數(shù)學(xué)乘法公式學(xué)習(xí)課件

15.3乘法公式課標(biāo)要求會推導(dǎo)乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2；(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，了解公式的幾何背景，并能進行簡單計算．15.3乘法公式1公式結(jié)構(gòu)特點：①左邊：兩個二項式a+b與a–b相乘，其中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).右邊：相同項的平方減去相反項的平方.平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2.即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.會推導(dǎo)：(a+b)(a–b)=a2?ab+ba?b2=a2–b2.②a，b既可以代表數(shù)、字母，也可以代表單項式、多項式.公式結(jié)構(gòu)特點：平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b22例計算(3a2–2b)(3a2+2b)；(–3a2+2b)(3a2+2b)；(6a–2b)(9a+3b)；(4)(a2b–ab2)(a2b+ab2).=(3a2)2-(2b)2=(2b–3a2)(2b+3a2)=(3a2)2-(2b)2=2(3a–b)·3(3a+b)=6(3a–b)·(3a+b)=6[(3a)2-b2]=6(9a2-b2)=54a2-6b2=(a2b)2-(ab2)2=a4b2-a2b4例計算=(3a2)2-(2b)2=(2b–3a2)(2b+3完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a–b)2=a2–2ab+b2.即兩數(shù)和(或差)的平方,等于它們的平方和,加(或減)它們的積的2倍.會推導(dǎo)：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.(a?b)2=(a?b)(a–b)=a2–ab–ba+b2=a2–2ab+b2.幾何解釋公式結(jié)構(gòu)特點①左邊都是一個二項式的完全平方；右邊都是二次三項式．②公式中a，b既可以代表數(shù)、字母，也可以代表單項式、多項式.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a–b)4③熟悉完全平方公式的幾種常見變形：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a?b)2=a2–2ab+b2.(a+b)2+(a–b)2=2a2+2b2,(a+b)2–(a–b)2=4ab.a2+b2=(a+b)2–2ab,a2+b2=(a–b)2+2ab.(a+b)2=(a–b)2+4ab，(a–b)2=(a+b)2–4ab.③熟悉完全平方公式的幾種常見變形：(a+b)2+(a–b)25④把握乘法公式中的平方差公式((a+b)(a–b)=a2–b2，完全平方公式(ab)2=a22ab+b2與單項式乘以多項式a(b+c)=ab+ac，多項式乘以多項式((a+b)(m+n)=am+an+bm+bn之間的關(guān)系，是一般與特殊之間的關(guān)系.作多項式乘法時，先思考能否用乘法公式，假如能夠運用乘法公式，那么要率先運用乘法公式；假如不具備運用乘法公式的條件，要能夠正確、快速地運用多項式乘法法則a(b+c)=ab+ac，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．④把握乘法公式中的平方差公式((a+b)(a–b)=a2–6計算計算7計算或化簡(1)(?2m+5n)(2m?5n)；(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)(4)(a+b?c)2解：(1)(?2m+5n)(2m?5n)=?(2m?5n)(2m?5n)=?(2m?5n)2=?(4m2?20mn+25n2)=?4m2+20mn?25n2.計算或化簡解：(1)(?2m+5n)(2m?5n)=?8計算或化簡(1)(?2m+5n)(2m?5n)；(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)(4)(a+b?c)2(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c)=a+(3b?2c)

a?(3b?2c)

=a2?(3b?2c)2=a2?(9b2?12bc+4c2)=a2?9b2?4c2+12bc.計算或化簡(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c)=9(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)計算或化簡(1)(?2m+5n)(2m?5n)；(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)(4)(a+b?c)2=?(m+n)(m?n)(m2+n2)(m4+n4)=?(m2?n2)(m2+n2)(m4+n4)=?(m4?n4)(m4+n4)=?(m8?n8)=n8?m8.(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)計10計算或化簡(1)(?2m+5n)(2m?5n)；(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)(4)(a+b?c)2(4)(a+b?c)2=(a+b)?c

2=(a+b)2?2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2?2ac?2bc+c2=a2+b2+c2+2ab?2ac?2bc.評述：使用乘法公式一定注意公式的結(jié)構(gòu)，公式(a+b)(a–b),(ab)2中的a、b既可以是數(shù)，也可以是式；既可以是單項式，也可以是多項式．當(dāng)a或b是多項式時，需要分組變形，是指將因式中的項分組結(jié)合起來，作為一個整體來考慮的變形．計算或化簡(4)(a+b?c)2=(a+b)?c211應(yīng)用乘法公式進行計算：(1)20062008?20072；(2)(1)解法1：20062008?20072=(2007?1)(2007+1)?20072=(20072?1)?20072=–1.解法2：20062008?20072=2006(2006+2)?(2006+1)2=(20062+22006)?(20062+220061+12)=–1.應(yīng)用乘法公式進行計算：(1)解法1：20062008?2012數(shù)學(xué)乘法公式學(xué)習(xí)課件13數(shù)學(xué)乘法公式學(xué)習(xí)課件14若36a2–mab+9b2是完全平方式，求常數(shù)m.解：由于36a2–mab+9b2是完全平方式，則36a2–mab+9b2=(6a)2–mab+(3b)2所以m=36.評述：兩個多項式相等，項數(shù)相同，對應(yīng)項的次數(shù)及系數(shù)相同．乘法公式是恒等式，既要從左到右，又要從右到左．=(6a–3b)2=36a2–36ab+9b2,若36a2–mab+9b2是完全平方式，求常數(shù)m.解：由于315已知：m為不等于0的數(shù)，且

，求代數(shù)式

的值．評述：分析已知與所求的關(guān)系，選擇公式，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，這里把某些代數(shù)式看成整體是很重要的．分析：觀察

與

的關(guān)系．解：已知：m為不等于0的數(shù)，且16已知：x2+xy=12,xy+y2=15,求(x+y)2－(x+y)(x–y)的值．分析：觀察已知x2+xy=12,xy+y2=15．

若兩式相加得(x+y)2,兩式相減得x2–y2．解：由已知得x2+2xy+y2=27,x2–y2=?3.于是(x+y)2－(x+y)(x–y)=(x2+2xy+y2)–(x2–y2)=27–(–3)=30.評述：等式的性質(zhì)在解決這道題起了關(guān)鍵的作用．已知：x2+xy=12,xy+y2=15,求(x+y)2－(17證明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2證明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2.評述：證明恒等式，可以由左證明出右，也可以由右證明出左，還可以從兩步同時變形．=(a+b)2+(b2+2bc+c2)+(a2+2ac+c2)=(a+b)+c2+a2+b2+c2證明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b18有兩個正方形，它們的邊長之和為20cm，面積之差為40cm2.求這兩個正方形的面積.解：設(shè)這兩個正方形的邊長分別為a

cm和b

cm(ab)，依題意有：所以這兩個正方形的面積分別為121cm2,81cm2.評述：本題依據(jù)題設(shè)條件，建立二元一次方程組．解題過程運用乘法公式，縮短解答過程．有兩個正方形，它們的邊長之和為20cm，面積之差為40c19(1)已知x2+y2?6x+10y+34=0，則x+y=

；(2)已知ax+by=3,ay?bx=5，則(a2+b2)(x2+y2)的值為

.分析(1)已知與(ax+by)2的展開式結(jié)構(gòu)不同，猜想它一定是(x+a)2+(y+b)2的結(jié)構(gòu)；解：由已知x2+y2?6x+10y+34=0得(x2?6x+9)+(y2+10y+25)=(x?3)2+(y+5)2=0，則x=3，y=?5,故x+y=?2.(2)分析所求，(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2與已知式的平方有關(guān)．解：由已知得(ax+by)2+(ay?bx)2=(a2x2+2abxy+b2y2)+(a2y2?2abxy+b2x2)=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=9+25=34,則(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=34.(1)已知x2+y2?6x+10y+34=0，則x+y=20評述：乘法公式是等式，等式兩邊只有左右之分．無論從左到右，還是從右到左，都應(yīng)熟練掌握，這才算掌握公式．不過從右到左，就是常說的逆用公式，比較困難，更需要認真對待．(1)已知x2+y2?6x+10y+34=0，則x+y=

；(2)已知ax+by=3,ay?bx=5，則(a2+b2)(x2+y2)的值為

.評述：乘法公式是等式，等式兩邊只有左右之分．無論從左到右，還21已知a=?109,b=108,c=?107，求a2+b2+c2+ab+bc?ac的值.解：評述：創(chuàng)造條件使用公式可以幫助提高分析問題與解決問題的能力．已知a=?109,b=108,c=?107，解：22(1)計算(a+b)3和(a–b)3(2)已知a3+b3=9,a+b=3,求ab的值.解：(1)(a+b)3=(a+b)(a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.同理(a–b)3=a3–3a2b+3ab2–b3.=a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)(1)計算(a+b)3和(a–b)3解：(1)(a+b)23(2)解：

∵a+b=3,∴(a+b)3=27,(1)計算(a+b)3和(a–b)3(2)已知a3+b3=9,a+b=3,求ab的值.即a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)=27,∴9+3ab3=27,∴ab=2.評述：掌握了平方差和完全平方公式后,注意對公式進行推廣,這樣既深化了所學(xué)知識,又能為解題帶來很大方便.(2)解：∵a+b=3,∴(a+b)3=27,(1)計24似是而非，亂套公式計算：錯解：原式=錯因分析：受題目“形”的迷惑，沒有認真觀察題目，而是生搬硬套公式,把

當(dāng)作

．實際上此題不具平方差公式的特征,不能運用公式,只能按多項式乘法法則進行計算．似是而非，亂套公式計算：錯解：原式=錯因分析：受題目“形”25計算：(x+y)(y?x)錯解：原式=x2?y2．錯因分析：出錯原因在于未將原式“變形”,顧頭不顧尾的生搬硬套公式．計算：(x+y)(y?x)錯解：原式=x2?y2．錯因分26計算：忽略括號,導(dǎo)致運算錯誤錯解：原式=錯因分析：運用乘法公式時,每個因式中項的系數(shù)也應(yīng)代入進行計算,錯解忽略了系數(shù)而致計算出錯．計算：忽略括號,導(dǎo)致運算錯誤錯解：原式=錯因分析：運用乘27式子結(jié)構(gòu)認識不清導(dǎo)致的錯誤例

計算：(x?y+z)(x+y?z)錯解：原式=[(x?y)+z][(x+y)?z]=(x?y)(x+y)?z2=x2?y2?z2錯因分析：分組錯誤，平方差公式要求兩個乘積的二項式中，一項完全相同，一項只是符號相反．x?y與x+y不同，不能使用平方差公式．式子結(jié)構(gòu)認識不清導(dǎo)致的錯誤錯解：原式=[(x?y)+z][2815.3乘法公式課標(biāo)要求會推導(dǎo)乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2；(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，了解公式的幾何背景，并能進行簡單計算．15.3乘法公式29公式結(jié)構(gòu)特點：①左邊：兩個二項式a+b與a–b相乘，其中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).右邊：相同項的平方減去相反項的平方.平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2.即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.會推導(dǎo)：(a+b)(a–b)=a2?ab+ba?b2=a2–b2.②a，b既可以代表數(shù)、字母，也可以代表單項式、多項式.公式結(jié)構(gòu)特點：平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b230例計算(3a2–2b)(3a2+2b)；(–3a2+2b)(3a2+2b)；(6a–2b)(9a+3b)；(4)(a2b–ab2)(a2b+ab2).=(3a2)2-(2b)2=(2b–3a2)(2b+3a2)=(3a2)2-(2b)2=2(3a–b)·3(3a+b)=6(3a–b)·(3a+b)=6[(3a)2-b2]=6(9a2-b2)=54a2-6b2=(a2b)2-(ab2)2=a4b2-a2b4例計算=(3a2)2-(2b)2=(2b–3a2)(2b+31完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a–b)2=a2–2ab+b2.即兩數(shù)和(或差)的平方,等于它們的平方和,加(或減)它們的積的2倍.會推導(dǎo)：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.(a?b)2=(a?b)(a–b)=a2–ab–ba+b2=a2–2ab+b2.幾何解釋公式結(jié)構(gòu)特點①左邊都是一個二項式的完全平方；右邊都是二次三項式．②公式中a，b既可以代表數(shù)、字母，也可以代表單項式、多項式.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a–b)32③熟悉完全平方公式的幾種常見變形：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a?b)2=a2–2ab+b2.(a+b)2+(a–b)2=2a2+2b2,(a+b)2–(a–b)2=4ab.a2+b2=(a+b)2–2ab,a2+b2=(a–b)2+2ab.(a+b)2=(a–b)2+4ab，(a–b)2=(a+b)2–4ab.③熟悉完全平方公式的幾種常見變形：(a+b)2+(a–b)233④把握乘法公式中的平方差公式((a+b)(a–b)=a2–b2，完全平方公式(ab)2=a22ab+b2與單項式乘以多項式a(b+c)=ab+ac，多項式乘以多項式((a+b)(m+n)=am+an+bm+bn之間的關(guān)系，是一般與特殊之間的關(guān)系.作多項式乘法時，先思考能否用乘法公式，假如能夠運用乘法公式，那么要率先運用乘法公式；假如不具備運用乘法公式的條件，要能夠正確、快速地運用多項式乘法法則a(b+c)=ab+ac，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．④把握乘法公式中的平方差公式((a+b)(a–b)=a2–34計算計算35計算或化簡(1)(?2m+5n)(2m?5n)；(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)(4)(a+b?c)2解：(1)(?2m+5n)(2m?5n)=?(2m?5n)(2m?5n)=?(2m?5n)2=?(4m2?20mn+25n2)=?4m2+20mn?25n2.計算或化簡解：(1)(?2m+5n)(2m?5n)=?36計算或化簡(1)(?2m+5n)(2m?5n)；(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)(4)(a+b?c)2(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c)=a+(3b?2c)

a?(3b?2c)

=a2?(3b?2c)2=a2?(9b2?12bc+4c2)=a2?9b2?4c2+12bc.計算或化簡(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c)=37(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)計算或化簡(1)(?2m+5n)(2m?5n)；(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)(4)(a+b?c)2=?(m+n)(m?n)(m2+n2)(m4+n4)=?(m2?n2)(m2+n2)(m4+n4)=?(m4?n4)(m4+n4)=?(m8?n8)=n8?m8.(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)計38計算或化簡(1)(?2m+5n)(2m?5n)；(2)(a+3b?2c)(a?3b+2c).(3)(m+n)(n2+m2)(?n4?m4)(?n+m)(4)(a+b?c)2(4)(a+b?c)2=(a+b)?c

2=(a+b)2?2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2?2ac?2bc+c2=a2+b2+c2+2ab?2ac?2bc.評述：使用乘法公式一定注意公式的結(jié)構(gòu)，公式(a+b)(a–b),(ab)2中的a、b既可以是數(shù)，也可以是式；既可以是單項式，也可以是多項式．當(dāng)a或b是多項式時，需要分組變形，是指將因式中的項分組結(jié)合起來，作為一個整體來考慮的變形．計算或化簡(4)(a+b?c)2=(a+b)?c239應(yīng)用乘法公式進行計算：(1)20062008?20072；(2)(1)解法1：20062008?20072=(2007?1)(2007+1)?20072=(20072?1)?20072=–1.解法2：20062008?20072=2006(2006+2)?(2006+1)2=(20062+22006)?(20062+220061+12)=–1.應(yīng)用乘法公式進行計算：(1)解法1：20062008?2040數(shù)學(xué)乘法公式學(xué)習(xí)課件41數(shù)學(xué)乘法公式學(xué)習(xí)課件42若36a2–mab+9b2是完全平方式，求常數(shù)m.解：由于36a2–mab+9b2是完全平方式，則36a2–mab+9b2=(6a)2–mab+(3b)2所以m=36.評述：兩個多項式相等，項數(shù)相同，對應(yīng)項的次數(shù)及系數(shù)相同．乘法公式是恒等式，既要從左到右，又要從右到左．=(6a–3b)2=36a2–36ab+9b2,若36a2–mab+9b2是完全平方式，求常數(shù)m.解：由于343已知：m為不等于0的數(shù)，且

，求代數(shù)式

的值．評述：分析已知與所求的關(guān)系，選擇公式，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，這里把某些代數(shù)式看成整體是很重要的．分析：觀察

與

的關(guān)系．解：已知：m為不等于0的數(shù)，且44已知：x2+xy=12,xy+y2=15,求(x+y)2－(x+y)(x–y)的值．分析：觀察已知x2+xy=12,xy+y2=15．

若兩式相加得(x+y)2,兩式相減得x2–y2．解：由已知得x2+2xy+y2=27,x2–y2=?3.于是(x+y)2－(x+y)(x–y)=(x2+2xy+y2)–(x2–y2)=27–(–3)=30.評述：等式的性質(zhì)在解決這道題起了關(guān)鍵的作用．已知：x2+xy=12,xy+y2=15,求(x+y)2－(45證明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2證明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2.評述：證明恒等式，可以由左證明出右，也可以由右證明出左，還可以從兩步同時變形．=(a+b)2+(b2+2bc+c2)+(a2+2ac+c2)=(a+b)+c2+a2+b2+c2證明：(a+b+c)2+a2+b2+c2=(a+b)2+(b46有兩個正方形，它們的邊長之和為20cm，面積之差為40cm2.求這兩個正方形的面積.解：設(shè)這兩個正方形的邊長分別為a

cm和b

cm(ab)，依題意有：所以這兩個正方形的面積分別為121cm2,81cm2.評述：本題依據(jù)題設(shè)條件，建立二元一次方程組．解題過程運用乘法公式，縮短解答過程．有兩個正方形，它們的邊長之和為20cm，面積之差為40c47(1)已知x2+y2?6x+10y+34=0，則x+y=

；(2)已知ax+by=3,ay?bx=5，則(a2+b2)(x2+y2)的值為

.分析(1)已知與(ax+by)2的展開式結(jié)構(gòu)不同，猜想它一定是(x+a)2+(y+b)2的結(jié)構(gòu)；解：由已知x2+y2?6x+10y+34=0得(x2?6x+9)+(y2+10y+25)=(x?3)2+(y+5)2=0，則x=3，y=?5,故x+y=?2.(2)分析所求，(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2與已知式的平方有關(guān)．解：由已知得(ax+by)2+(ay?bx)2=(a2x2+2abxy+b2y2)+(a2y2?2abxy+b2x2)=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=9+25=34,則(a2+b2)(x2+y2)=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=34.(1)已知x2+y2?6x+10y+34=0，則x+y=48評述：乘法公式是等式，等式兩邊只有左右之分．無論從左到右，還是從右到左，都應(yīng)熟練掌握，這才算掌握公式．不過從右到左，就是常說的逆用公式，比較困難，更需要認真對待．(1)已知x2+y2?6x+10y+34=0，則x+y=

；(2)已知ax+by=3,ay?bx=5，則(a2+b2)(x