空間向量求角課件

一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問題）（進行向量運算）（回到圖形）第1頁/共28頁一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。（1）建1范圍：

一、線線角：異面直線所成的銳角或直角思考：空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么關(guān)系？結(jié)論：第2頁/共28頁范圍：一、線線角：異面直線所成的銳角或直角思考：空間向量的2第3頁/共28頁第3頁/共28頁3

[題后感悟]

如何用坐標法求異面直線所成的角？(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)找到兩條異面直線的方向向量的坐標形式；(3)利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向量的夾角；(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角．

第4頁/共28頁[題后感悟]如何用坐標法求異面直線所成的角？第4頁/共24直線與平面所成角的范圍：

結(jié)論：二、線面角：直線和直線在平面內(nèi)的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢？AOB第5頁/共28頁直線與平面所成角的范圍：結(jié)論：二、線面角：直線和直線在平面52.線面角l設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，且直線與平面所成的角為(),則第6頁/共28頁2.線面角l設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量62．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點．(1)證明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．第7頁/共28頁2．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD7第8頁/共28頁第8頁/共28頁8第9頁/共28頁第9頁/共28頁9第10頁/共28頁第10頁/共28頁10第11頁/共28頁第11頁/共28頁11二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角：第12頁/共28頁二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角12二面角的計算幾何法：1、找到或作出二面角的平面角2、證明

1中的角就是所求的角3、計算出此角的大小一“作”二“證”三“計算”16第13頁/共28頁二面角的計算幾何法：1、找到或作出二面角的平面角2、證明113四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法lAOB問題1：

二面角的平面角

能否轉(zhuǎn)化成向量的夾角？三、面面角：第14頁/共28頁四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法lAOB問題1：

二面角14四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法第15頁/共28頁四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法第15頁/共28頁15

將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量(在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱)的夾角.DCBA②方向向量法：設(shè)二面角α-l-β的大小為θ，其中l(wèi)第16頁/共28頁將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量(在二16四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法問題2：

求直線和平面所成的角可轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，那么二面角的大小與兩個半平面的法向量有沒有關(guān)系？l第17頁/共28頁四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法問題2：

求直線和平面所成172探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施

第18頁/共28頁2探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施第18頁/共28頁182探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施

第19頁/共28頁2探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施第19頁/共28頁192探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施

問題3：

法向量的夾角與二面角的大小什么時候相等，什么時候互補？再次演示課件第20頁/共28頁2探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施問題3：

法向量的20ll法向量法關(guān)鍵：觀察二面角的范圍注意法向量的方向：同進同出，二面角等于法向量夾角的補角；一進一出，二面角等于法向量夾角第21頁/共28頁ll法向量法關(guān)鍵：觀察二面角的范圍注意法向量的方向：同進同出213實踐操作四、教學過程的設(shè)計與實施總結(jié)出利用法向量求二面角大小的一般步驟：1）建立坐標系，寫出點與向量的坐標；2）求出平面的法向量，進行向量運算求出法向量的

夾角；3）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或

鈍角，得出問題的結(jié)果．第22頁/共28頁3實踐操作四、教學過程的設(shè)計與實施總結(jié)出利用法向量求二面角大22小結(jié)注意：(1)用法向量法求二面角時，注意結(jié)合圖形確定二面角是鈍二面角還有銳二面角（或利用“同進同出，二面角等于法向量的夾角的補角，一進一出，二面角等于法向量的夾角”）(2)用方向向量法求二面角時，應(yīng)先在二面角的二個半平面內(nèi)分別找（或作）出與棱垂直的兩直線，再利用直線方向向量計算；(3)保證計算過程的準確性，一失足，千古恨．第23頁/共28頁小結(jié)注意：第23頁/共28頁23課堂訓練與檢測：如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且

OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS與面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。則A（2，0，0）；于是我們有OABCS解：如圖建立直角坐標系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；第24頁/共28頁課堂訓練與檢測：如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，24令x=1，則y=1，z=2；從而（2）設(shè)面SAB的法向量顯然有OABCSxyz第25頁/共28頁令x=1，則y=1，z=2；從而（2）設(shè)面SAB的法向量顯然25⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）

又∵OC⊥面AOS，∴是面AOS的法向量，令則有由于所求二面角的大小等于OABCSxyz∴二面角B－AS－O的余弦值為66所以直線SA與OB所成角余弦值為510第26頁/共28頁⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）又∵OC⊥26課堂小結(jié)：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

3.二面角：關(guān)鍵：觀察二面角的范圍第27頁/共28頁課堂小結(jié)：1.異面直線所成角：2.直線與平面所成角：3.27謝謝您的觀看！第28頁/共28頁謝謝您的觀看！第28頁/共28頁28一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問題）（進行向量運算）（回到圖形）第1頁/共28頁一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。（1）建29范圍：

一、線線角：異面直線所成的銳角或直角思考：空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么關(guān)系？結(jié)論：第2頁/共28頁范圍：一、線線角：異面直線所成的銳角或直角思考：空間向量的30第3頁/共28頁第3頁/共28頁31

[題后感悟]

如何用坐標法求異面直線所成的角？(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)找到兩條異面直線的方向向量的坐標形式；(3)利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向量的夾角；(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角．

第4頁/共28頁[題后感悟]如何用坐標法求異面直線所成的角？第4頁/共232直線與平面所成角的范圍：

結(jié)論：二、線面角：直線和直線在平面內(nèi)的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.思考：如何用空間向量的夾角表示線面角呢？AOB第5頁/共28頁直線與平面所成角的范圍：結(jié)論：二、線面角：直線和直線在平面332.線面角l設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，且直線與平面所成的角為(),則第6頁/共28頁2.線面角l設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量342．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點．(1)證明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．第7頁/共28頁2．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD35第8頁/共28頁第8頁/共28頁36第9頁/共28頁第9頁/共28頁37第10頁/共28頁第10頁/共28頁38第11頁/共28頁第11頁/共28頁39二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角：第12頁/共28頁二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角40二面角的計算幾何法：1、找到或作出二面角的平面角2、證明

1中的角就是所求的角3、計算出此角的大小一“作”二“證”三“計算”16第13頁/共28頁二面角的計算幾何法：1、找到或作出二面角的平面角2、證明141四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法lAOB問題1：

二面角的平面角

能否轉(zhuǎn)化成向量的夾角？三、面面角：第14頁/共28頁四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法lAOB問題1：

二面角42四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法第15頁/共28頁四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法第15頁/共28頁43

將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量(在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱)的夾角.DCBA②方向向量法：設(shè)二面角α-l-β的大小為θ，其中l(wèi)第16頁/共28頁將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量(在二44四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法問題2：

求直線和平面所成的角可轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，那么二面角的大小與兩個半平面的法向量有沒有關(guān)系？l第17頁/共28頁四、教學過程的設(shè)計與實施2探究方法問題2：

求直線和平面所成452探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施

第18頁/共28頁2探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施第18頁/共28頁462探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施

第19頁/共28頁2探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施第19頁/共28頁472探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施

問題3：

法向量的夾角與二面角的大小什么時候相等，什么時候互補？再次演示課件第20頁/共28頁2探究方法四、教學過程的設(shè)計與實施問題3：

法向量的48ll法向量法關(guān)鍵：觀察二面角的范圍注意法向量的方向：同進同出，二面角等于法向量夾角的補角；一進一出，二面角等于法向量夾角第21頁/共28頁ll法向量法關(guān)鍵：觀察二面角的范圍注意法向量的方向：同進同出493實踐操作四、教學過程的設(shè)計與實施總結(jié)出利用法向量求二面角大小的一般步驟：1）建立坐標系，寫出點與向量的坐標；2）求出平面的法向量，進行向量運算求出法向量的

夾角；3）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或

鈍角，得出問題的結(jié)果．第22頁/共28頁3實踐操作四、教學過程的設(shè)計與實施總結(jié)出利用法向量求二面角大50小結(jié)注意：(1)用法向量法求二面角時，注意結(jié)合圖形確定二面角是鈍二面角還有銳二面角（或利用“同進同出，二面角等于法向量的夾角的補角，一進一出，二面角等于法向量的夾角”）(2)用方向向量法求二面角時，應(yīng)先在二面角的二個半平面內(nèi)分別找（或作）出與棱垂直的兩直線，再利用直線方向向量計算；(3)保證計算過程的準確性，一失足，千古恨．第23頁/共28頁小結(jié)注意：第23頁/共28頁51課堂訓練與檢測：如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且

OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS與面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS