天津理工大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章習題答案詳解

一、填空題

第4章 隨機變量的數(shù)字特征1X為北方人的身高，Y為南方人的身高，則“北方人比南方人高”相當于E(X)E(Y)2、設X為今年任一時刻天津的氣溫，Y為今年任一時刻北京的氣溫，則今年天津的氣溫變化比北京的大，相當于D(X)D(Y).3X服從二項分布，且EX)2.4,DX)1.44，則二項分布的參數(shù)n=6 , p=0.4 .4、已知X服從(x)

ex22x1，則. E(X)=1 ,D(X)=1/2.XP5、設XXP101211118428E(2X9/46、設X,Y相互獨立，則協(xié)方差cov(X,Y) 0 .這時，X,Y之間的相關系數(shù)XY 0 .7、若XY 是隨機變量(X,Y)的相關系數(shù)，則|XY1的充要條件是PYaXb1.8、XY是隨機變量X,YXY0時，X與Y不相關|XY1時， X與Y幾乎線性相關.9、若D(X)D(Y)4，且X,Y相互獨立，則D(2XY) 36 .10、若abD(aXb)a2DX.、若X,Y相互獨立，E(X)E(Y)2，則E(XY) 0 .12、若隨機變量X服從]上的均勻分布，則E(X) π .13、若D(X)D(Y) 0.4，則cov(X,Y)12，D(XY)85，XYD(XY) 37 .14、已知E(X)3，D(X)5，則E(X2)230 .ex x015、若隨機變量X的概率密度為(x) ，則E(2X) 2 ，0 x0E(e2X)1/3.二、計算題1、五個零件中有1個次品，進行不放回地檢查，每次取1個，直到查到次品為止。設X表示檢查次數(shù)，求平均檢查多少次能查到次品？解: X的分布律:X12345pk1/51/51/51/51/51E(X)(1+2+3+4+5)=3.5答：略2、某機攜有導彈3枚，各枚命中率為p，現(xiàn)該機向同一目標射擊、擊中為止，問平均射]擊幾次？解:XX:XXp1p2p)k3p)2 E(X)p2p)p)2p23p3答：略2x03、設X的密度函數(shù)為f(x)0

0x其它

，求E(X)、D(X)解: E(X)

xf(x)dx12x2dx2 0 3E(X2)x2f(x)dx12x3dx1 0 21 2 1故 D(X)E(X2)(E(X))2

( )22 3 184()X的密度函數(shù)為fx)

1e|x|2

(x)求. E(X)D(X)解: E(X)

x exdx01 21E(X2) x21exxx2exdxx2ex 2 0 0x2ex2exdx2ex0 0 02ex20故 D(X)E(X2)(E(X))22

x15、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F(X)abarcsinx, 1x1 x1求 a、b、E(X)、D(X).·33·解: X為連續(xù)型隨機變量， F(x. F(1)Fab02 F)Fab12可解得; a1, b1.2X的概率密度

1 ,x11x2f(x)1x2 , 其它 1x2E(X)xf(x)dx 1x2

dx=0 1x2D(X)E(X2 1x2令 xsi，則

dx

1 x2 x 1x22 1D(X) 2sin2tdt 0 26、一臺設備由三大部件構成，運轉(zhuǎn)中它們需調(diào)整的概率分別為0.1、0.2、0.3,X表示同時需調(diào)整的部件數(shù)，求EXDX)解:設A表示第i個部件需調(diào)整，i=1,2,3iA發(fā)生X i 則 XX X Xi 不發(fā)生，i

1 2 3E(X

)P(A), D(X)P(AP(A) ii i i i i故 E(X)E(X1)E(X2)E(X3)0.10.20.30.6D(X)D(X1

)D(

)D(X )2 30.10.90.20.80.30.70.467、對圓的直徑作近似測量，設其值X均勻分布在區(qū)間[a,b]解:X~U(abX的密度 1

, axbf(x)ba 0, 其它設Y=“圓面積”，則Y=4X2，所以π π b x2 E(X)E( X2) dx (a2abb2).4 4aba 128X~e(2)、Y~e(4)EXYE(2X2.1 1 1解:顯然 E(X)

, E(Y)2

, D(Y)4 161 1 3所以 E(XY)E(X)E(Y)

. 2 4 4 E(2X2)2E(X)3D(Y)(E(Y))2111)516 16 8YX123-1010.2YX123-1010.20.10.10.100.100.30.1求 E(X),E(Y).解: E(X)(1)(0.20.10)01(0.10.10E(Y)1(0.20.12(0.103(00.32·35·|1x| 0x210、已知隨機變量X的概率密度為f(x) 0 其它X*

XE(X

的概率密度D(X)2 1 2D(X)解: E(X)x11xdxx2dx2xx2dx10 0 1 2E(X2)1x3x2x2x3dx 20 1 61D(X)E(X2)(E(X))2 66所以 X (X 1)6 y y66F (y)PXyP 6(X1)yPX F( 66X X16所 以16d y 1

1

y), y6f (y)6X

F( f ( 6666dy X X666

其它11、設隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為2f(x,y)0

0x0y其它

求E(XY).解: E(XY)

xyf(x,y)dxdy2xydxdy G：0yx1xOy G=21xdxxdy1xx2dx1.0 0 0 412、設隨機變量X和Y相互獨立，且E(X)E(Y)D(X)D(Y)1，求 E[(XY)2]. E(XY)2 E(X2)E(Y2)2E(XY)D(X)(E(X))2

)(E(Y))2

2E(X)E(Y)213、設二維隨機變量(X,Y) 的均值E(X)、E(Y)存在，證明： E(XY)E(X)E(Y)XE(XE(Y))。證：因為

EXE(X)YEY)E(XY)E(X)EY)所以 E(XY)E(X)EY)EXE(X)YEY)14證明：如果隨機變量 X與Y 相互獨立，且D(X)，D(Y) 存在則 D(XY)D(X)DY)E(X)2D(X)EY)2DY)證： D(XY)E[(XY)2][E(XY)]2E(X2Y2)[E(X)E(Y)]2E(X2)E(Y2)[E(X)]2[E(Y)]2{D(X)[E(X)]2}{D(Y)[E(Y)]2}[E(X)]2[E(Y)]2D(X)D(Y)[E(X)]2D(Y)[E(Y)]2D(X)15Gx

y

1X,Y服從GXY的相關性、獨立性.解:顯然，二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為(, )1,(x,y)(, )f xy , (x,y)G·37·

1dy, x1所以 fX

f(x,y)dy 1 1x2, x11x2

1x21x2(y (y 1y2, y)f

其它Y , 其它因此 E(X)xf(x)dx1

x 1x2dx0同樣可得 E(Y)0

1又 E(XY)

xyf(x,y)dxdyxOy

0G所以 cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0故X、Y不相關，但由于f (x)fX Y

)f(x,y)所以X與Y不相互獨立.XY101XY10110111188810188111888驗證X,Y不相關，但X,Y不相互獨立.證：因為3 E(X) 0103 3 3 E(Y)01 08 810110110110110118888所以 cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0故X,Y不相關.3 3 1又 p , p ， p 8 8所以 p p p

11 811故X,Y不相互獨立.17、設隨機變量(X,Y)具有概率密度1(xy)f(x,y)8 0

0x2,0y2其它求E(X),E(Y),cov(X,Y), .XY解： E(X)xf(x,y)dxdyxOy7由x,y的“對稱性”可得7E(Y) .6

12x2x(xyy780 0 6又 E(XY)

xyf(x,y)dxdy

12x2xy(xyy4xOy

80 0 3·39·所以 cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)

136.又 E(X2)

x2f(x,y)dxdy

12x2x2(xyy5由x,y的“對稱性”可得

xOy

80 0 3E(Y2)53

11 11所以 D(X)E(X2)(E(X))2

, D(Y) 36 36D(X)D(Y)故 D(X)D(Y)XY

1.1118已知隨機變量 X，Y 不相關，都具有零期望值及方差為1，令UX，VXY，試求 。UV解 ：,V)cov(X,XY)cov(X,X)cov(X,Y)D(X)01)D(X))D(XY)D(X)D(Y)2) )2 ) )2UV19X~N(2Y~N(2),X,Y相互獨立求Z ,Z 的相關系.其中,是不為0的常)1 2解：cov(Z,Z1

)cov(XY,XY),X),Y