圖形折疊問題課件

圖形折疊問題圖形折疊問題1在一張長方形ABCD紙片中，AD＝25cm,AB＝20cm．點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求∠DAH的大小及EG的長。（浙教版九下P17題6）如何解此題？201020在一張長方形ABCD紙片中，AD＝25cm,AB＝20cm2圖形折疊問題既考查學(xué)生的動(dòng)手能力，又考查了想象能力，往往與全等、相似、面積、對稱性質(zhì)聯(lián)系在一起．涉及到畫圖、測量、猜想證明、歸納等問題，它與代數(shù)、幾何均有聯(lián)系．此類題目對于考查學(xué)生注重知識(shí)形成的過程，領(lǐng)會(huì)研究問題的方法有一定的作用，也符合新課改的教育理論。圖形折疊問題既考查學(xué)生的動(dòng)手能力，又考查了想象能力3二解決翻折問題

我們把翻折問題分為兩類：“依點(diǎn)翻折”和“依線翻折”。一認(rèn)識(shí)翻折問題1.關(guān)注“兩點(diǎn)一線”在翻折過程中，我們應(yīng)關(guān)注“兩點(diǎn)”，即對稱點(diǎn)，思考自問“哪兩個(gè)點(diǎn)是對稱點(diǎn)?”；還應(yīng)關(guān)注“一線”，即折線，也就是對稱軸。這是解決問題的基礎(chǔ)。2.聯(lián)想到重合與相等遇到這類問題，我們應(yīng)馬上聯(lián)想到“重合的線段相等,重合的角相等”，這是解決問題的關(guān)鍵。圖形的翻折是圖形的運(yùn)動(dòng)形式之一二解決翻折問題一認(rèn)識(shí)翻折問題圖形的翻折是圖形的運(yùn)動(dòng)形式4依點(diǎn)翻折依點(diǎn)翻折5例1.將矩形ABCD紙對折，設(shè)折痕為EF，再把B點(diǎn)折到折痕線EF上（見圖點(diǎn)B′），若，則EB′=____．

BAB′GDC

E

FAD6例2、有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）．請解答以下問題：（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結(jié)論．圖1圖2p（1）△BMP是等邊三角形．證明：連結(jié)AN,∵EF垂直平分AB∴AN＝BN.由折疊知:AB＝BN∴AN＝AB＝BN∴△ABN為等邊三角形∴∠ABN＝60°∴∠PBN＝30°又∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM＝∠A＝90°∴∠BPN＝60°,∠MBP＝∠MBN＋∠PBN＝60°∴∠BMP＝60°∴∠MBP＝∠BMP＝∠BPM＝60°∴△BMP為等邊三角形．例2、有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：請解答以下問題：（17例2、（2）在圖2中，若AB＝a，BC＝b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？圖1圖2pab例2、（2）在圖2中，若AB＝a，BC＝b，a、b滿足什么關(guān)8（3）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝2，BC＝4，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)直線BM/為y=kx，當(dāng)∠M/BC＝60°時(shí)，求k的值.此時(shí)，將△ABM′沿BM′折疊，點(diǎn)A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點(diǎn)）？為什么？例2、第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）．圖1圖2圖3（3）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝2，BC＝4，并建立如圖3所示9A/H2A/H210例3.（2007年濟(jì)寧市）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABE.過B點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線AD上，得折痕PQ.(1)求證：△PBE∽△QAB；(2)你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似給出證明，如不相似請說明理由；(3)如果沿直線EB折疊紙片，點(diǎn)A是否能疊在直線EC上？為什么？例3.（2007年濟(jì)寧市）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折11例4.如圖，長方形ABCD沿AE折疊，使D落在邊BC上的F點(diǎn)處，如果∠BAF=60°，則∠DAE=ABCDFE根據(jù)折疊的規(guī)律：可證△ADE≌△AFE,從而∠DAE=∠FAE=(90°--60°)÷2=15°15°60°15°15°例4.如圖，長方形ABCD沿AE折疊，使D落在邊BC上的F點(diǎn)12ABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì):折疊軸對稱實(shí)質(zhì)軸對稱性質(zhì)：ADEF1.圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對應(yīng)邊角相等.2.點(diǎn)的對稱性：對稱點(diǎn)連線被對稱軸（折痕）垂直平分.由折疊可得：1.△AFE≌△ADE2.AE是DF的中垂線ABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì):折疊軸對稱實(shí)質(zhì)軸對稱性質(zhì)：ADE13例5.如圖，折疊長方形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的長分析：設(shè)EC=x,則EF=DE=8-x.在Rt△ABF中，AF=AD=10，AB=8，所以BF=6，F(xiàn)C=4Rt△POE∽R(shí)t△BPA解得EC=3(cm)ABCDFE81010643例5.如圖，折疊長方形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已14例6.

（08浙江寧波）如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為a.（1）如圖2，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊：第一步將矩形的短邊AB與長邊AD對齊折疊，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B’處，鋪平后得折痕AE；第二步 將長邊AD與折痕AE對齊折疊，點(diǎn)D正好與點(diǎn)E重合，鋪平后得折痕AF．則AD:AB的值是

，AD,AB的長分別是

，

．ABCDFEB’4開2開8開16開圖1圖2a（2）“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個(gè)比值；若不相等，請分別計(jì)算它們的比值．相等，比值為例6.（08浙江寧波）如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開15例7.（2007年臺(tái)州市）如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處．已知折痕

，且

(1)判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；(2)求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；P6X8X3X4X10X5X5X例7.（2007年臺(tái)州市）如圖，四邊形OABC是一張放在平16關(guān)鍵是找出對稱點(diǎn)，并畫出來。依線翻折關(guān)鍵是找出對稱點(diǎn)，并畫出來。依線翻折17例8.08湖州已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分別以O(shè)B,OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（,3）(4,)3例8.08湖州已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=318例9.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的邊長為6，兩邊OA、OC分別落在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)E在射線BC上，且BE=2CE，將△ABE沿直線AE翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處。（1）請?jiān)趫D中作出點(diǎn)B1及翻轉(zhuǎn)后圖形.0CBAyx0CBAyEB1（2）對于圖1，若E在BC上，求點(diǎn)B1的坐標(biāo)。兩種情況F利用相似，列出方程求解E0CBAyB1x圖1圖264a6-a46例9.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的邊長為6，兩邊OA19例10.（07湖北荊門）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合)．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．(1)設(shè)P(x，0)，E(0，y)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；圖1解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽R(shí)t△BPA．∴y=(0＜x＜4)∴即xy4-x3例10.（07湖北荊門）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張20(2)如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；圖2(2)由已知，△PAB、△POE均為等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q(4，3)、(5，6)滿足條件．則∴y=(2)如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過點(diǎn)P、B、E21例11.直線分別與x軸、y軸交于B、A兩點(diǎn).

把△AOB以直線AB為軸翻折，點(diǎn)O落在平面上的點(diǎn)C處，再把△BOC以直線BC為軸翻折得△BCE，求點(diǎn)E的坐標(biāo).例11.直線分別與x軸22由（1）知

OA＝1，OB＝，∴∠OBA＝30°.∵△ABC和△ABO關(guān)于AB成軸對稱，

∴BC＝BO＝，∠CBA=∠OBA＝30°.∴∠CBO＝60°.過點(diǎn)C作CM⊥x軸于M，如圖，則在Rt△BCM中，.

.

23圖形翻折實(shí)際上是軸對稱變換，變換前后的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。常常與角平分線、中線、線段中垂線、等腰三角形的高相聯(lián)系。解決翻折的動(dòng)態(tài)幾何問題關(guān)鍵是結(jié)合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有關(guān)知識(shí)，全面尋找圖形運(yùn)動(dòng)過程中的不變量。

圖形翻折實(shí)際上是軸對稱變換，24ABCD例12.（08山東東營）：將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形．將紙片展開，得到的圖形是（）

CABCD例12.（08山東東營）：將一正方形紙片按下列順序25例13．將正方形紙片兩次對折，并剪出一個(gè)菱形小洞后展開鋪平，得到的圖形是（）C例13．將正方形紙片兩次對折，并剪出一個(gè)菱形小洞后展開鋪平，26例14.如圖,有一矩形紙片ABCD,AB=10,AD=6,將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點(diǎn)F，則△CEF的面積為（）EDCBADCBAFEDCBAA．4 B．6 C．8 D．10６６４２２C４４例14.如圖,有一矩形紙片ABCD,AB=10,AD=6,將27圖形折疊問題中題型的變化比較多，但是經(jīng)過研究之后不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從今天我們對矩形折疊情況的討論中可以得到以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)：1．圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，是全等形；

2．圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的位置關(guān)于折痕成軸對稱；3．解決折疊問題時(shí)，要抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，從而進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系；

4．充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，將其中的基本的數(shù)量關(guān)系，用方程的形式表達(dá)出來，并迅速求解，這是解題時(shí)常用的方法之一。

圖形折疊問題中題型的變化比較多，但是經(jīng)過研究之后28謝謝大家，歡迎批評指正！謝謝大家，歡迎批評指正！29圖形折疊問題圖形折疊問題30在一張長方形ABCD紙片中，AD＝25cm,AB＝20cm．點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求∠DAH的大小及EG的長。（浙教版九下P17題6）如何解此題？201020在一張長方形ABCD紙片中，AD＝25cm,AB＝20cm31圖形折疊問題既考查學(xué)生的動(dòng)手能力，又考查了想象能力，往往與全等、相似、面積、對稱性質(zhì)聯(lián)系在一起．涉及到畫圖、測量、猜想證明、歸納等問題，它與代數(shù)、幾何均有聯(lián)系．此類題目對于考查學(xué)生注重知識(shí)形成的過程，領(lǐng)會(huì)研究問題的方法有一定的作用，也符合新課改的教育理論。圖形折疊問題既考查學(xué)生的動(dòng)手能力，又考查了想象能力32二解決翻折問題

我們把翻折問題分為兩類：“依點(diǎn)翻折”和“依線翻折”。一認(rèn)識(shí)翻折問題1.關(guān)注“兩點(diǎn)一線”在翻折過程中，我們應(yīng)關(guān)注“兩點(diǎn)”，即對稱點(diǎn)，思考自問“哪兩個(gè)點(diǎn)是對稱點(diǎn)?”；還應(yīng)關(guān)注“一線”，即折線，也就是對稱軸。這是解決問題的基礎(chǔ)。2.聯(lián)想到重合與相等遇到這類問題，我們應(yīng)馬上聯(lián)想到“重合的線段相等,重合的角相等”，這是解決問題的關(guān)鍵。圖形的翻折是圖形的運(yùn)動(dòng)形式之一二解決翻折問題一認(rèn)識(shí)翻折問題圖形的翻折是圖形的運(yùn)動(dòng)形式33依點(diǎn)翻折依點(diǎn)翻折34例1.將矩形ABCD紙對折，設(shè)折痕為EF，再把B點(diǎn)折到折痕線EF上（見圖點(diǎn)B′），若，則EB′=____．

BAB′GDC

E

FAD35例2、有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）．請解答以下問題：（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結(jié)論．圖1圖2p（1）△BMP是等邊三角形．證明：連結(jié)AN,∵EF垂直平分AB∴AN＝BN.由折疊知:AB＝BN∴AN＝AB＝BN∴△ABN為等邊三角形∴∠ABN＝60°∴∠PBN＝30°又∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM＝∠A＝90°∴∠BPN＝60°,∠MBP＝∠MBN＋∠PBN＝60°∴∠BMP＝60°∴∠MBP＝∠BMP＝∠BPM＝60°∴△BMP為等邊三角形．例2、有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：請解答以下問題：（136例2、（2）在圖2中，若AB＝a，BC＝b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？圖1圖2pab例2、（2）在圖2中，若AB＝a，BC＝b，a、b滿足什么關(guān)37（3）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝2，BC＝4，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)直線BM/為y=kx，當(dāng)∠M/BC＝60°時(shí)，求k的值.此時(shí)，將△ABM′沿BM′折疊，點(diǎn)A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點(diǎn)）？為什么？例2、第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）．圖1圖2圖3（3）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝2，BC＝4，并建立如圖3所示38A/H2A/H239例3.（2007年濟(jì)寧市）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到△ABE.過B點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線AD上，得折痕PQ.(1)求證：△PBE∽△QAB；(2)你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似給出證明，如不相似請說明理由；(3)如果沿直線EB折疊紙片，點(diǎn)A是否能疊在直線EC上？為什么？例3.（2007年濟(jì)寧市）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折40例4.如圖，長方形ABCD沿AE折疊，使D落在邊BC上的F點(diǎn)處，如果∠BAF=60°，則∠DAE=ABCDFE根據(jù)折疊的規(guī)律：可證△ADE≌△AFE,從而∠DAE=∠FAE=(90°--60°)÷2=15°15°60°15°15°例4.如圖，長方形ABCD沿AE折疊，使D落在邊BC上的F點(diǎn)41ABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì):折疊軸對稱實(shí)質(zhì)軸對稱性質(zhì)：ADEF1.圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對應(yīng)邊角相等.2.點(diǎn)的對稱性：對稱點(diǎn)連線被對稱軸（折痕）垂直平分.由折疊可得：1.△AFE≌△ADE2.AE是DF的中垂線ABCDFE透過現(xiàn)象看本質(zhì):折疊軸對稱實(shí)質(zhì)軸對稱性質(zhì)：ADE42例5.如圖，折疊長方形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的長分析：設(shè)EC=x,則EF=DE=8-x.在Rt△ABF中，AF=AD=10，AB=8，所以BF=6，F(xiàn)C=4Rt△POE∽R(shí)t△BPA解得EC=3(cm)ABCDFE81010643例5.如圖，折疊長方形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已43例6.

（08浙江寧波）如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為a.（1）如圖2，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊：第一步將矩形的短邊AB與長邊AD對齊折疊，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B’處，鋪平后得折痕AE；第二步 將長邊AD與折痕AE對齊折疊，點(diǎn)D正好與點(diǎn)E重合，鋪平后得折痕AF．則AD:AB的值是

，AD,AB的長分別是

，

．ABCDFEB’4開2開8開16開圖1圖2a（2）“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個(gè)比值；若不相等，請分別計(jì)算它們的比值．相等，比值為例6.（08浙江寧波）如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開44例7.（2007年臺(tái)州市）如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處．已知折痕

，且

(1)判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；(2)求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；P6X8X3X4X10X5X5X例7.（2007年臺(tái)州市）如圖，四邊形OABC是一張放在平45關(guān)鍵是找出對稱點(diǎn)，并畫出來。依線翻折關(guān)鍵是找出對稱點(diǎn)，并畫出來。依線翻折46例8.08湖州已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分別以O(shè)B,OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（,3）(4,)3例8.08湖州已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=347例9.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的邊長為6，兩邊OA、OC分別落在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)E在射線BC上，且BE=2CE，將△ABE沿直線AE翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處。（1）請?jiān)趫D中作出點(diǎn)B1及翻轉(zhuǎn)后圖形.0CBAyx0CBAyEB1（2）對于圖1，若E在BC上，求點(diǎn)B1的坐標(biāo)。兩種情況F利用相似，列出方程求解E0CBAyB1x圖1圖264a6-a46例9.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的邊長為6，兩邊OA48例10.（07湖北荊門）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合)．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．(1)設(shè)P(x，0)，E(0，y)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；圖1解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽R(shí)t△BPA．∴y=(0＜x＜4)∴即xy4-x3例10.（07湖北荊門）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張49(2)如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；圖2(2)由已知，△PAB、△POE均為等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q(4，3)、(5，6)滿足條件．則∴y=(2)如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過點(diǎn)P、B、E50例11.直線分別與x軸、y軸交于B、A兩點(diǎn).

把△AOB以直線AB為軸翻折，點(diǎn)O落在平面上的點(diǎn)C處，再把△BOC以直線BC為軸