樣本及抽樣分布課件

概率論的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念抽樣分布返回退出本章小結(jié)習(xí)題概率論的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念返回退出本章小結(jié)1數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體和樣本統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量和經(jīng)驗分布函數(shù)返回繼續(xù)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體和樣本返回繼續(xù)2

我們今后所討論的統(tǒng)計問題主要屬于下面這種類型：從一個集合中選取一部分元素，對這部分元素的某些數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行測量，根據(jù)測量獲得的這些數(shù)據(jù)來推斷這集合中全部元素的這些數(shù)量指標(biāo)的分布情況。在統(tǒng)計學(xué)中，我們把所研究的全部元素組成的集合稱為母體，或總體。而把組成母體的每個元素稱為個體，例如在研究某批燈泡的平均壽命時，該批燈泡的全體就組成了母體，而其中每個燈泡就是個體。但是在統(tǒng)計里，由于我們關(guān)心的不是每個個體的種種具體特性，而僅僅是它的某一項或某幾項數(shù)量指標(biāo)X和該數(shù)量指標(biāo)X在總體中的分布情況。在上述例子中X是表示燈泡的壽命，就此數(shù)量指標(biāo)X而言，每個個體所總體、個體、樣本、樣本容量、樣本值我們今后所討論的統(tǒng)計問題主要屬于下面這種類型3取的值是不同的。在試驗中，抽取了若干個個體就觀察到了x的這樣或那樣的數(shù)值，因而這個數(shù)量指標(biāo)X是一個隨機(jī)變量，而X的分布就完全描寫了總體中我們所關(guān)心的那個數(shù)量指標(biāo)的分布狀況。由于我們關(guān)心的正是這個數(shù)量指標(biāo)，因此我們以后就把總體和數(shù)量指標(biāo)X可能取值的全體組成的集合等同起來，所謂總體的分布也就是指數(shù)量指標(biāo)x的分布。為了對總體的分布律進(jìn)行各種研究，就必須對總體進(jìn)行抽樣觀察，一般說來，我們還不止進(jìn)行一次抽樣觀察，而是進(jìn)行幾次觀察。通過觀察就得到總體指標(biāo)X的一組數(shù)值(x1,x2,…,xn)，其中每個xi是一次抽樣觀察的結(jié)果。即某一個被觀察總體、個體、樣本、樣本容量、樣本值取的值是不同的。在試驗中，抽取了若干個個體就觀察到了x的這樣4的個體的X指標(biāo)值，(x1,x2,…,xn)稱為容量為n的樣本的觀察值。由于我們是利用樣本觀察來對總體的分布進(jìn)行推斷，因而從總體中抽取樣本進(jìn)行觀察時必須是隨機(jī)的。所以對于隨機(jī)抽樣來說，對其某一次觀察結(jié)果而論，是完全確定的一組值，但它又是隨每次抽樣觀察而改變的，由于我們要依據(jù)這一觀察結(jié)果進(jìn)行分析推斷，并研究比較各種推斷方法的好壞，因而一般考慮問題時，就不能把看為確定的數(shù)值，而應(yīng)該看作為隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xn)，稱它為容量是n的樣本，因而對樣本也有分布可言。總體、個體、樣本、樣本容量、樣本值的個體的X指標(biāo)值，(x1,x2,…,xn)稱為容量為n的5

我們抽取樣本的目的是為了對總體的分布律進(jìn)行各種分析推斷，因而要求抽取的樣本能很好地反映總體的特性，這就必須對隨機(jī)抽樣的方法提出一定的要求。通常提出下面兩點(diǎn)：①代表性：要求樣本的每個分量Xi與所觀察的總體X具有相同的分布F(x)；②獨(dú)立性：X1,X2,…,Xn為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，也就是說，每個觀察結(jié)果既不影響其他觀察結(jié)果，也不受其它觀察結(jié)果的影響。滿足上述兩點(diǎn)性質(zhì)的樣本稱為簡單隨機(jī)子樣。在今后如不作特殊聲明，所說的樣本將理解為簡單隨機(jī)樣本，對于簡單隨機(jī)樣本X=(X1,X2,…,Xn)，其分布可以由總體X的分布函數(shù)F(x)簡單隨機(jī)樣本我們抽取樣本的目的是為了對總體的分布律進(jìn)行各6（或概率密度f(x)）完全決定，X的分布函數(shù)為簡單隨機(jī)樣本（或概率密度f(x)）完全決定，X的分布函數(shù)為簡單隨機(jī)樣本7在數(shù)理統(tǒng)計中，研究對象的全體稱為總體；組成總體的每個元素稱為個體。從總體中抽取的一部分個體，稱為總體的一個樣本；樣本中個體的個數(shù)稱為樣本的容量。從分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)變量X中隨機(jī)地抽取的相互獨(dú)立的n個隨機(jī)變量，具有與總體相同的分布，則X1,X2,…,Xn稱為從總體X得到的容量為n的隨機(jī)樣本，簡稱樣本。一次具體的抽取記錄x1,x2,…,xn是隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的一個觀察值?？傮w與樣本在數(shù)理統(tǒng)計中，研究對象的全體稱為總體；組成總體的每個元素8例1A廠生產(chǎn)的某種電器的使用壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)為未知，為此抽查了n件電器，測量其實際壽命。是確定本問題的總體，樣本及樣本的分布。例1A廠生產(chǎn)的某種電器的使用壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)為未9

樣本是總體的代表和反映，但在我們抽取樣本之后，并不直接利用樣本進(jìn)行推斷，而需要對樣本進(jìn)行一番“加工”和“提煉”，把樣本所包含的關(guān)于我們所關(guān)心的事物的信息集中起來，這便是針對不同的問題構(gòu)造出樣本的某種函數(shù)，這種函數(shù)在統(tǒng)計學(xué)中稱為統(tǒng)計量。引進(jìn)統(tǒng)計量的目的是為了將雜亂無序的樣本值歸結(jié)為一個便于進(jìn)行統(tǒng)計推斷和研究分析的形式，集中樣本所含信息，使之更易揭示問題實質(zhì)，從而解決問題。統(tǒng)計量中應(yīng)該不含有未知參數(shù)，如果統(tǒng)計量中仍含有未知參數(shù)，就無法依靠樣本觀測值求出未知參數(shù)的估計值，因而失去利用統(tǒng)計量估計未知參數(shù)的意義，這是違背我們引進(jìn)統(tǒng)計量的初衷的。統(tǒng)計量概念的引入樣本是總體的代表和反映，但在我們抽取樣本之后10來自總體X的樣本X1,X2,…,Xn的函數(shù)g(X1,X2,…,Xn)，若是連續(xù)的且不含任何未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量來自總體X的樣本X1,X2,…,Xn的函數(shù)g(X1,11樣本及抽樣分布課件12常用的統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量13常用的統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量14常用統(tǒng)計量的性質(zhì)常用統(tǒng)計量的性質(zhì)15常用統(tǒng)計量的性質(zhì)常用統(tǒng)計量的性質(zhì)16定理1的證明定理1的證明17定理2的證明定理2的證明18定理2的證明定理2的證明19定理2的證明定理2的證明20定理3的證明定理3的證明21例2設(shè)有一容量n=8的樣本觀察值為(8,6,7,5,7,8,9,6)，求樣本均值及樣本方差的觀察值。例2設(shè)有一容量n=8的樣本觀察值為(8,6,7,5,7,22例3已知某種紗的強(qiáng)力服從N(1.56,0.222)（單位：千克）今抽取容量為n=50的樣本，求樣本均值小于1.45千克的概率。例3已知某種紗的強(qiáng)力服從N(1.56,0.222)（單位23設(shè)x1,x2,…,xn為總體X的一組觀察值，將它們按有小到大的順序排列，得到

x1*≤x2*≤…xn*稱它為順序統(tǒng)計量。則稱它為經(jīng)驗分布。順序統(tǒng)計量和經(jīng)驗分布設(shè)x1,x2,…,xn為總體X的一組觀察值，將它們按24順序統(tǒng)計量和經(jīng)驗分布順序統(tǒng)計量和經(jīng)驗分布25抽樣分布正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布X2-分布t-分布F-分布正態(tài)母體子樣均值和方差的分布返回繼續(xù)抽樣分布正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布返回繼續(xù)26

統(tǒng)計量是我們對母體的分布律或數(shù)字特征進(jìn)行推斷的基礎(chǔ)，因此求統(tǒng)計量的分布是數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一。我們所感到興趣的是下面兩類問題．第一類問題是：對于任意一個自然數(shù)n，要找出給定的統(tǒng)計量Un=f(X1,X2,…,Xn)的分布，這分布稱為這統(tǒng)計量的精確分布。求統(tǒng)計量的精確分布對于數(shù)理統(tǒng)計中的所謂小樣問題（即子樣容量比較小時的統(tǒng)計問題）的研究是非常有用的。第二類問題是：不對任何個別的n求出統(tǒng)計量Un的分布，而只求出當(dāng)n∞時，統(tǒng)計量Un的極限分布，這極限分布對于數(shù)理統(tǒng)計中的所謂大樣抽樣分布問題(即子樣容量較大時的統(tǒng)計問題)的研究很有用處。一般說來，要確定一個統(tǒng)計量的精確分布是非常復(fù)雜的，可是對于一些重要的特殊情形，如正態(tài)母體，這個問題有較簡單的解法。在今后各章中將會看到，正態(tài)母體的研究處于特別顯著的地位，這一方面是由于其統(tǒng)計量的精確分布的數(shù)學(xué)分析比較容易；另一重要原因是：在許多領(lǐng)域的統(tǒng)計研究中所遇到的母體，正態(tài)分布是它的一個很好的近似。當(dāng)然，中心極限定理也保證了這一狀況。統(tǒng)計量是我們對母體的分布律或數(shù)字特征進(jìn)行推斷27正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布28正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布29X2—分布X2—分布30定理1的證明定理1的證明31定理1的證明定理1的證明32定理1的證明定理1的證明33定理1的證明及密度函數(shù)圖定理1的證明及密度函數(shù)圖34X2—分布X2—分布35樣本及抽樣分布課件36樣本及抽樣分布課件37樣本及抽樣分布課件38t—分布t—分布39定理1的證明定理1的證明40定理1的證明定理1的證明41t—分布的密度函數(shù)圖t—分布的密度函數(shù)圖42t—分布與正態(tài)分布t—分布與正態(tài)分布43t—分布t—分布44樣本及抽樣分布課件45樣本及抽樣分布課件46F—分布F—分布47定理1的證明定理1的證明48定理1的證明定理1的證明49F—分布F—分布50F—分布F—分布51樣本及抽樣分布課件52樣本及抽樣分布課件53樣本及抽樣分布課件54正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布55定理1的證明定理1的證明56定理1的證明定理1的證明57定理1的證明定理1的證明58正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布59正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布60正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布61

P171本章小結(jié)P171本章小結(jié)62習(xí)題返回P174習(xí)題返回P17463概率論的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念抽樣分布返回退出本章小結(jié)習(xí)題概率論的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念返回退出本章小結(jié)64數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體和樣本統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量和經(jīng)驗分布函數(shù)返回繼續(xù)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體和樣本返回繼續(xù)65

我們今后所討論的統(tǒng)計問題主要屬于下面這種類型：從一個集合中選取一部分元素，對這部分元素的某些數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行測量，根據(jù)測量獲得的這些數(shù)據(jù)來推斷這集合中全部元素的這些數(shù)量指標(biāo)的分布情況。在統(tǒng)計學(xué)中，我們把所研究的全部元素組成的集合稱為母體，或總體。而把組成母體的每個元素稱為個體，例如在研究某批燈泡的平均壽命時，該批燈泡的全體就組成了母體，而其中每個燈泡就是個體。但是在統(tǒng)計里，由于我們關(guān)心的不是每個個體的種種具體特性，而僅僅是它的某一項或某幾項數(shù)量指標(biāo)X和該數(shù)量指標(biāo)X在總體中的分布情況。在上述例子中X是表示燈泡的壽命，就此數(shù)量指標(biāo)X而言，每個個體所總體、個體、樣本、樣本容量、樣本值我們今后所討論的統(tǒng)計問題主要屬于下面這種類型66取的值是不同的。在試驗中，抽取了若干個個體就觀察到了x的這樣或那樣的數(shù)值，因而這個數(shù)量指標(biāo)X是一個隨機(jī)變量，而X的分布就完全描寫了總體中我們所關(guān)心的那個數(shù)量指標(biāo)的分布狀況。由于我們關(guān)心的正是這個數(shù)量指標(biāo)，因此我們以后就把總體和數(shù)量指標(biāo)X可能取值的全體組成的集合等同起來，所謂總體的分布也就是指數(shù)量指標(biāo)x的分布。為了對總體的分布律進(jìn)行各種研究，就必須對總體進(jìn)行抽樣觀察，一般說來，我們還不止進(jìn)行一次抽樣觀察，而是進(jìn)行幾次觀察。通過觀察就得到總體指標(biāo)X的一組數(shù)值(x1,x2,…,xn)，其中每個xi是一次抽樣觀察的結(jié)果。即某一個被觀察總體、個體、樣本、樣本容量、樣本值取的值是不同的。在試驗中，抽取了若干個個體就觀察到了x的這樣67的個體的X指標(biāo)值，(x1,x2,…,xn)稱為容量為n的樣本的觀察值。由于我們是利用樣本觀察來對總體的分布進(jìn)行推斷，因而從總體中抽取樣本進(jìn)行觀察時必須是隨機(jī)的。所以對于隨機(jī)抽樣來說，對其某一次觀察結(jié)果而論，是完全確定的一組值，但它又是隨每次抽樣觀察而改變的，由于我們要依據(jù)這一觀察結(jié)果進(jìn)行分析推斷，并研究比較各種推斷方法的好壞，因而一般考慮問題時，就不能把看為確定的數(shù)值，而應(yīng)該看作為隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xn)，稱它為容量是n的樣本，因而對樣本也有分布可言?？傮w、個體、樣本、樣本容量、樣本值的個體的X指標(biāo)值，(x1,x2,…,xn)稱為容量為n的68

我們抽取樣本的目的是為了對總體的分布律進(jìn)行各種分析推斷，因而要求抽取的樣本能很好地反映總體的特性，這就必須對隨機(jī)抽樣的方法提出一定的要求。通常提出下面兩點(diǎn)：①代表性：要求樣本的每個分量Xi與所觀察的總體X具有相同的分布F(x)；②獨(dú)立性：X1,X2,…,Xn為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，也就是說，每個觀察結(jié)果既不影響其他觀察結(jié)果，也不受其它觀察結(jié)果的影響。滿足上述兩點(diǎn)性質(zhì)的樣本稱為簡單隨機(jī)子樣。在今后如不作特殊聲明，所說的樣本將理解為簡單隨機(jī)樣本，對于簡單隨機(jī)樣本X=(X1,X2,…,Xn)，其分布可以由總體X的分布函數(shù)F(x)簡單隨機(jī)樣本我們抽取樣本的目的是為了對總體的分布律進(jìn)行各69（或概率密度f(x)）完全決定，X的分布函數(shù)為簡單隨機(jī)樣本（或概率密度f(x)）完全決定，X的分布函數(shù)為簡單隨機(jī)樣本70在數(shù)理統(tǒng)計中，研究對象的全體稱為總體；組成總體的每個元素稱為個體。從總體中抽取的一部分個體，稱為總體的一個樣本；樣本中個體的個數(shù)稱為樣本的容量。從分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)變量X中隨機(jī)地抽取的相互獨(dú)立的n個隨機(jī)變量，具有與總體相同的分布，則X1,X2,…,Xn稱為從總體X得到的容量為n的隨機(jī)樣本，簡稱樣本。一次具體的抽取記錄x1,x2,…,xn是隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的一個觀察值?？傮w與樣本在數(shù)理統(tǒng)計中，研究對象的全體稱為總體；組成總體的每個元素71例1A廠生產(chǎn)的某種電器的使用壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)為未知，為此抽查了n件電器，測量其實際壽命。是確定本問題的總體，樣本及樣本的分布。例1A廠生產(chǎn)的某種電器的使用壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)為未72

樣本是總體的代表和反映，但在我們抽取樣本之后，并不直接利用樣本進(jìn)行推斷，而需要對樣本進(jìn)行一番“加工”和“提煉”，把樣本所包含的關(guān)于我們所關(guān)心的事物的信息集中起來，這便是針對不同的問題構(gòu)造出樣本的某種函數(shù)，這種函數(shù)在統(tǒng)計學(xué)中稱為統(tǒng)計量。引進(jìn)統(tǒng)計量的目的是為了將雜亂無序的樣本值歸結(jié)為一個便于進(jìn)行統(tǒng)計推斷和研究分析的形式，集中樣本所含信息，使之更易揭示問題實質(zhì)，從而解決問題。統(tǒng)計量中應(yīng)該不含有未知參數(shù)，如果統(tǒng)計量中仍含有未知參數(shù)，就無法依靠樣本觀測值求出未知參數(shù)的估計值，因而失去利用統(tǒng)計量估計未知參數(shù)的意義，這是違背我們引進(jìn)統(tǒng)計量的初衷的。統(tǒng)計量概念的引入樣本是總體的代表和反映，但在我們抽取樣本之后73來自總體X的樣本X1,X2,…,Xn的函數(shù)g(X1,X2,…,Xn)，若是連續(xù)的且不含任何未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量來自總體X的樣本X1,X2,…,Xn的函數(shù)g(X1,74樣本及抽樣分布課件75常用的統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量76常用的統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量77常用統(tǒng)計量的性質(zhì)常用統(tǒng)計量的性質(zhì)78常用統(tǒng)計量的性質(zhì)常用統(tǒng)計量的性質(zhì)79定理1的證明定理1的證明80定理2的證明定理2的證明81定理2的證明定理2的證明82定理2的證明定理2的證明83定理3的證明定理3的證明84例2設(shè)有一容量n=8的樣本觀察值為(8,6,7,5,7,8,9,6)，求樣本均值及樣本方差的觀察值。例2設(shè)有一容量n=8的樣本觀察值為(8,6,7,5,7,85例3已知某種紗的強(qiáng)力服從N(1.56,0.222)（單位：千克）今抽取容量為n=50的樣本，求樣本均值小于1.45千克的概率。例3已知某種紗的強(qiáng)力服從N(1.56,0.222)（單位86設(shè)x1,x2,…,xn為總體X的一組觀察值，將它們按有小到大的順序排列，得到

x1*≤x2*≤…xn*稱它為順序統(tǒng)計量。則稱它為經(jīng)驗分布。順序統(tǒng)計量和經(jīng)驗分布設(shè)x1,x2,…,xn為總體X的一組觀察值，將它們按87順序統(tǒng)計量和經(jīng)驗分布順序統(tǒng)計量和經(jīng)驗分布88抽樣分布正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布X2-分布t-分布F-分布正態(tài)母體子樣均值和方差的分布返回繼續(xù)抽樣分布正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布返回繼續(xù)89

統(tǒng)計量是我們對母體的分布律或數(shù)字特征進(jìn)行推斷的基礎(chǔ)，因此求統(tǒng)計量的分布是數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一。我們所感到興趣的是下面兩類問題．第一類問題是：對于任意一個自然數(shù)n，要找出給定的統(tǒng)計量Un=f(X1,X2,…,Xn)的分布，這分布稱為這統(tǒng)計量的精確分布。求統(tǒng)計量的精確分布對于數(shù)理統(tǒng)計中的所謂小樣問題（即子樣容量比較小時的統(tǒng)計問題）的研究是非常有用的。第二類問題是：不對任何個別的n求出統(tǒng)計量Un的分布，而只求出當(dāng)n∞時，統(tǒng)計量Un的極限分布，這極限分布對于數(shù)理統(tǒng)計中的所謂大樣抽樣分布問題(即子樣容量較大時的統(tǒng)計問題)的研究很有用處。一般說來，要確定一個統(tǒng)計量的精確分布是非常復(fù)雜的，可是對于一些重要的特殊情形，如正態(tài)母體，這個問題有較簡單的解法。在今后各章中將會看到，正態(tài)母體的研究處于特別顯著的地位，這一方面是由于其統(tǒng)計量的精確分布的數(shù)學(xué)分析比較容易