數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用

數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用特殊數(shù)列的求和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：s=n^±a)=na+n^F^d.n212⑵等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：<nai，q=1,Sn=|l=a1,q/1.〔1—q1—q數(shù)列求和的幾種常用方法分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列n的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果后一個(gè)量比前一個(gè)量增加(或減少)的是同一個(gè)固定值，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差.等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是同一個(gè)固定的非零常數(shù)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比.遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，應(yīng)考慮氣與an+】(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系，或者sn與sn+1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系.【微點(diǎn)提醒】n(n+1)1.1+2+3+4+???+n=-—乙,,,n(n+1)(2n+1)2.12+22n2=

裂項(xiàng)求和常用的三種變形(1)/1、=Ln(n+1)nn+1(2)——=M-^—I(2n—1)(2n+1)2(2n—12n+1}⑶血+和=切"眼【疑誤辨析】判斷下列結(jié)論正誤（在括號內(nèi)打""”或“X”）⑴若數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，且公比不等于1,則其前n項(xiàng)和$=亍4.（）nn1一q/r)\業(yè)-ACtM-11/11\⑵當(dāng)nN2時(shí)，n2—1=2(n—1—n+1).()⑶求Sn=a+2a2+3a3+???+nan時(shí)只要把上式等號兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.（）（4）若數(shù)列氣，氣一氣，…，an—an—1是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列｛氣｝的通項(xiàng)公式是氣=3n—1FL)乙TOC\o"1-5"\h\z（必修5P47B4改編）數(shù)列｛a｝中，a=\，若｛a｝的前n項(xiàng)和為^州，則項(xiàng)數(shù)n^（）nnn（n+1）n2020A.2018B.2019C.2020D.2021（必修5P56例1改編）等比數(shù)列｛aj中，若a1=27，氣=志，q>0，Sn是其前n項(xiàng)和，則S6=（2018?東北三省四校二模）已知數(shù)列何｝滿足an+1—an=2，a1=—5，則〔aj+laj|a6|=（）A.9B.15C.18D.30（2019?北京朝陽區(qū)質(zhì)檢）已知數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項(xiàng)和分別為S，T，b—a=2n+1，且S+T=2n+1+nnnnnnnnn2—2，則2Tn=(2019?河北“五個(gè)一”名校質(zhì)檢)若f(x)+f(1—x)=4，an=f(0)+f(n)ff^n^j+f(1)(n^N*)，則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為n

考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和【例1】(2019?濟(jì)南質(zhì)檢)已知在等比數(shù)列｛氣｝中，氣=1,且氣，氣，氣一1成等差數(shù)列.A.9B.15C.18D.30(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵若數(shù)列化｝滿足bn=2n—1+an(nEN*)，數(shù)列｛?｝的前n項(xiàng)和為S”，試比較Sn與w+2n的大小.【規(guī)律方法】1.若數(shù)列｛cn｝的通項(xiàng)公式為匕=氣土bn，且｛氣｝,｛穌｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和.n若數(shù)列｛c｝的通項(xiàng)公式為c=「n，°為奇數(shù)，其中數(shù)列｛a｝，｛b｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求nn[bn，n為偶數(shù)，nn和法求｛a｝的前n項(xiàng)和.n【訓(xùn)練1】已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，弓+弓=*(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵令bn=(—1)n-1an，求數(shù)列｛bj的前2n項(xiàng)和匚考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和【例2】【例2】(2019?鄭州模擬)已知數(shù)列｛氣｝的前n項(xiàng)和為?a且亍8,Sn=T—n—1.(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n「2X3n〕，，、，一…⑵求數(shù)列]a^F勺刖n項(xiàng)和Tn.Inn+P【訓(xùn)練2】設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知％=氣，氣一2氣=3.⑴求an；(2)設(shè)b=1，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.n考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和【例3】已知｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且氣+氣=6,氣氣=氣.(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n，一，fb〕，，、，一⑵｛bj為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S2n+i=bnbn+i，求數(shù)列］*的前n項(xiàng)和Tn.n【訓(xùn)練3】已知等差數(shù)列｛氣｝滿足：an+i〉an(nEN*),氣=1，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1,1,3后成等比數(shù)列，a+2log2b=—1.(1)分別求數(shù)列｛a｝，｛b｝的通項(xiàng)公式；nn⑵求數(shù)列｛氣?穌｝的前n項(xiàng)和Tn.考點(diǎn)四數(shù)列的綜合應(yīng)用【例4】某同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場勤工儉學(xué).該商場向他提供了三種付酬方案：第一種，每天支付38元；第二種，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此類推；第三種，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他應(yīng)該選擇哪種方式領(lǐng)取報(bào)酬呢？【訓(xùn)練4】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=6x—2,數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和n為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(nEN*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n3⑵設(shè)穌=房廠，試求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.nn+1【基礎(chǔ)鞏固題組】（建議用時(shí)：40分鐘）一、選擇題（2017?全國m卷）等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若氣，氣，氣成等比數(shù)列，^隊(duì)氣｝前6項(xiàng)的和為（）TOC\o"1-5"\h\zA.-24B.-3C.3D.8數(shù)列｛a^｝的通項(xiàng)公式為an=（—1）n-i?（4n—3）,則它的前100項(xiàng)之和S100等于（）A.200B.-200C.400D.-400數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是氣=而*^1，前n項(xiàng)和為9,則n等于（）A.9B.99C.10D.100，|^+1〕（2019?德州倜研）已知Tn為數(shù)列］—2廠［的刖n項(xiàng)和，若m>T10+1013恒成立，則整數(shù)m的最小值為（）A.1026B.1025C.1024D.1023（2019?廈門質(zhì)檢）已知數(shù)列｛a｝滿足a++（—1）n+1a=2,則其前100項(xiàng)和為（）5"已知正項(xiàng)數(shù)列｛a｝滿足a2—6a2=aa.若a=2,則數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=.nn+1nn+1n1nn（2019?武漢質(zhì)檢）設(shè)數(shù)列｛（n2+n）a｝是等比數(shù)列，且a=1,a=￡■，則數(shù)列｛3na｝的前15項(xiàng)和為n16254n某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示，從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，m的值為.三、解答題+X)(x"9.求和Sn="x+X]+"x2+X]++"n設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2,an+1=2+Sn(nGN*).+X)(x"(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵設(shè)bn=1+log2(an)2,求證：數(shù)列］訂、］的前n項(xiàng)和Tn<|.Inn+P【能力提升題組】(建議用時(shí)：20分鐘)(2019?廣州模擬)已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a—aN2(nEN*),且S為｛a｝的前n項(xiàng)和，則()n1n+1nnnA.anN2n+1B.Sn^n2C.an^2n—1D.Sn^2n—1某廠2019年投資和利潤逐月增加，投入資金逐月增長的百分率相同，利潤逐月增加值相同.已知1月份的投資額與利潤值相等，12月份投資額與利潤值相等，則全年的總利潤3與總投資N的大小關(guān)系是()A.3〉NB.3<NC.3=ND.不確定已知數(shù)列｛an｝中，an=—4n+5,等比數(shù)列化｝的公比q滿足q=an—an_1(nN2)且?=&2，則|?|+也|+|b||b|=.3n(2019?濰坊調(diào)研)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=5，nSn+1—(n+1)Sn=n2+n.CS1(1)求證：數(shù)列］m|為等差數(shù)列；

⑵令bn=2nan，求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和［.Sn，（多填題）已知公差不為零的等差數(shù)列｛a｝中，a=1,且a,a，a成等比數(shù)列，｛a｝的前n項(xiàng)和為n12514nbn=（—1）nSn，則an=，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn=.Sn，1.判斷下列結(jié)論正誤（在括號內(nèi)打"""或“X"）⑴若數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和S=^—e.（）nn1—q/r)\業(yè)?qrt-J-11/11、⑵當(dāng)U2時(shí)，n2—1=2(n—1—n+1)?()⑶求Sn=a+2a2+3a3+???+nw時(shí)只要把上式等號兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.（）⑷若數(shù)列a1，⑷若數(shù)列a1，a2—a1，an—an—1是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列｛氣｝的通項(xiàng)公式是a=n3n—12.(【答案】(1)”(2)”⑶X(4)”【答案】(1)”(2)”⑶X(4)”【解析】⑶要分a=0或a=1或a/0且a/1討論求解.【教材衍化】..120192.(必修5P47B4改編)數(shù)列｛a｝中，a=，若｛a｝的前n項(xiàng)和為，則項(xiàng)數(shù)n^()nnn(n+1)n2020A.2018B.2019C.2020D.2021【答案】B【解析】a==L^^，【解析】nn(n+1)nn+1o1,11,111n2019八Sn=1—2+2—3+…+打—而=1—而=雨=玉，所以n=2019.（必修5P56例1改編）等比數(shù)列｛an｝中，若a1=27，氣=志，q>0，Sn是其前n項(xiàng)和，則S6=【答案】【解析】364V【答案】【解析】le1〃1er由氣=27,a9=243知，243=27?見,

27又由q>0,解得q=:，所以S=—36"I]1⑴」3641=丁1-3【真題體驗(yàn)】氣=一5,則|氣|+|氣||a6|=()A.9B.15C.18D.30(2018?東北三省四校二模)已知數(shù)列｛an｝滿足an+i-an=2【答案】C【解析】由題意知｛an｝是以2為公差的等差數(shù)列，又a1"I]1⑴」3641=丁1-3氣=一5,則|氣|+|氣||a6|=()A.9B.15C.18D.30(2019?北京朝陽區(qū)質(zhì)檢)已知數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項(xiàng)和分別為S,T,b—a=2n+1,且S+T=2土+nnnnnnnnn2—2,則2Tn=.【答案】2n+2+n(n+1)—4[解析】由題意知Tn—Sn=b1—a1+b2—a2+bn—an=n+2n+1—2,又S+T=2n+1+n2—2,所以2T=T—S+S+T=2n+2+n(n+1)—4.(2019?河北“五個(gè)一”名校質(zhì)檢)若f(x)+f(1—x)=4,an=f(0)+fRj｛勺^+三(1)(nEN*),則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為.n【答案】an=2(n+1)【解析】由f(x)+f(1—x)=4，可得f(0)+f(1)=4，…，f^j+f(n_n^)=4,所以2an=[f(0)+f(1)]+[f(n)+f(n~n^)+[f(1)+f(0)]=4(n+1)，即an=2(n+1).【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和【例1】(2019?濟(jì)南質(zhì)檢)已知在等比數(shù)列｛氣｝中，a1=1,且％,氣，氣一1成等差數(shù)列.求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵若數(shù)列｛bn｝滿足bn=2n—1+an(nGN*)，數(shù)列｛穌｝的前n項(xiàng)和為Sn，試比較Sn與w+2n的大小.【答案】見解析【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為q,n*/a1，a2,a3—1成等差數(shù)列，a-..2a=a+(a—1)=a,..q=T=2,2/.an=a1qn—1=2n—1(nGN*).(2)由(1)知b=2n—1+a=2n—1+2n-1,nn/.S=(1+1)+(3+2)+(5+22)T卜(2n—1+2n-i)=[1+3+5——(2n—1)]+(1+2+22——2n—i)1+(2n—1),1—2n,

ca31=81^22—2=2,TOC\o"1-5"\h\za(a當(dāng)nN2時(shí)，a=S—S=^+1—n—1—h?—nnnn—12\2,即an+1=3an+2,又a2=8=3a1+2,/.an+i=3an+2,nEN*,.'.a+1=3(a+1),n+1n數(shù)列｛氣+1｝是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a1+1=3,公比為3,.'.a+1=3X3n-1=3n,.'.a=3n—1.(2X3n2X3n12(2X3n2X3n12?aa+1(3n—1)(3n+1—1)3n—13n+1—1"「2X31數(shù)列'的前n項(xiàng)和"JT_|L)JLUJ1Tn="3—1—32—j+"32—1—33—j+~+?,—?3—13n+1—11==—3n+1－1【規(guī)律方法】1?利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.【訓(xùn)練2】設(shè)品為等差數(shù)列（an｝的前n項(xiàng)和，已知83=氣，氣一2氣=3.⑴求a；n⑵設(shè)b=?，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.n【答案】見解析【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d，n「3a+3d=a+6d,由題意得，11(a1+7d)—2(a1+2d)=3解得氣=3，d=2,.an=a1+(n—1)d=2n由題意得，由(1)得Sn=na1+n('1)d=n(n+2),.??b=^^Wnn(n+2)2\nn+2/.?.T=b+b+b+bn12n—1n

+...+"—)2lA13j+l24)++kn—1n+1J+\nn+2j.S1—2l2n+1n+23—T+442頃+1n+2j，考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和【例3】已知｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且氣+氣=6,氣氣=氣.(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n一，fb〕，，、，一一⑵叩為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求數(shù)列惜的前n項(xiàng)和Tn.n【答案】見解析【解析】(1)設(shè)｛a｝的公比為q，n由題意知色(1+q)=6，a2q=aq2，11又an>0，由題意知「氣=2,所以a=2n.q=2，n(2)由題意知：S工2n+1(2n+1)(b+b)/,、i

*^=(2n+1)b，n+1(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“(2)由題意知：S工2n+1又S2n+1=bnbn+1，bn+1^0所以bn=2n+1.人b?令cn=an，則匕n2n+12n，因此又S2n+1=bnbn+1，bn+1^0所以bn=2n+1.人b?令cn=an，則匕n2n+12n，因此Tn=c1+c2+cn3/注工_^2n—1=一+—+—+222232n-1+2n2n+1，。1丁3工5工7工2n—12n+1又認(rèn)=弟+代+五+?.?+十+=，2n2n+1兩式相減得1T=|+[|+1+-+1；J—芋1，2n22222n12n+12n+5所以Tn=5——2^.【規(guī)律方法】1.一般地，如果數(shù)列｛氣｝是等差數(shù)列，｛bn｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛氣?外｝的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法.2.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：⑴要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形(1)分別求數(shù)列｛a｝,｛b｝的通項(xiàng)公式；nn⑵求數(shù)列｛氣?穌｝的前n項(xiàng)和Tn.【答案】見解析【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,則d>0,n由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d分別加上1,1,3后成等比數(shù)列，得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2(舍負(fù))，所以an=1+(n—1)X2=2n—1.又因?yàn)閍n+2log2bn=—1,所以log2bn=—n,則穌=土.⑵由⑴知an?bn=(2n—1)?^,2n,則T=1+；+；+“?+22n,n212223與^+直+馬…+^,2n2223242n+1,由①一②，得1m1,(1,1,1,112n—12n+1,2n2Tn=2+2X板+云+五+…+刃―,」，、、0.4(1—2n)第三種萬案a=0.4X2n-i,S=2n+1,2nn(3)n(3)1一2令S,、NS,、，即38nN2n2+2n，解得nW18，即小于或等于18天時(shí)，第一種方案比第二種方案報(bào)酬高(18n(1)n(2)天時(shí)一樣高).令SNS，即38nN0.4X(2n—1),n(1)n(3)利用計(jì)算器計(jì)算得小于或等于9天時(shí)，第一種方案報(bào)酬高，所以少于10天時(shí)，選擇第一種方案.比較第二第三種方案，S10(2)=220，S10(3)=409.2,S10(3)>S10(2)，…，Sn(3)>Sn(2).所以等于或多于10天時(shí)，選擇第三種方案.【規(guī)律方法】數(shù)列的綜合應(yīng)用常考查以下幾個(gè)方面：數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用；數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用；數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識，又要有良好的邏輯思維能力和分析、解決問題的能力.解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再結(jié)合其他相關(guān)知識來解決問題.【訓(xùn)練4】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=6x—2,數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和n為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nEN*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n3⑵設(shè)穌=兵廠，試求數(shù)列A｝的前n項(xiàng)和Tn.nn+1【答案】見解析【解析】⑴設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a/0)，則f'(x)=2ax+b.由于f'(x)=6x—2，得a=3，b=—2，所以f(x)=3x2—2x.又因?yàn)辄c(diǎn)(n，S)(nEN*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上，n所以S=3n2—2n.n當(dāng)nN2時(shí)，a=S—S=3n2—2n—[3(n—1)2—2(n—1)]=6n—5；nnn—1當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3X12—2X1=6X1—5，也適合上式，所以a=6n—5(nEN*).n331(2)由(1)得b=^=s~~=7naa+1(6n一5)[6(n+1)—5]2故T=1n22"-擊=料.口+iM+???+—l17j+<713j++l6n—56n+1)【反思與感悟】非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思想轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相消來完成；不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟審題一一仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.故T=1n22"-擊=料.建模一一將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求的是什么.求解一一求出該問題的數(shù)學(xué)解.還原一一將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中.【易錯(cuò)防范】直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時(shí)，應(yīng)對其公比是否為1進(jìn)行討論.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí)，要注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號.解等差數(shù)列、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，審題至關(guān)重要，深刻理解問題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列、等比數(shù)列問題，使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化，然后用等差數(shù)列、等比數(shù)列知識求解.【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題(2017?全國m卷)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2,氣，a&成等比數(shù)列，^U｛氣｝前6項(xiàng)的和為()A.—24B.—3C.3D.8【答案】A【解析】設(shè)｛氣｝的公差為d，根據(jù)題意得尸'?^,即(％+262=(%+6(%+56,解得d=—2,所以數(shù)列｛a｝的前6項(xiàng)和為S=6a+^5d=1X6+^5X(—2)=—24.n6122數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=(—1)n-1"(4n—3),則它的前100項(xiàng)之和、皿等于()A.200B.—200C.400D.—400【答案】B【解析】S100=(4X1—3)—(4X2—3)+(4X3—3)(4X100—3)=4X[(1—2)+(3—4)+——+(99—100)]=4X(—50)=—200.數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是氣=山+1^+，前n項(xiàng)和為9,則n等于()A.9B.99C.10D.100【答案】B【解析】因?yàn)閍n=0+1n+1=7n+1-而所以Sn=a1+a2+an=(的+1—")+(%-寸n_1)+(仍一*)+(也一寸)=的+1—1,令\.'n+1—1=9,得n=99.J2n+1](2019?德州倜研)已知Tn為數(shù)列j~[的刖n項(xiàng)和，若m>T10+1013恒成立，則整數(shù)m的最小值為()A.1026B.1025C.1024D.1023【答案】C..2n+1"1Y1【解析】I，2n=1+[j，^Tn=n+1—^，?.?T10+1013=11-樂+1013=1024一土,又m>T10+1013恒成立，整數(shù)m的最小值為1024.(2019?廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列｛an｝滿足an+1+(—1/1氣=2，則其前100項(xiàng)和為()A.250B.200C.150D.100【答案】D【解析】當(dāng)n=2k(kEN*)時(shí)，a2k+1—a2k=2,當(dāng)n=2k—1(kEN*)時(shí)，3瓜+3瓜—1=2,當(dāng)n=2k+1(kEN*)時(shí)，a+a=2,.'.a+a=4,a+a=0,.｛a｝的前100項(xiàng)和=(a+a)(a+a)+(a2k+22k+12k+12k—12k+22kn1/979/2

+aj——(氣8+氣00)=25X4+25X0=100.二、填空題已知正項(xiàng)數(shù)列｛a｝滿足a2—6a2=aa.若a=2,則數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=.nn+1nn+1n1nn【答案】3n—1【解析】由an+1—6a2n=an+1an,得(an+1—3an)(an+1+2an)=0,又an>0，所以an+1=3an，又a1=2,所以｛an｝是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，切c2(1—3n)故S=1o=3n—1.n1—3(2019?武漢質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列｛(n2+n)a｝是等比數(shù)列，且a=*a=￡■，則數(shù)列｛3na｝的前15項(xiàng)和為n16254n【答案】1516【答案】1516.,一1一,11“，，1(1)n—1【解析】等比數(shù)列｛(n2+n)an｝的首項(xiàng)為2氣=§，第二項(xiàng)為6a2=g，故公比為3，所以(皿+或③式廠"，J=?，所以a='、，則3na=[A—-，其前n項(xiàng)和為1—YzV，n=15時(shí)，為1一土=￥.3"n3n(w+n)n皿+nnn+1n+11616某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示，從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，m的值為.【答案】9【解析】由于平均產(chǎn)量類似于圖形過P1(1，S1)，Pn(n，Sn)兩點(diǎn)直線的斜率，斜率大平均產(chǎn)量就高，由圖可知n=9時(shí)割線Pg斜率最大，則m的值為9.三、解答題(x/0).求和品="+3+"2+號+???+"+9【答案】見解析

【解析】當(dāng)x/±1時(shí)，S=(x+9+(x2+H+..?+(xn+H(x/0).n\xj\*2)\xnJ=卜+2+9+卜+2+"??+卜+2+土TOC\o"1-5"\h\z=(x2+x4x2n)+2n+(-x2n(x2—1)m當(dāng)x=±1時(shí)，Snx2n(x2—1)m當(dāng)x=±1時(shí)，Sn=4n.10.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2,an+1=2+Sn（nEN*）.（1）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵設(shè)bn=1+log2（an）2，求證：數(shù)列<—的前n項(xiàng)和Tn<|.nn+1【答案】見解析【解析】（1）解因?yàn)閍n+1=2+Sn（nEN*）,所以an=2+Sn—1（nN2）,所以an+1—an=Sn—Sn—1=an，所以an+1=2an（nN2）.又因?yàn)閍2=2+a]=4,a1=2,所以a2=2a1，所以數(shù)列｛a｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，n則a=2?2n-1=2n(nEN*).⑵證明因bn=1+log2(an)2，則bn=2n+1._1[1_則bnbn+1=2"2n+1—2n+3j所以T=^11—1+1—1++—1—一所以Tn2^35+57++2n+12n+31「1_1)1_112(3—2n+3尸6—2(2n+3)<6.【能力提升題組】（建議用時(shí)：20分鐘）x2nx2(x2n—1)x-2(1—x-2n)x2—11—x-2+2n（2019?廣州模擬）已知數(shù)列｛an｝滿足氣=1an+1—+2n（2019?廣州模擬）已知數(shù)列｛an｝滿足氣=1an+1—anN2（nEN*），且Sn為同｝的前n項(xiàng)和，則（B.SnNn2A.B.SnNn2C.anN2n-iD.Sn22n-1【答案】B【解析】由題意得a—aN2,a—aN2,a—aN2,…，a—aN2,213243nn—1.'.a—a+a—a+a—aa—aN2(n—1),213243nn—1/.a—ai^2(n—1),.a^2n—1,.2^1,a2^3,a3N5，…，anN2n—1,/.ai+a2+a3+aN1+3+52n—1,.s>n(1+2n—1)n2某廠2019年投資和利潤逐月增加，投入資金逐月增長的百分率相同，利潤逐月增加值相同.已知1月份的投資額與利潤值相等，12月份投資額與利潤值相等，則全年的總利潤3與總投資N的大小關(guān)系是()A.3>NB.3<NC.3=ND.不確定【答案】A【解析】投入資金逐月值構(gòu)成等比數(shù)列｛bj,利潤逐月值構(gòu)成等差數(shù)列｛氣｝,等比數(shù)列｛bn｝可以看成關(guān)于n的指數(shù)式函數(shù)，它是凹函數(shù)，等差數(shù)列｛aj可以看成關(guān)于n的一次式函數(shù).由于％=、，氣二^疽相當(dāng)于圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)間指數(shù)式函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方，所以全年的總利潤3=a1+a2+-+a12比總投資N=b1+b2+???+b12大，故選A.已知數(shù)列｛a｝中，a=—4n+5，等比數(shù)列｛b｝的公比q滿足q=a—a(nN2)且b=a，則|b|+|b|+nnnnn—11212|b||b|=.3n【答案】4n—1【解析】由已知得b1=a2=—3,q=—4,/.b=(—3)X(—4)nT,/.|b|=3X4n—1,即｛|b|｝是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，n3(14n)；.|b1|+|b2|+^+|bn|=3(!_；)=4n—1.(2019?濰坊調(diào)研)已知數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和為S”，a1=5,nSn+1—(n+1)Sn=n2+n.CS1(1)求證：數(shù)列］m］為等差數(shù)列；⑵令bn=2nan，求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和［.

【答案】見解析【解析】⑴證明由nSn+1—(n+1)Sn=n2+n得土|一j=1，SCS1又了=5，所以數(shù)列］n］是首項(xiàng)為5,公差為1的等差數(shù)列.S⑵解由(1)可知M=5+(n—1)=n+4,所以S=w+4n.n當(dāng)nN2時(shí)，a=S—S=n2+4n—(n—1)2—4(n—1)=2n+3.nnn—1又a1=5也符合上式，所以an=2n+3(nEN*),所以b=(2n+3)2n,n所以［=5X2+7X22+9X23——(2n+3)2n，①2T=5X22+7X23+9X24+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1，②n所以②一①得T=(2n+3)2n+1—10—(23+24——2n+1)n2323(2n+3)2n+1—10——(1—2n-1)1—2=(2n+3)2n+1—10—(2n+2—8)=(2n+1)2n+1—2.【新高考創(chuàng)新預(yù)測】bn=(—1)nSn，則a〔(多填題)已知公差不為零的等差數(shù)列｛a｝中，a=1，且a，a，a