（證）A1D1FGAD又ADA1D1FG四邊形A1GFD1為平行四邊形A1GD1FA1G與AE所成的銳角（或直角）就是AE與D1F所成的角。（點(diǎn)）（算）FG，A1G

，A1G與AE交于O連結(jié)（作）三、例題例1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD中點(diǎn)。求AE與D1F所成的角。即直線AE與D1F所成的角為直角。E是BB1的中點(diǎn)tRA1AGABEAOG=90GA1A=GAOA1ABB1CDC1D1FEG解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，O10例2.已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC邊上的中點(diǎn)，沿AE折成60o的二面角，分別求DE、DC與平面AC所成的角。ABDE34C34DEABC2二面角D—AE—B為60o

例2.已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC邊11立體幾何專(zhuān)題---空間中的角課件12解：如圖（1），作DM⊥AE于M，延長(zhǎng)DM交CB于N，ABCD2234MEMDEACBNDDDDDDDFN圖（1）圖（2）過(guò)D作DF⊥平面ABCE,連結(jié)EF、DC、CF.沿AE折成60o的二面角后如圖（2）于是∠DEF是DE與平面ABCE所成的角，

∠DCF是DC與平面ABCE所成的角.解：如圖（1），作DM⊥AE于M，延長(zhǎng)DM交CB于N，AB13ABCD2234MEN圖（1）EACBMNF圖（2）D∵DM⊥AE，MN⊥AE∴∠DMN=60o，且AE⊥平面DMN又∵AE?平面ABCE∴平面DMN⊥平面ABCE,從而垂足F在MN上.F如圖（1）在Rt△ADE中，DM=ME=ABCD2234MEN圖（1）EACBMNF圖（2）D∵DM14在Rt?DFM中，∴∠DEF=即DE與平面AC所成的角為ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）在Rt?EFM中，在Rt?DFE中，Cos∠DEF=F在Rt?DFM中，∴∠DEF=即DE與平面AC所成的角為A15在圖（1）中，設(shè)∠EDM=α，在Rt?DME中，∵DF=DM+MF=在?DFC中，由余弦定理得：CF2=DF2+DC2-2DF·DC·Cosα=73/13在Rt?DFC中，即DC與平面AC所成的角為：∴ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）F∵DF=在圖（2）中在圖（1）中，設(shè)∠EDM=α，在Rt?DME中，∵DF=DM16ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）F另外，過(guò)D作DF⊥平面ABCE于F；過(guò)F作FM⊥AE于M；連結(jié)DM，則DM⊥AE，從而∠DMF=60°也可。ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）F另外17注：在求解圖形翻折問(wèn)題時(shí)，（1）分別畫(huà)好平面圖形和翻折后的立體圖，字母一定要一致；（2）弄清平面圖中的量與位置關(guān)系在翻折后的變與不變的情況；（3）按題意作出包含已知與未知的圖形，然后計(jì)算和證明。注：在求解圖形翻折問(wèn)題時(shí)，18B1A1C1ABC例3：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90o，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC成30o的角，求二面角BB1CA的余弦值。分析：求二面角BB1CA的度數(shù)，要作出平面角，顯然二面角的棱為B1C，故需在B1C上取一點(diǎn)，然后分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線。B1A1C1ABC例3：如圖，在直三棱柱ABC-A119C1AA1B1BC解：作ANBC于N，則AN平面BCC1B1，作NQB1C于Q，則AQB1CAQN是二面角BB1CA的平面角。ANBC=ABACAN=ABACBC=36123=ANAQ又ACAB1AQB1C=ACAB1

AQ===1AB1ACB1C22233SinCosAQN==36AQN=QNC1AA1B1BC解：作ANBC于N，則AN20ABCA1C1B1另解：ACABACAA1

AC平面AA1B1B又AC平面ACB1

平面ACB1平面AA1B1B設(shè)E為AB1的中點(diǎn)，連接BE則BE平面ACB1作EFB1C于F，連接BF，則BFB1CEFB是二面角B—B1C—A的平面角。33即二面角B—B1C—A的平面角的余弦值為ABBB1=AB1BEBE=ABBB1AB1=112又BCBB1=B1CBF=22BF=BC

BB1B1C=321=23SinEFB=BEBF=2322=36CosEFB=33FEABCA1C1B1另解：ACABAC21B1B1例4：如圖，已知在正三棱柱ABC-中，側(cè)棱長(zhǎng)大于底面邊長(zhǎng)，M、N分別在側(cè)棱AA1、B上，且N==2M，求截面MN與底面所成的二面角的大小。A1B1C1B1A1A1C1

A1B1C1分析：由題意平面MN與平面的公共點(diǎn)是，但二面角沒(méi)有棱，需要作出，再找平面角。C1C1B1

A1C1A1B1C1ABCNMB1B1例4：如圖，已知在正三棱柱ABC-中，A122A1B1C1ABCNMD解：連結(jié)NM并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連結(jié)D，則截面MN與底面所成二面角的棱為D。C1

A1B1C1

A1B1C1C1在ND中，N=2M，且NM，D=2DD==又為等邊三角形D=180-60=120D=30，又=60D=90，即D又C平面CDD平面BC

A1B1B1

A1B1C1

A1C1B1A1B1B1A1A1C1A1C1A1B1A1C1A1C1B1C1C1B1C1

A1B1C1C1C1C1C1B1又N平面，DNN是平面MN與底面所成二面角的平面角。C1C1C1

C1B1BCC1B1C1t

B1C1

A1B1C1C1S，S4a624a322

2又在RN中，B1N=B1C1NC1B1=45即截面MN與底面所成二面角為45利用面積也可作出Cos==（）/（）==45

A1B1C1ABCNMD解：連結(jié)NM并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線23謝謝！再見(jiàn)謝謝！再見(jiàn)24《立體幾何》專(zhuān)題復(fù)習(xí)2空間的角《立體幾何》專(zhuān)題復(fù)習(xí)2空間的角25一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a’、b’，并使a’//a，b’//b，我們把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面二26aαbo.aˊO是空間中的任意一點(diǎn)

點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上bˊθoooooaαbo.aˊO是空間中的任意一點(diǎn)點(diǎn)o常取在兩條異面直27一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a’、b’，并使a’//a，b’//b，我們把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若L?α則L與α所成的角是直角，若L//α或Lα，則L與α所成的角是0o的角。一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面二28oLθαBAoLθαBA29一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a’、b’，并使a’//a，b’//b，我們把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBA平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若L?α則L與α所成的角是直角，若L//α或Lα，則L與α所成的角是的角。一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面二30AαβLBOAαβLBO31一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角及它的平面角直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，作直線a’、b’，并使a’//a，b’//b，我們把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBAAαβLBO平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，特別地，若L?α則L與α所成的角是直角，若L//α或L

α，則L與α所成的角是的角。一、概念名稱(chēng)定義圖形兩條異面直線所成的角直線與平面二32二、數(shù)學(xué)思想、方法、步驟：解決空間角的問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過(guò)解三角形求得。2.方法：3.步驟：b.求直線與平面所成的角：a.求異面直線所成的角：c.求二面角的大?。孩僮鳎ㄕ遥谧C③點(diǎn)④算1.數(shù)學(xué)思想：平移構(gòu)造可解三角形找（或作）射影構(gòu)造可解三角形找（或作）其平面角構(gòu)造可解三角形二、數(shù)學(xué)思想、方法、步驟：解決空間角的問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)33A1ABB1CDC1D1FEG解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，O（證）A1D1FGAD又ADA1D1FG四邊形A1GFD1為平行四邊形A1GD1FA1G與AE所成的銳角（或直角）就是AE與D1F所成的角。（點(diǎn)）（算）FG，A1G

，A1G與AE交于O連結(jié)（作）三、例題例1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD中點(diǎn)。求AE與D1F所成的角。即直線AE與D1F所成的角為直角。E是BB1的中點(diǎn)tRA1AGABEAOG=90GA1A=GAOA1ABB1CDC1D1FEG解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，O34例2.已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC邊上的中點(diǎn)，沿AE折成60o的二面角，分別求DE、DC與平面AC所成的角。ABDE34C34DEABC2二面角D—AE—B為60o

例2.已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC邊35立體幾何專(zhuān)題---空間中的角課件36解：如圖（1），作DM⊥AE于M，延長(zhǎng)DM交CB于N，ABCD2234MEMDEACBNDDDDDDDFN圖（1）圖（2）過(guò)D作DF⊥平面ABCE,連結(jié)EF、DC、CF.沿AE折成60o的二面角后如圖（2）于是∠DEF是DE與平面ABCE所成的角，

∠DCF是DC與平面ABCE所成的角.解：如圖（1），作DM⊥AE于M，延長(zhǎng)DM交CB于N，AB37ABCD2234MEN圖（1）EACBMNF圖（2）D∵DM⊥AE，MN⊥AE∴∠DMN=60o，且AE⊥平面DMN又∵AE?平面ABCE∴平面DMN⊥平面ABCE,從而垂足F在MN上.F如圖（1）在Rt△ADE中，DM=ME=ABCD2234MEN圖（1）EACBMNF圖（2）D∵DM38在Rt?DFM中，∴∠DEF=即DE與平面AC所成的角為ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）在Rt?EFM中，在Rt?DFE中，Cos∠DEF=F在Rt?DFM中，∴∠DEF=即DE與平面AC所成的角為A39在圖（1）中，設(shè)∠EDM=α，在Rt?DME中，∵DF=DM+MF=在?DFC中，由余弦定理得：CF2=DF2+DC2-2DF·DC·Cosα=73/13在Rt?DFC中，即DC與平面AC所成的角為：∴ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）F∵DF=在圖（2）中在圖（1）中，設(shè)∠EDM=α，在Rt?DME中，∵DF=DM40ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）F另外，過(guò)D作DF⊥平面ABCE于F；過(guò)F作FM⊥AE于M；連結(jié)DM，則DM⊥AE，從而∠DMF=60°也可。ABCD2234MENEACBMNF圖（2）D圖（1）F另外41注：在求解圖形翻折問(wèn)題時(shí)，（1）分別畫(huà)好平面圖形和翻折后的立體圖，字母一定要一致；（2）弄清平面圖中的量與位置關(guān)系在翻折后的變與不變的情況；（3）按題意作出包含已知與未知的圖形，然后計(jì)算和證明。注：在求解圖形翻折問(wèn)題時(shí)，42B1A1C1ABC例3：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90o，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC成30o的角，求二面角BB1CA的余弦值。分析：求二面角BB1CA的度數(shù)，要作出平面角，顯然二面角的棱為B1C，故需在B1C上取一點(diǎn)，然后分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線。B1A1C1ABC例3：如圖，在直三棱柱ABC-A143C1AA1B1BC解：作ANBC于N，則AN平面BCC1B1，作NQB1C于Q，則AQB1CAQN是二面角BB1CA的平面角。ANBC=ABACAN=ABACBC=36123=ANAQ又ACAB1AQB1C=ACAB1

AQ===1AB1ACB1C22233SinCosAQN==36AQN=QNC1AA1B1BC解：作ANBC于N，則AN44ABCA1C1B1另解：ACABACAA1

AC平面AA1B1B又AC平面ACB1

平面ACB1平面AA1B1B設(shè)E為AB1的中點(diǎn)，連接BE則BE平面ACB1作EFB1C于F，連接BF，則BFB1CEFB是二面角B—B1C—A的平面角。33即二面角B—B1C—A的平面角的余弦值為ABBB1=AB1BEBE=ABBB1AB1=112又BCBB1=B1CBF=22BF=BC

BB1B1C=321=23SinEFB=BEBF=2322=36CosEFB=33FEABCA1C1B1另解：AC