數(shù)值分析-課件5.6最佳逼近

15.6函數(shù)的最佳平方逼近一、最佳平方逼近的概念與解法二、正交函數(shù)系在最佳平方逼近中的應用三、樣條函數(shù)在最佳平方逼近中的應用四、曲線擬合與曲面擬合2什么是逼近問題？在逼近函數(shù)類中找函數(shù)使與的某種距離達到最小.即如定義:還可定義：最佳平方逼近最佳一致逼近35.6函數(shù)的最佳平方逼近一、最佳平方逼近的概念與解法1、最佳平方逼近的概念2、最佳平方逼近的條件3、最佳平方逼近元素是唯一的4、最佳平方逼近元素的求法5、最佳平方逼近誤差45.6函數(shù)的最佳平方逼近一、最佳平方逼近的概念與解法1、最佳平方逼近的概念定義：設(shè)，若存在使則稱為f（x）在函數(shù)類中的最佳平方逼近函數(shù)。為某一函數(shù)類，設(shè)55.6函數(shù)的最佳平方逼近一、最佳平方逼近的概念與解法1、最佳平方逼近的概念定義：設(shè)，若存在使則稱為f（x）在函數(shù)類中的最佳平方逼近函數(shù)。為某一函數(shù)類，設(shè)6定義:對于給定的函數(shù),若滿足則稱為子空間中對于的最佳平方逼近元素。教材定義:帶權(quán)的表示：

為中的基。設(shè)7特別：最佳平方逼近多項式:取在情形下,在函數(shù)類中找f(x)的最佳逼近元素.的表示：

為中的基。85.6函數(shù)的最佳平方逼近一、最佳平方逼近的概念與解法1、最佳平方逼近的概念2、最佳平方逼近的條件定理5.7設(shè)，是子空間中對于的最佳平方逼近元素的充分必要條件是92、最佳平方逼近的條件定理5.7設(shè)，是子空間中對于的最佳平方逼近元素的充分必要條件是或?qū)θ我粋€，總有首先:其次證明定理:必要性:用反證法，設(shè)存在一個函數(shù)使得:10必要性:找使即不是最佳平方逼近元素令:充分性:證明在成立的條件下,對任意用反證法，設(shè)存在一個函數(shù)使得:11充分性:證明在成立的條件下,對任意證畢123、最佳平方逼近元素是唯一的定理5.8設(shè)，則在子空間中對于的最佳平方逼近元素是唯一的。證明思路:設(shè)都是f(x)最佳平方逼近元素證明從而一、最佳平方逼近的概念與解法1、最佳平方逼近的概念2、最佳平方逼近的條件13定理5.8設(shè)，則在子空間中對于的最佳平方逼近元素是唯一的。證明思路:設(shè)都是f(x)最佳平方逼近元素證明2、最佳平方逼近的條件證畢143、最佳平方逼近元素是唯一的定理5.8設(shè)，則在子空間中對于的最佳平方逼近元素是唯一的。一、最佳平方逼近的概念與解法1、最佳平方逼近的概念2、最佳平方逼近的條件4、最佳平方逼近元素的求法求系數(shù)利用條件：154、最佳平方逼近元素的求法利用條件：求系數(shù)164、最佳平方逼近元素的求法法方程（正規(guī)方程）：利用條件：求系數(shù)17法方程（正規(guī)方程）：18法方程（正規(guī)方程）：19法方程（正規(guī)方程）：204、最佳平方逼近元素的求法法方程（正規(guī)方程）：系數(shù)矩陣利用條件：求系數(shù)21思考:方程組是否有解?法方程（正規(guī)方程）：證明G是否可逆?P196思考:在什么情況下系數(shù)矩陣為對角陣?22法方程（正規(guī)方程）：為[a,b]上帶權(quán)正交函數(shù)系,則設(shè)233、最佳平方逼近元素是唯一的定理5.8設(shè)，則在子空間中對于的最佳平方逼近元素是唯一的。一、最佳平方逼近的概念與解法1、最佳平方逼近的概念2、最佳平方逼近的條件4、最佳平方逼近元素的求法求系數(shù)5、最佳平方逼近誤差245、最佳平方逼近誤差

均方誤差：例6定義內(nèi)積試在中尋找對于的最佳平方逼近元素p（x）。25例6定義內(nèi)積試在中尋找對于的最佳平方逼近元素p（x）。思考：利用正交多項式作基底，如何求？26二、正交函數(shù)系在最佳平方逼近中的應用1、Legendre多項式的應用2、Chebyshev多項式的應用3、三角函數(shù)系的應用27二、正交函數(shù)系在最佳平方逼近中的應用為[a,b]上帶權(quán)正交函數(shù)系,則設(shè)1、Legendre多項式的應用(1)設(shè)求f(x)在[-1,1]上的n次最佳平方逼近多項式281、Legendre多項式的應用(1)設(shè)求f(x)在[-1,1]上的n次最佳平方逼近多項式取291、Legendre多項式的應用(1)設(shè)求f(x)在[-1,1]上的n次最佳平方逼近多項式取301、Legendre多項式的應用作變換:31例7P19932例7P19933例7P19934例8P200令35例8P200令令362、Chebyshev多項式的應用372、Chebyshev多項式的應用382、Chebyshev多項式的應用392、Chebyshev多項式的應用（5.86）40誤差估計定理5.9設(shè)在區(qū)間[-1，1]上存在且有界，那么由式（5.85）和系數(shù)公式（5.86）所確定的多項式,當時，在[-1，1]上一致收斂于函數(shù)f(x)。Chebyshev級數(shù)f(x)按Chebyshev多項式展開部分和41例9求函數(shù)按Chebyshev多項式展開的n=7的部分和.Ｐ２０１（5.86）42例9求函數(shù)按Chebyshev多項式展開的n=7的部分和.Ｐ２０１（5.86）解43例9求函數(shù)按Chebyshev多項式展開的n=7的部分和.解44例9求函數(shù)按Chebyshev多項式展開的n=7的部分和.解Maclaurin級數(shù)部分和與Chebyshev級數(shù)部分和的區(qū)別451、Legendre多項式的應用2、Chebyshev多項式的應用3、三角函數(shù)系的應用463、三角函數(shù)系的應用三角函數(shù)系在上為正交函數(shù)系.473、三角函數(shù)系的應用設(shè)f(x)是以為周期的函數(shù),定義內(nèi)積在空間中尋求對于f(x)的最佳平方逼近元素Fourier系數(shù)48Fourier級數(shù)當且以為周期時，3、三角函數(shù)系的應用49三、樣條函數(shù)在最佳平方逼近中的應用1、目的2、問題的提法3、解法（自學）50三、樣條函數(shù)在最佳平方逼近中的應用1、目的:在[a,b]上找分段k次多項式逼近f(x),又要求該分段k次多項式在(a,b)具有一定的光滑性.2、問題的提法定義內(nèi)積:給定區(qū)間[a,b]上的等距分劃在對應于分劃的k次樣條函數(shù)空間中尋求函數(shù)的最佳平方逼近元素s(x).513、解法選擇基底:最佳逼近元素:法方程（正規(guī)方程）：52法方程：基函數(shù)：53法方程：基函數(shù)：最佳逼近元素:54四、曲線擬合與曲面擬合1、曲線擬合2、曲面擬合（1）曲線擬合的最小二乘法（2）擬合曲線的求法（3）誤差平方和（4）基函數(shù)的選取復習55.......xyo一、插值問題插值條件---插值函數(shù)復習：56曲線擬合的概念：已知數(shù)據(jù)點：尋找一個函數(shù)，使其在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合的好。常用的四個準則：（1）最大誤差（2）平均誤差（3）均方根誤差（4）誤差平方和57（1）最大誤差：（2）平均誤差：（3）均方根誤差：（4）誤差平方和：常用的四個準則：用四種方法可以分別得到在四種準則下的四條最佳擬合曲線，使其誤差平方和最小的方法稱為最小二乘準則。58四、曲線擬合與曲面擬合1、曲線擬合（1）曲線（數(shù)據(jù)）擬合的最小二乘法:使:稱為上述數(shù)據(jù)的最小二乘擬合曲線.給定一組數(shù)據(jù)在某一函數(shù)類D中找函數(shù)59四、曲線擬合與曲面擬合1、曲線擬合（1）曲線（數(shù)據(jù)）擬合的最小二乘法:（2）擬合曲線的求法找使取60（2）擬合曲線的求法找使即求多元函數(shù)的極小值:取6162法方程令:63法方程法方程64法方程（正規(guī)方程）：令:65666768法方程（正規(guī)方程）：令:則法方程為:基函數(shù)選取69令:則法方程組為:70（3）誤差平方和（1）曲線（數(shù)據(jù)）擬合的最小二乘法:（2）擬合曲線的求法71例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試分別用二次和三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù),并比較其優(yōu)劣.解72例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6解73例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6解74例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6解75例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6解7677法方程：78例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試分別用二次和三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù),并比較其優(yōu)劣.解誤差平方和79例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試分別用二次和三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù),并比較其優(yōu)劣.解80例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6解81例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6解82例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試分別用二次和三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù),并比較其優(yōu)劣.思考：構(gòu)造形如的擬合函數(shù)，如何選擇基函數(shù)？83例11給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試分別用二次和三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù),并比較其優(yōu)劣.思考：構(gòu)造形如的擬合函數(shù)，如何選擇基函數(shù)？84例7.2.1（任玉杰，485頁）首先畫出散點圖，然后選擇基函數(shù)8586例12已知一組實驗數(shù)據(jù)，

02106.42611110.5913108.20714110.6024109.50816110.7635110.00918111.0048109.931019111.20510110.49試以最小二乘原則求一個函數(shù)擬合表中的數(shù)據(jù)。P21387解：選擇兩種類型的函數(shù)擬合第一種，選擇雙曲型的函數(shù)：88解：選擇兩種類型的函數(shù)擬合第一種，選擇雙曲型的函數(shù)：第二種，選擇指數(shù)型的函數(shù)：89最小二乘法的分類:1、線性最小二乘法：擬合函數(shù)是待定參量的線性函數(shù)。2、非線性最小二乘法：擬合函數(shù)是待定參量的非線性函數(shù)。一般設(shè)：（任玉杰484）可轉(zhuǎn)換為線性函數(shù)，任玉杰：50190常用的曲線：任玉杰，490頁91（4）基函數(shù)的選?。ㄒ远囗検阶鳛閿M合函數(shù)類）（d）取三角函數(shù)為基函數(shù)(a)選擇冪函數(shù)作為基函數(shù).(b)構(gòu)造在點集上的正交多項式系法方程(c)取Chebyshev多項式作為基函數(shù)92（4）基函數(shù)的選?。ㄒ远囗検阶鳛閿M合函數(shù)類）(a)選擇冪函數(shù)作為基函數(shù).(b)構(gòu)造在點集上的正交多項式系作為基函數(shù)滿足:法方程93(b)構(gòu)造在點集上正交的多項式系94的構(gòu)造公式:Ｐ２１０95的構(gòu)造公式:其中:Ｐ２１０習題：推導兩個計算公式61頁96例用正交化方法求例11中的離散數(shù)據(jù)的二次多項式擬合：x-2-1012y-0.10.10.40.91.6課堂練習97例用正交化方法求例11中的離散數(shù)據(jù)的二次多項式擬合：x-2-1012y-0.10.10.40.91.69899（4）基函數(shù)的選?。ㄒ远囗検阶鳛閿M合函數(shù)類）(a)選擇冪函數(shù)作為基函數(shù).(b)構(gòu)造在點集上正交的多項式系(c)取Chebyshev多項式作為基函數(shù)的全部零點:設(shè)為：100（4）基函數(shù)的選取（以多項式作為擬合函數(shù)類）(c)取Chebyshev多項式作為基函數(shù)則Chebyshev多項式系:在點集上正交.101(3)取Chebyshev多項式作為基函數(shù)則Chebyshev多項式系:在點集上正交.記:則有:此等式稱為Chebyshev多項式離散形式的正交性.102（4）基函數(shù)的選?。ㄒ远囗検阶鳛閿M合函數(shù)類）(a)選擇冪函數(shù)作為基函數(shù).(b)構(gòu)造在點集上正交的多項式系(c)取Chebyshev多項式作為基函數(shù)的選取:的全部零點:若分布在[-1,1]內(nèi),103最佳元素:（4）基函數(shù)的選?。ㄒ远囗検阶鳛閿M合函數(shù)類）(a)選擇冪函數(shù)作為基函數(shù).(b)構(gòu)造在點集上正交的多項式系(c)取Chebyshev多項式作為基函數(shù)的選取:的全部零點:若分布在[-1,1]內(nèi),104若只能分布在[a,b]內(nèi),先取是m+１次Chebyshev多項式的全部零點．在上正交。再令105若只能分布在[a,b]內(nèi),先取是m+１次Chebyshev多項式的全部零點．在上正交。再取106若只能分布在[a,b]內(nèi),先取是m+１次Chebyshev多項式的全部零點．在上正交。再取107（4）基函數(shù)的選?。ㄒ远囗検阶鳛閿M合函數(shù)類）(a)選擇冪函數(shù)作為基函數(shù).(b)構(gòu)造在點集上正交的多項式系(c)取Chebyshev多項式作為基函數(shù)（d）取三角函數(shù)為基函數(shù)三角函數(shù)系在點集上正交.108（4）基函數(shù)的選?。ㄒ远囗検阶鳛閿M合函數(shù)類）（d）取三角函數(shù)為基函數(shù)在點集上正交.離散的Fourier展開離散的Fourier系數(shù)1092、曲面擬合乘積型基函數(shù):(5.101)（自學）110定義:若參數(shù)使得:成立,則稱相應的曲面為在曲線族(5.101)中按最小二乘原則確定的對于所給數(shù)據(jù)的擬合曲面.(5.101)例13

111擬合參數(shù)的求法:112擬合曲面參數(shù)的求法:第一步:固定以為基函數(shù)對數(shù)據(jù)作最小二乘擬合.B=法方程組:113令則:例13P218110114115作最小二乘擬合.為基函數(shù)對數(shù)據(jù)第二步:任意固定x,以第一步:固定以為基函數(shù)對數(shù)據(jù)作最小二乘擬合.116作最小二乘擬合.為基函數(shù)對數(shù)據(jù)第二步:任意固定x,以法方程組為:G=117作最小二乘擬合.為基函數(shù)對數(shù)據(jù)第二步:任意固定x,以法方程組為:118記:則:A=?119記:則:120作最小二乘擬合.為基函數(shù)對數(shù)據(jù)第二步:任意固定x,以第一步:固定以為基函數(shù)對數(shù)據(jù)作最小二乘擬合.121例13

122例13給定數(shù)據(jù)表-2-10123-16323611-0.54.41.510.51.484.69.404101490.54.61.490.51.524.49.6163236111.58.45.64.55.48.613.4取對所給數(shù)據(jù)作乘積型最小二乘擬合.曲面擬合123作業(yè):1、推導210頁的遞推公式。2、課本習題:P22221,24,29,30,31,32,40,41，42，43例：觀測得數(shù)據(jù)如表：xi12345yi25786試用chebyshev多項式求三次多項式擬合。3、查閱參考資料：《數(shù)值分析》林成森科學出版社2006.1取chebyshev多項式作為基函數(shù)時最小二乘擬合多項式的求法。124上機作業(yè)數(shù)值試驗五中有五個實驗，任選一個實驗，實驗報告格式寫出實驗報告，12月8日（周四）交本章的