SAS系統(tǒng)和數(shù)據(jù)分析Spearman等級(jí)相關(guān)分析

第三十課Spearman等級(jí)相關(guān)分析一、秩相關(guān)的Spearman等級(jí)相關(guān)分析前面介紹了使用非參數(shù)方法比較總體的位置或刻度參數(shù)，我們同樣也可以用非參數(shù)方法比較兩總體之間的相關(guān)問題。秩相關(guān)(rankcorrelation)又稱等級(jí)相關(guān)，它是一種分析x,y,等級(jí)間是否相關(guān)的方法。適用于某些不能準(zhǔn)確地測(cè)量指標(biāo)值而只能以嚴(yán)重程度、名次先后、反應(yīng)大小等定出的等級(jí)資料，也適用于某些不呈正態(tài)分布或難于判斷分布的資料。設(shè)R和Q分別為Xi和y各自在變量X和變量Y中的秩，如果變量X與變量Y之間存在著正相關(guān)，那么X與Y應(yīng)當(dāng)是同時(shí)增加或減少，這種現(xiàn)象當(dāng)然會(huì)反映在(為，y)相應(yīng)的秩(R,Qi)±o反之，若(R,Qi)具有同步性，那么(X,X)的變化也具有同步性。TOC\o"1-5"\h\z因此：nn22d="di='、(Ri-Qi)(30.1)i1i1具有較小的數(shù)值。如果變量X與變量Y之間存在著負(fù)相關(guān)，那么X與Y中一個(gè)增加時(shí)，另一個(gè)在減小，d具有較大的數(shù)值。既然由(Xi,y)構(gòu)成的樣本相關(guān)系數(shù)反映了X與丫之間相關(guān)與否的信息，那么在參數(shù)相關(guān)系數(shù)的公式r(X,Y)中以R和Q分別代替Xi和yi,不是同樣地反映了這種信息嗎？基于這種想法，CharlesSpearman秩相關(guān)系數(shù)rs(R,Q)應(yīng)運(yùn)而生：TOC\o"1-5"\h\z一1一1一(30.2)、(Ri--"Ri)(Qi一Qi)rs(R,Q)：nn(30.2).(Ri二Ri)2E(Qi匚Qi)2nnrs(R,Q)與r(X,Y)形式上完全一致，但在rs(R,Q)中的秩，不管X與Y取值如何，總是只取1到n之間的數(shù)值，因此它不涉及X與Y總體其他的內(nèi)在性質(zhì)，例如，秩相關(guān)不需要總體具有有限兩階矩的要求。由于：二12二12_n(n1)

2n(n1)(2n1)n(n1)(2n1)

6nn'Ri2='、Qi2=1222n2i1i1因此，公式（30.2）可以化簡為:22(30.3)_1_6￡(Ri—Qi)2_1_6￡d：(30.3)rsn(n2-1)n(n2-1)n(n1)(2n1)-2._RiQi顯然在R=Qi時(shí)，秩相關(guān)系數(shù)n(n1)(2n1)-2._RiQi一一、2__2__2___(Ri-Qi)='Ri，.二Qi-2.1.RiQi=而￡RiQi在每對(duì)R+Qi=n+1時(shí)達(dá)到最小值，最小值求法為:'、(n1)2=、、Ri2八Qi22RQi所以，最小的￡RiQi為：n(n1)2n(n1)(2n1)一62最大的z(Ri-Qi)為：2n(n1)(2n1)2=n(n2一1)一3故秩相關(guān)系數(shù)rs的最小值為1-2=-1o在原假設(shè)Ri在原假設(shè)Ri和Qi不相關(guān)的情況為真時(shí)，即秩相關(guān)系數(shù)為0時(shí)，rs的期望值ts為0,本的方差為2Sr2Srs1-%2

n-2(30.4)自由度為n-2且分布關(guān)于零點(diǎn)對(duì)稱。當(dāng)n之10時(shí)，rs的樣本分布可以標(biāo)準(zhǔn)化為近似的t分布:?t(n-2)(30.5)?t(n-2)(30.5)例30.1某公司想要知道是否職工期望成為好的銷售員而實(shí)際上就能有好的銷售記錄。為了調(diào)查這個(gè)問題，公司的副總裁仔細(xì)地查看和評(píng)價(jià)了公司10個(gè)職工的初始面試摘要、學(xué)科成績、推薦信等材料，最后副總裁根據(jù)他們成功的潛能給出了單獨(dú)的等級(jí)評(píng)分。二年后獲得了實(shí)際的銷售記錄，得到了第二份等級(jí)評(píng)分，見表30.1中的第1到4列所示。統(tǒng)計(jì)問題為是否職工的銷售潛能與開始二年的實(shí)際銷售成績一致。

職，編號(hào)潛能等級(jí)R銷售成績成績等級(jí)Qidi=Ri-Qidi2124001112436031137300524412956-525562807—11633504—11710200100089260811982209—111053852392d；=44表30.1職工的銷售潛能與銷售成績的秩相關(guān)分析Spearman秩相關(guān)系數(shù)rs(R,Q)的計(jì)算過程見表30.1中的第5至U6列所不，最后計(jì)算結(jié)果為26di6(44)「1--.-=10.7333n(n2-1)10(100-1)表明潛能與成績之間是較強(qiáng)的正相關(guān)，高的潛能趨向于好的成績。秩相關(guān)系數(shù)rs(R,Q)原假10-2設(shè)為0的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:10-2=3.05t=0.73332=3.0511-(0.7333)2查表自由度為8,t=3.05的雙側(cè)p=0.0158。在0.05顯著水平上，t分布的上臨界點(diǎn)為2.30,由于3.05>2.30,因此，拒絕秩相關(guān)系數(shù)為0的原假設(shè)，接受潛能與成績之間存在秩相關(guān)。Corr相關(guān)過程Corr相關(guān)過程用于計(jì)算變量之間的相關(guān)系數(shù)，包括Pearson(皮爾遜)的乘積矩相關(guān)和加權(quán)乘積矩相關(guān)。還能產(chǎn)生三個(gè)非參數(shù)的關(guān)聯(lián)測(cè)量：Spearman的秩相關(guān)，Kendall的tau-b和Hoeffding的相關(guān)性度量D。該過程也可以計(jì)算偏相關(guān)等一些單變量的描述性統(tǒng)計(jì)量。Corr過程說明proccorr過程一般由下列語句控制：proccorrdata=數(shù)據(jù)集<選項(xiàng)>;var變量列表；with變量列表；

partial變量列表weight變量;freq變量；By變量列表run;proccorr語句調(diào)用corr過程，且是唯一必需的語句。如果只使用proccorr這一條語句，過程計(jì)算輸入數(shù)據(jù)集中所有數(shù)值變量之間的相關(guān)系數(shù)。其余語句是供選擇的。proccorr語句的選項(xiàng)outp=數(shù)據(jù)集名產(chǎn)生含有Pearson相關(guān)系數(shù)的一個(gè)新數(shù)據(jù)集。0優(yōu)5=數(shù)據(jù)集名產(chǎn)生含有Spearman等級(jí)相關(guān)系數(shù)的一個(gè)新數(shù)據(jù)集。0優(yōu)卜=數(shù)據(jù)集名——產(chǎn)生含有Kendall°b相關(guān)系數(shù)的一個(gè)新數(shù)據(jù)集。0優(yōu)卜=數(shù)據(jù)集名產(chǎn)生含有HoeffdingD統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)新數(shù)據(jù)集。pearson要求計(jì)算通常的pearson乘積矩相關(guān)系數(shù)，是缺省值。hoeffding要求計(jì)算并輸出Hoeffding的D統(tǒng)計(jì)量。kendall——要求計(jì)算并輸出Kendalltb相關(guān)系數(shù)。spearman要求計(jì)算并輸出Spearman等級(jí)相關(guān)系數(shù)。vardef=df|weight|wgt|wdf指定計(jì)算方差時(shí)的除數(shù)：df（自由度nT）,weight或wgt（權(quán)重之和），n（觀察數(shù)），wdf（權(quán)重之和—1）。缺省值為df。cov計(jì)算協(xié)方差一方差矩陣。sscp要求輸出平方和與交叉積和。csscp要求輸出偏差平方和與交叉積和。bestWI妞t——對(duì)每個(gè)變量輸出指定個(gè)數(shù)的絕對(duì)值最大的相關(guān)系數(shù)。noprint禁止所有打印輸出。noprob禁止輸出同這些相關(guān)有聯(lián)系的顯著性概率。nosimple對(duì)原始數(shù)據(jù)執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)方差分析。rank要求按絕對(duì)值從高到低的次序?qū)γ總€(gè)變量輸出相關(guān)系數(shù)。nocorr抑制Pearson相關(guān)的計(jì)算及輸出。nomiss——將帶有某一變量缺失值的觀測(cè)值從所有計(jì)算中除去。nosimple不輸出每個(gè)變量的簡單描述性統(tǒng)計(jì)量。var語句該語句列出要計(jì)算相關(guān)系數(shù)的變量。例如，varabc;則計(jì)算a和b,a和c,b和c三對(duì)變量之間的相關(guān)系數(shù)。with語句為了得到變量間的特殊組合的相關(guān)系數(shù)，該語句和var語句聯(lián)合使用。用var語句列出的變量在輸出相關(guān)陣的上方，而用with語句列出的變量豎在相關(guān)陣左邊。例如，varab;withxyz;則生成x和a,y和a,z和a,x和b,y和b,z和b。partial語句

為了計(jì)算Pearson偏相關(guān)，Spearman偏秩相關(guān)，Kendall偏tau-b,用該語句給出偏出去（即固定）的變量名。weight語句為了計(jì)算加權(quán)的乘積矩相關(guān)系數(shù)，用該語句給出權(quán)數(shù)變量名。該語句僅用于Pearson相關(guān)。freq語句當(dāng)規(guī)定freq語句時(shí)，輸入數(shù)據(jù)集中的每個(gè)觀察假定代表n個(gè)觀察，其中n是該觀察中freq變量中的值。觀察的總數(shù)規(guī)定為freq變量值的和。by語句使用by語句能夠獲得用by變量定義的分組觀察的獨(dú)立分析結(jié)果。三、實(shí)例分析例30.1的SAS程序如下：datastudy.persons;inputxy@@;y=400-y;cards;24004360730012956280335010200926082205385；proccorrdata=study.personsspearman;varx;withy;run;程序說明：建立輸入數(shù)據(jù)集persons,要注意實(shí)際數(shù)據(jù)所表示的等級(jí)次序大小與SAS系統(tǒng)中自動(dòng)給出的等級(jí)次序大小的不同。輸入變量x,獲彳#從1到10的數(shù)據(jù)，表示潛能等級(jí)從最高到最低，而輸入變量y,獲得從最大銷售額400到最小銷售額220,轉(zhuǎn)換銷售成績等級(jí)應(yīng)該是從高到低，即從1到10。但在SAS系統(tǒng)中把銷售成績數(shù)值從小到大按等級(jí)值從1到10給予。因此，需要顛倒變量x或變量y中數(shù)值大小的次序，本程序用最大銷售額400減去原來的銷售額實(shí)現(xiàn)次序顛倒，即語句y=400-yo等級(jí)相關(guān)與一般參數(shù)相關(guān)一樣仍然調(diào)用corr過程，只需要在選擇項(xiàng)中指定為何種等級(jí)相關(guān)，我們選擇計(jì)算spearman秩相關(guān)系數(shù)。var語句列出要計(jì)算相關(guān)系數(shù)的第一個(gè)變量x,with語句必須要與var語句聯(lián)合使用，列出的要計(jì)算相關(guān)系數(shù)的第二變量V。主要結(jié)果如表30.2所示。表30.2用corr過程進(jìn)行多樣本輸出結(jié)果

CorrelationAnalysis1"WITH'Variables:Y1'VAR'Variables:XSimpleStatisticsVariableNMeanStdDevMedianMinimumMaximumY1095.00000067.905163102.5000000200.000000X105.5000003.0276505.5000001.00000010.000000SpearmanCorrelationCoefficients/Prob>|R|underHo:Rho=0/N=10XY0.733330.0158結(jié)果說明：Spearman等級(jí)相關(guān)系數(shù)為0.73333,是一個(gè)比較大的正相關(guān)系數(shù)。這個(gè)相關(guān)系數(shù)為0的原假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果是p=0.0158<0.05,因此，我們拒絕相關(guān)系數(shù)為0的原假設(shè)，接受了這個(gè)0.73333等級(jí)相關(guān)系數(shù)。結(jié)論為銷售潛能的高低與銷售成績好壞之間存在明顯的正相關(guān)性。第三十一課一元線性回歸分析回歸分析是一種統(tǒng)計(jì)分析方法，它利用兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的關(guān)系，由一個(gè)或幾個(gè)變量來預(yù)測(cè)另一個(gè)變量。在SAS/STAT中有多個(gè)進(jìn)行回歸的過程，如REG、GLM等，REG過程常用于進(jìn)行一般線性回歸模型分析。四、回歸模型1.基本概念回歸模型是一種正規(guī)工具，它表示統(tǒng)計(jì)關(guān)系中兩個(gè)基本的內(nèi)容：①用系統(tǒng)的形式表示因變量Y隨一個(gè)或幾個(gè)自變量X變化的趨勢(shì)；②表現(xiàn)觀察值圍繞統(tǒng)計(jì)關(guān)系曲線的散布情況。這兩個(gè)特點(diǎn)是由下列假設(shè)決定的：在與抽樣過程相聯(lián)系的觀察值總體中，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)X值，存在Y的一個(gè)概率分布;這些概率分布的均值以一些系統(tǒng)的方式隨X變化。圖31.1是用透視的方法來顯示回歸曲線。Y對(duì)給定X具有概率分布這一概念總是與統(tǒng)計(jì)關(guān)系中的經(jīng)驗(yàn)分布形式上相對(duì)應(yīng)；同樣，描述概率分布的均值與X之間關(guān)系的回歸曲線，與統(tǒng)計(jì)關(guān)系中丫系統(tǒng)地隨X變化的一般趨勢(shì)相對(duì)應(yīng)。

統(tǒng)計(jì)關(guān)系線oooooooooooooooooaooaOA-8TG543_2lo_s87-65432121111111111S1圖31.1線性回歸模型的圖示統(tǒng)計(jì)關(guān)系線oooooooooooooooooaooaOA-8TG543_2lo_s87-65432121111111111S1圖31.1線性回歸模型的圖示在回歸模型中，X稱為“自變量”，Y稱為“因變量”；這只是傳統(tǒng)的稱法，并不表明在給定的情況下Y因果地依賴于X,無論統(tǒng)計(jì)關(guān)系多么密切，回歸模型不一定是因果關(guān)系，在某些應(yīng)用中，比如我們由溫度表水銀柱高度（自變量）來估計(jì)溫度（因變量）時(shí)，自變量實(shí)際上依賴于因變量。此外，回歸模型的自變量可以多于一個(gè)。2.回歸模型的構(gòu)造1）自變量的選擇構(gòu)造回歸模型時(shí)必須考慮到易處理性，所以在有關(guān)的任何問題中，回歸模型只能（或只應(yīng)該）包括有限個(gè)自變量或預(yù)測(cè)變量。2）回歸方程的函數(shù)形式選擇回歸方程函數(shù)形式與選擇自變量緊密相關(guān)。有時(shí)有關(guān)理論可能指出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式。然而，通常我們預(yù)先并不能知道回歸方程的函數(shù)形式，要在收集和分析數(shù)據(jù)后，才能確定函數(shù)形式。我們經(jīng)常使用線性和二次回歸函數(shù)來作為未知性質(zhì)回歸方程的最初近似值。圖31.2（a）表示復(fù)雜回歸函數(shù)可以由線性回歸函數(shù)近似的情況，圖31.2（b）表示復(fù)雜回歸函數(shù)可以由兩個(gè)線性回歸函數(shù)分段近似的情況。

圖31.2用線性回歸函數(shù)近似復(fù)雜回歸函數(shù)3）模型的范圍在建立回歸模型時(shí)，通常需要限制模型的自變量或因變量取值的區(qū)間范圍，這個(gè)范圍由調(diào)查設(shè)計(jì)和已掌握數(shù)據(jù)的情況決定。4）回歸分析的運(yùn)用回歸分析主要有3個(gè)目的：描述，控制和預(yù)測(cè)。五、未指定誤差項(xiàng)分布的回歸模型1.模型的正規(guī)表述現(xiàn)在我們只限于一個(gè)自變量的基本回歸模型，且回歸函數(shù)是線性的，可表述如下：Y二二+PXt；t（31.1）其中，Yt是第t次觀測(cè)或試驗(yàn)中因變量的取值，3和P是參數(shù)，Xt為第t次觀測(cè)或試驗(yàn)中自變量的取值，即是隨機(jī)誤差項(xiàng)，其基本假設(shè)應(yīng)該滿足三個(gè)條件：均值E（.）=0方差Var（；t）=c-2協(xié)方差CovG,4）=0,當(dāng)產(chǎn)j時(shí)。即對(duì)所有的i#j,鳥與相互不相關(guān)模型（31.1）稱為簡單模型，參數(shù)是線性的，自變量也是線性的。所謂“簡單”，是因?yàn)樗挥幸粋€(gè)自變量，“參數(shù)線性”是指沒有參數(shù)具有指數(shù)形式，或者被另一個(gè)參數(shù)相乘或相除，“自變量線性”是指這個(gè)自變量是一次的。參數(shù)和自變量都是線性的模型稱為一階模型。

2.模型的重要特點(diǎn)第t次觀察中Y的觀察值Y包^2部分：常數(shù)項(xiàng)a十PXt和隨機(jī)項(xiàng)明的和。所以，Yt是隨機(jī)變量。因?yàn)镋(5)=0,這樣：E(Yt)-:XtE(--Xt(31.2)其中，n+PXt是常數(shù)。因此，當(dāng)?shù)趖次試驗(yàn)中X取為Xt時(shí)，相應(yīng)的丫來自一個(gè)概率分布，其均值是：E(Yt)-：Xt(31.3)所以，模型(31.1)的回歸函數(shù)是：E(Y)=：X(31.4)這樣對(duì)任何給定的X,回歸函數(shù)把X水平與Y的概率分布均值聯(lián)系起來。在第t次試驗(yàn)中，Y的觀察值超過或低于回歸函數(shù)值的部分為誤差項(xiàng)部分碼。假設(shè)誤差項(xiàng)&具有相同的方差仃2,則相應(yīng)的Yt的方差為：Var(Yt)=c2這是因?yàn)椋篤ar(Yt)=Var(u+PXt+丸)=Var(羯)=仃2。無論自變量X取值如何，模型(31.1)總是假設(shè)Y的概率分布具有相同的方差仃2,且假設(shè)誤差項(xiàng)互不相關(guān)。因此，任何一次試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)其他各次試驗(yàn)的誤差項(xiàng)都沒有影響，相應(yīng)的Y與Yj也互不相關(guān)?？傊?，模型(31.1)的含義為：對(duì)所有水平的X來說，因變量觀察值Yt都來自均值E(YJ=u+BXt、方差仃2的概率分布。此外，任何兩個(gè)觀察值Yi與Yj是互不相關(guān)的。六、最小二乘估計(jì)法.觀測(cè)數(shù)據(jù)圖設(shè)有一組T期間內(nèi)關(guān)于二變量X和Y的樣本觀測(cè)值(為,乂)(t=1,2,…，N),在X和Y之間存在著函數(shù)關(guān)系，如果將這些觀測(cè)數(shù)據(jù)，在2維平面上用圖來表示，只要數(shù)據(jù)至少有3個(gè)以上，那么所有的點(diǎn)大概不可能都在一條直線上。以被認(rèn)為在X和丫之間成立的

未知回歸直線：丫=:+X為中心，觀測(cè)點(diǎn)總是適當(dāng)?shù)厣⒉荚谄渲車?。未知回歸直線和各觀測(cè)點(diǎn)的垂直方向的間隔就是上節(jié)引進(jìn)的概率誤差項(xiàng)。由于a和B的數(shù)值未知，因此，不能準(zhǔn)確地知道與各觀測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的概率誤差項(xiàng)的值。大致來說，可以認(rèn)為回歸直線是從散布在平面上的各觀測(cè)點(diǎn)的中央穿過的直線。根據(jù)所給的觀測(cè)數(shù)據(jù)來估計(jì)這條直線的位置（a和B的值），是我們需要解決的主要問題。.誤差二乘和的最小化估計(jì)回歸直線的方式（規(guī)則）有各種各樣的考慮。但是，對(duì)于確定儀和B的值時(shí)，要使所有的觀測(cè)點(diǎn)和直線的“距離”從整體來說為最小這個(gè)一般的規(guī)則，大概無論誰也沒有異議。意見的分歧在于究竟要用什么尺度來衡量各觀測(cè)點(diǎn)和回歸直線的“距離”。也就是說，即使都承認(rèn)上述的一般規(guī)則，但由于按什么標(biāo)準(zhǔn)來測(cè)定“點(diǎn)和線的距離”的看法不同，推導(dǎo)出的估計(jì)方式也是多種多樣的。假定估計(jì)出的直線為：Y=二*:*X（31.5）則同X=Xt對(duì)應(yīng)的估計(jì)直線上的點(diǎn)是a*+p*xt。觀測(cè)點(diǎn)（xt,yt）同估計(jì)直線垂直方向的間隔：，*:*、et=yt-（二：xt）（31.1.6）叫做殘差（residual）。（這里將各觀測(cè)點(diǎn)看作是已經(jīng)觀測(cè)完畢的一對(duì)已知數(shù)組，用小寫字母來表示）。應(yīng)當(dāng)注意的是誤差項(xiàng)和殘差的區(qū)別：誤差項(xiàng)是未知回歸直線同觀測(cè)點(diǎn)的間隔，而殘差是已知的估計(jì)直線同觀測(cè)點(diǎn)的間隔。為了便于討論，我們暫且將測(cè)量點(diǎn)和直線之間距離的“評(píng)價(jià)函數(shù)”限定為殘差et的函數(shù)。對(duì)照我們的常識(shí)，要求評(píng)價(jià)函數(shù)滿足以下各條件：）殘差可能為正也可能為負(fù)，但不管是正的殘差還是負(fù)的殘差，只要其絕對(duì)值相等，用與直線的離差這一標(biāo)準(zhǔn)來衡量，就應(yīng)當(dāng)完全平等地評(píng)價(jià)。）評(píng)價(jià)函數(shù)必須是各殘差絕對(duì)值的非減函數(shù)。把評(píng)價(jià)函數(shù)記為V（e,e2,…，eN）,將以上兩條件用數(shù)學(xué)方式表現(xiàn)，可得：V（e1,e2,"1,eN）=丫峋,區(qū)，…JeJ）（31.7）%-?！?2，N（31.8）同時(shí)，為了方便起見，除以上2個(gè)條件外，暫且再追加以下2個(gè)條件。3）N個(gè)觀測(cè)點(diǎn)都具有同等資格。即et和es（t#s）作為評(píng)價(jià)函數(shù)的變量應(yīng)得到同樣的對(duì)待。這一條件同各期誤差項(xiàng)的方差為一定值的假定有著密切的關(guān)系。將條件（3）用數(shù)學(xué)方式表現(xiàn)，可得，對(duì)于（1,2,…，N）的任意重新排列（i1,i2,…，iN）有：

V白色,,eN=v，e4)我們已經(jīng)假定時(shí)期不同的概率誤差項(xiàng)相互之間不相關(guān)。因此，評(píng)價(jià)函數(shù)中各e的作用最好是相互無關(guān)的。將這一敘述用數(shù)學(xué)方式表示，可得：-：2V=0,t=S(31.9)a:es根據(jù)以上的討論，備擇的評(píng)價(jià)函數(shù)被限定在相當(dāng)狹的范圍內(nèi)，作為滿足資格的函數(shù)，例如可以考慮：N

,kV=%|et|,k_1(31.10)t4當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，絕對(duì)值的符號(hào)就失去意義。殘差是回歸系數(shù)的估計(jì)值(u,B)的函數(shù)。因此，如果給定了觀測(cè)數(shù)據(jù)(5,yt),則可以把V看作是以a*和B*為變量的二變量函數(shù)。從而可以考慮確定能使V為最小的u*和P*的值。當(dāng)然，使V的值為最小的a*和B*的值要依存于N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)。當(dāng)k=1時(shí)，評(píng)價(jià)函數(shù)式(31.10)是殘差絕對(duì)值的總和。就某種意義來說，這一評(píng)價(jià)函數(shù)在直觀上也許是最容易理解的。通過使它為最小來確定儀和B的方式，叫做最小絕對(duì)離差估計(jì)法(leastabsolutedeviationestimationmethod)。當(dāng)k=2時(shí)，評(píng)價(jià)函數(shù)是殘差的平萬和。確定能使這一評(píng)價(jià)函數(shù)為最小的ot和B的方式，便是最小二乘法(leastsquaresmethod)。令k=2,將式(31.6)代入式(31.10),可得：N**2Y='ytxt(31.11)11把樣本觀測(cè)值看作已知數(shù),從而可以把把樣本觀測(cè)值看作已知數(shù),從而可以把V當(dāng)作和P的函數(shù)來考慮，利用解決最大最小問題的方法，令V對(duì)口*和P*的偏導(dǎo)數(shù)為零，可以推導(dǎo)出關(guān)于口*和B*的二元聯(lián)立一次方程組為：:VN*-*—--2yt-：--xt=0(31.12)二11—二一—二一2xtyt-二*xt=0(31.13)這一聯(lián)立方程叫做正規(guī)方程式，其解如下:'、Xt-Xyt-y(31.14)二*(31.14)一NvXt.X211=y——(31.15)_1N=y——(31.15)_1N_XXt,y=Nt4Nyt11(31.16)在求解時(shí)，利用了下列恒等式:N在求解時(shí)，利用了下列恒等式:N￡(Xt-X)2t4因?yàn)椋琕因?yàn)?，V的駐點(diǎn)(使偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為0的a*和B*的值)只有唯一的一個(gè)，而且通過增大*c*….一.U和P的值，可以使V無限增大，所以正規(guī)方程的解的確給出了V的最小值。于是，可知最小二乘估計(jì)量是:N'Xt-Xyt-y(31.17)?__u(31.17)-N，Xt-X211(31.18)dN.N—11\?(31.19)XXt，yyt(31.19)N11Nt凸3.最小二乘估計(jì)量的平均值和方差我們已經(jīng)相當(dāng)詳細(xì)地論述了關(guān)于“估計(jì)量的優(yōu)劣”問題的一般理論。從18世紀(jì)由高斯(Gauss)發(fā)明的所謂最小二乘法直到今天仍得到如此廣泛的實(shí)際運(yùn)用這一事實(shí)來看，最小二乘估計(jì)法理論應(yīng)具有某些特別的優(yōu)點(diǎn)。如前所述，最小二乘法并不是“確定使T個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與回歸直線之間的距離就整體來說為最小的直線位置”的獨(dú)一無二的方法，它只不過是多種方法中的一個(gè)罷了。盡管如此，最小二乘法還能夠絕對(duì)地凌駕于其他任何方法之上，一直被應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的分析，這并不僅僅是由于計(jì)算簡單，而且還有其他合適的理由一一理論上的根據(jù)。事實(shí)上，在計(jì)算技術(shù)有了非常大的進(jìn)步的今天，計(jì)算簡便已經(jīng)不再具有那樣大的價(jià)值了。以下，我們首先來研究一下最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)。將Yt=u+Pxt+，代入國估計(jì)量(31.17)和山估計(jì)量(31.18),并作以下變形：N「Xt-x；t?一vXt-X211Xxt-xN二iXt-Xt4是，0?和？的期望值分別為:從而很簡單地證明了山和？分別是a和B的無偏估計(jì)量。這樣，最小二乘估計(jì)量順利地通過了第一道關(guān)卡。既然已表明最小二乘估計(jì)量具有無偏性，那么下一個(gè)問題就是估計(jì)量的方差的大小。我們暫且先根據(jù)方差的公式進(jìn)行形式上的推導(dǎo)。2根據(jù)刖面的假te：Var（皆）=仃和Cov（7,€s）=0,由定義得o_2Var?=E?-：=-、xt-X2t白(31.24)按照同樣的方法也可以推導(dǎo)出:-1一一Oc1X2Var(<?)=E(<?-?j=仃一十而,NZ(xt-X2tv(31.25)這里順便再計(jì)算一下次和？的協(xié)方差:2Cov?,?=E?一=?--=-^—xxt-X211(31.26)從式（31.25）和式（31.26）可知，估計(jì)量的方差與樣本的大小大致成反比。同時(shí)，解釋變量在較廣的范圍內(nèi)分布得越散，估計(jì)量的方差就越小。估計(jì)量的方差越小即意味著估計(jì)值的N精度越高。當(dāng)limZ（xt-X2=°°時(shí)，0?和？都是一致估計(jì)量。N>:ztd七、檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)從最小二乘估計(jì)表達(dá)式(31.17)和(31.18)知，只要給出了N組數(shù)據(jù)(為$)」=1,2，…，N,總可將它們代入這兩個(gè)表達(dá)式獲得儀和P的估計(jì)，從而寫出回歸方程。但這個(gè)回歸方程是否有意義呢？需要有個(gè)檢驗(yàn)準(zhǔn)則。為作檢驗(yàn)，首先要建立假設(shè)。我們求回歸方程的目的是要去反映y隨x變化的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，那么如果P=0,從式(31.4)可知，不管x如何變化，Ey不會(huì)隨之而改變，在這種情況下求出的回歸方程是無意義的。所以，檢驗(yàn)回歸方程是否有意義的問題轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)下列假設(shè)是否為真：HO：二=0(31.27)常用的方法有F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)方法。1.F檢驗(yàn)這一方法類似于第三章所介紹的方差分析的想法，也是從觀察值的偏差平方和分解入手。我們觀察到的y1，y2,…，yN的差異可以用總偏差平方和表示：NTSS八(yi-y)2,dfT=N-1(31.28)i1造成這一差異的原因有如下兩個(gè)方面：一是由于假設(shè)B=0不真，從而對(duì)不同的x值，Ey隨x而變化。我們可以用下列偏差平方和來表示由此引起的差異：NRSS="(其-y)2,dfR=1(31.29)i1稱為回歸平方和。其中，濟(jì)=國+眼=?一股+取=y+敢X-x)。所以，公式(31.29)又可以寫成：NRSS="(?-y)2i1NN(31.30)一［?(x-x。］2=%(xi-x)2i1i1根據(jù)公式(31.24)可知，其期望值：

NE(RSS)=E？v(Xi-x)2i1N=[(E?)2Var(?)「(Xi—X)2(31.31)4N=-：2%(Xi—X)2:2i4這便表明，RSS中除了誤差波動(dòng)外，還反映了由于P#0所引起的數(shù)據(jù)間的差異。二是由其他一切隨機(jī)因素引起的差異，它可以用殘差平方和：N

2.ESS—(yi-?i),dfE=N-2(31.31)i4表示。由于可以證明：ESS/o2~2(N-2)(31.32)于是有：E(ESS)=(N-2)二2(31.33)所以，其自由度為N—2。利用公式￡(y—%)=0,￡(yi-y>i)Xi=0,從而有下列平方和分解式：2TSS="(yi-y)='、(yi-？i?i-y)=￡(yi-?i)2+￡(於-y)2(31.34)=ESSRSS由于在B=0為真時(shí)，RSS與ESS/(N—2)都是◎2的無偏估計(jì)，因而采用F統(tǒng)計(jì)量：2lRSS/1/1F2lRSS/1/1F-2ESS/-/(N-2)RSSESS/(N-2)~F(1,N-2)(31.35)來檢驗(yàn)原假設(shè)0=0是否為真。.t檢驗(yàn)由公式(31.24)和(31.25)知(31.36)2］)(31.37)-212］)(31.37)?~N(［二［-N”(X-X)在原假設(shè)P=0在原假設(shè)P=0為真時(shí)，二/「(Xi-X)2?N(0,1),但其中仃未知，常用92=ESS/(N-2)去代替，根據(jù)公式(31.32)和又與B獨(dú)立，從而在P=0時(shí)有:t；?/「(xit；?/「(xi-X)2實(shí)質(zhì)上，對(duì)于一元回歸方程二//Z(Xi-x)2:t(N-2),ES2S/(N-2)t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)是等價(jià)的，因?yàn)橹灰獙⒐?31.30)中的(31.38)RSS代入到公式(31.35)中去，就不難發(fā)現(xiàn)t2=F。我們同樣可以得到原假設(shè)a=0為真時(shí)的計(jì)量:t=?1/N-x2/xt=?1/N-x2/x(xi-x)2二1/Nx2/二：(xi-x)2ESS?t(N-2)(31.39)2CT/(N-2)(31.40)(31.41)Var(1)=1—十—x__-—(31.40)(31.41)Var(1)=1—十—x__-—尸2+-N工(Xt-X)2J-2X2_2X。；-22XX0；-'、'(xt-X)2(xt-x)21+(X0-X)2

T(31.42)N￡(Xt—X)2_.利用回歸方程作預(yù)測(cè)當(dāng)求得回歸方程？=w+取后，并經(jīng)檢驗(yàn)，方程是顯著的，則可將該回歸方程用于預(yù)測(cè)。所謂預(yù)測(cè)是指當(dāng)X取某一個(gè)具體值x0時(shí)，對(duì)相應(yīng)的y取值y0所作的推斷。由模型知y0=a+Bx0+*是一個(gè)隨機(jī)變量，要預(yù)測(cè)隨機(jī)變量的取值是不可能的，只能預(yù)測(cè)其期望值E(y。)。根據(jù)前面公式(31.24)、(31.25)和(31.26)可知，在X=X0處的回歸值是？。=國+取0,且:%?N(E(?o),Var(?。))其中:E(?0)七°1(Xn-X)2其中，仃未知，用夕2=ESS/(N—2)去代替，設(shè)杠桿率h0=一十4———Nx(xt-x)2

預(yù)測(cè)均值？0的預(yù)測(cè)區(qū)間為:?0-1-/2■.h。；.？，y0t-.72..h。；-?(31.43)其中，tw2的自由度為N—2。注意在SAS系統(tǒng)model語句中的clm選項(xiàng)是按公式(31.43)來計(jì)算的。然而在x=x0時(shí)，隨機(jī)變量y0的取值與預(yù)測(cè)均值y0總會(huì)有一定的偏離，我們根據(jù)公式(31.43)不難求出y0—?0的均值E(y0—?0)和方差Var(y0-%),且它符合正態(tài)分布，故有:y0-?y0-?0?1(x0-x)2N(0,1十一十」^0——NE(xt-x)2F2)(31.44)其中，仃未知，用夕2=ESS/(N—2)去代替，所以y0—?0的預(yù)測(cè)區(qū)間為:(y0-？0)-t：./2(1h°)；?2,(y0-%)t：./2,(1h°)c?2(31.45)其中，J/2的自由度為N—2。注意在SAS系統(tǒng)model語句中的cli選項(xiàng)是按公式(31.44)來計(jì)算的。從方差Var(%-?0)表達(dá)式中我們可以看到，當(dāng)x0取值離均值x越近，預(yù)測(cè)精度就越好,當(dāng)凡取值離均值x越遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)精度就越差，其預(yù)測(cè)區(qū)間兩頭呈喇叭狀。因此，我們要特別注意入取值應(yīng)該在樣本數(shù)據(jù)最小的xi和最大的xi之間，否則預(yù)測(cè)很不可靠。八、回歸診斷回歸診斷主要用于檢驗(yàn)關(guān)于回歸假設(shè)是否成立，以及檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托问绞欠皴e(cuò)誤，否則我們通過最小二乘法求得的回歸方程就缺乏理論依據(jù)。這些檢驗(yàn)主要探究的問題為：殘差是否為隨機(jī)性、是否為正態(tài)性、是否不為異方差。高度相關(guān)的自變量是否引起了共線性。模型的函數(shù)形式是否錯(cuò)誤或在模型中是否缺少重要的自變量。樣本數(shù)據(jù)中是否存在異常值。.殘差圖分析所謂殘差圖就是以殘差et=yt-y?t為縱坐標(biāo)，某一個(gè)合適的自變量為橫坐標(biāo)的散點(diǎn)圖。殘差中包含了許多有關(guān)數(shù)據(jù)和模型的信息，它是研究回歸診斷最基本及最重要的統(tǒng)計(jì)量。殘差圖分析的基本思想是，在回歸模型的假設(shè)中，我們總是假定誤差項(xiàng)是獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)變量，且均值為零和方差相等為仃2。如果模型適合于觀察到的數(shù)據(jù)，那么殘差et作為誤差S

的無偏估計(jì)？，應(yīng)基本反映誤差5的假設(shè)習(xí)性。即殘差圖應(yīng)該在零點(diǎn)附近對(duì)稱地密布，越遠(yuǎn)31.331.3Q)正常：正態(tài)分布(b)異常點(diǎn):可疑偏高很大點(diǎn)(G異方液:殘差隨工而嚕大(d)異方差,優(yōu)差髓.而增臧非葩機(jī)性*建差非線性趨勢(shì)仃)非髓機(jī)性，殘差線性趨勢(shì)Q)正常：正態(tài)分布(b)異常點(diǎn):可疑偏高很大點(diǎn)(G異方液:殘差隨工而嚕大(d)異方差,優(yōu)差髓.而增臧非葩機(jī)性*建差非線性趨勢(shì)仃)非髓機(jī)性，殘差線性趨勢(shì)圖31.3殘差的主要幾種類型若殘差圖呈現(xiàn)如圖31.3(a)所示的形式，殘差是隨機(jī)的且不表示出一定的趨勢(shì)與形式,我們認(rèn)為建立的回歸模型應(yīng)診斷為無甚大問題。更進(jìn)一步的診斷應(yīng)該采用學(xué)生化殘差鑒別是否正態(tài)性。一個(gè)簡單的思想就是，如果模型假設(shè)正確的話，殘差就應(yīng)該是誤差的良好估計(jì)，那么殘差全體構(gòu)成的直方圖應(yīng)當(dāng)與正態(tài)曲線很相似。我們可以求出估計(jì)殘差的方差Var(就)，且符合正態(tài)分布：一ESS(31.46)2?N(0,(1-ht)——-)(31.46)N-2那么學(xué)生化殘差：Yt-7tVar(?)..Yt-7tVar(?)..(1-ht)ESS/(N-2)?N(0,1)(31.47)則遵循標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在實(shí)際中，學(xué)生化殘差常與yt配合作圖，會(huì)有更好的直觀判斷效果。若殘差圖呈現(xiàn)如圖31.3(b)所示的形式，有一個(gè)對(duì)既定模型偏離很大的觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為異常點(diǎn)。如果懷疑異常點(diǎn)是由于記錄數(shù)據(jù)中發(fā)生的錯(cuò)誤或者在測(cè)量過程中采用了拙劣的技巧，我們理應(yīng)從數(shù)據(jù)集中刪除，重新回歸模型。但對(duì)異常點(diǎn)的處理須持謹(jǐn)慎態(tài)度，因?yàn)楫惓｜c(diǎn)的出現(xiàn)可能代表了相當(dāng)重要的某些數(shù)據(jù)，它恰好成為我們探究某些事先不清楚或許是更為重要的因素的線索。在SAS系統(tǒng)的reg回歸過程中用來度量異常點(diǎn)影響大小的統(tǒng)計(jì)量是COOKD統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算方法請(qǐng)參閱SAS/STAT軟件使用手冊(cè)。若殘差圖呈現(xiàn)如圖31.3(c)所示的形式，殘差隨x的增大而增大。如圖31.3(d)所示的形式，殘差隨x的增大而先增后減，則蘊(yùn)含著殘差乃至誤差對(duì)于不同的觀察值具有不同的方差變化，稱為異方差。在這種場(chǎng)合應(yīng)該考慮在回歸之前對(duì)數(shù)據(jù)y或x進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)方差穩(wěn)定后再擬合回歸模型。原則上，當(dāng)誤差方差變化不太快時(shí)取變換,當(dāng)誤差方差變化較快時(shí)取變換logy或lny,當(dāng)誤差方差變化很快時(shí)取變換1/y。當(dāng)然，還存在著不少其他變y1換，如著名的Box-Cox哥變換y。九若殘差圖呈現(xiàn)如圖31.3(e)所示的形式，顯示了模型本身具有非線性趨勢(shì)，或者提示人們?cè)谀Ｐ椭惺欠窈雎粤巳舾芍匾淖兞?。如圖31.3(f)所示的形式，顯示了模型本身具有線性趨勢(shì)。同樣表示了模型的錯(cuò)誤選定。.共線性回歸研究中很容易發(fā)生模型中兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量高度相關(guān)，從而引起最小二乘估計(jì)可能很不精確。高度相關(guān)的自變量以及由它們所引起的估計(jì)問題合在一起稱之為共線性(collinearity)問題。為什么共線性會(huì)引起參數(shù)估計(jì)可能很不精確呢？主要原因是最小二乘法所利用的數(shù)據(jù)信息，如果存在共線性，就可能已經(jīng)被其他的自變量說明了大部分，因此用剩余的少量數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)，將產(chǎn)生估計(jì)參數(shù)的方差很大，置信區(qū)間也會(huì)很大，假設(shè)檢驗(yàn)也使人缺乏信任感。在實(shí)際中，最常見的問題是一些重要的自變量很可能由于在假設(shè)檢驗(yàn)中t值不顯著而被不恰當(dāng)?shù)靥蕹?。共線性診斷問題就是要找出哪些變量間存在共線性關(guān)系。SAS系統(tǒng)的reg過程中提供了特征值法、條件指數(shù)collin和方差膨脹因子vif,請(qǐng)參閱SAS/STAT軟件使用手冊(cè)。.誤差的獨(dú)立性在回歸診斷中，有一個(gè)非常重要的回歸模型假設(shè)需要診斷和檢驗(yàn)，那就是回歸模型中的誤差項(xiàng)的獨(dú)立性。如果誤差項(xiàng)不獨(dú)立，那么我們對(duì)回歸模型的許多處理，包括誤差項(xiàng)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等都將沒有推導(dǎo)依據(jù)。由于殘差是誤差的合理估計(jì)，因此檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量通常是建立在殘差的基礎(chǔ)上。檢驗(yàn)誤差獨(dú)立性的最常用方法，是對(duì)殘差的一階自相關(guān)性進(jìn)行Durbin-Watson檢驗(yàn)。原假設(shè)H0:誤差項(xiàng)是相互獨(dú)立的，備選假設(shè)Hi:誤差項(xiàng)是相關(guān)的。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：NDW八(et-et)/ESS(31.48)t=2我們可以通過簡單不等式證明：NNNN0M%(et-己二)2工2Qet2—二e^)<4"e；=4ESSt=2t-2t-214因此，DW統(tǒng)計(jì)量應(yīng)滿足：0MDW；4(31.49)如果DW接近于0,表示殘差中存在正自相關(guān)；如果DW接近于4,表示殘差中存在負(fù)自相關(guān)；如果DW接近于2,表示殘差獨(dú)立性。在給定顯著水平?下，我們可以查Durbin-Watson表得到不能拒絕獨(dú)立性原假設(shè)的區(qū)間DWl<DW<DWu。上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系IS/SHUFEPage19of24九、PROCREG過程它的一般格式為：PROCREG<>；MODELdependents=independents/<選項(xiàng)歹U表>其它選擇語句；RUN;PROCREG語句中的<選項(xiàng)列表>OUTEST=SAS數(shù)據(jù)集一一將有關(guān)模型的參數(shù)輸出到指定的SAS數(shù)據(jù)集中OUTSSCP=SAS數(shù)據(jù)集一一將相關(guān)矩陣輸出到指定的SAS數(shù)據(jù)集中ALL一一屏幕輸出所有內(nèi)容NOPRINT——不在屏幕輸出任何內(nèi)容MODEL語句中的選項(xiàng)該語句定義建模用的因變量、自變量、模型的選擇及結(jié)果輸出的選擇。與模型有關(guān)的選項(xiàng)有：.SELECTION一一選擇合適的建立模型方法SELECTION=FORWARDSLENTRY=顯著性水平前進(jìn)法(FORWARD):對(duì)每一個(gè)尚不在方程內(nèi)的自變量按一定的顯著性水平，根據(jù)其一旦進(jìn)入模型后對(duì)模型的貢獻(xiàn)大小逐步引入方程，直至再?zèng)]有對(duì)模型有顯著貢獻(xiàn)的自變量。缺省SLENTRY=0.5SELECTION=BACKWARDSLSTAY=顯著性水平后退法(BACKWARD):先建立包含全部變量的模型，然后按一定的顯著性水平從模型中逐步剔除變量。缺省SLSTAY=0.1SELECTION=STEPWISESLENTRY=入選水平SLSTAY=易U除水平逐步法(STEPWISE):按前進(jìn)法進(jìn)入變量，再對(duì)模型內(nèi)所有變量檢驗(yàn)，看是否有新因變量引入而對(duì)模型的貢獻(xiàn)變得不顯著的變量，若有就剔除，若無則保留，直至方程內(nèi)所有的變量均顯著，顯然逐步法有兩個(gè)水平，即選入水平和剔除水平，而且剔除水平應(yīng)低于選入水平。。缺省SLENTRY=0.15SLSTAY=0.1在上述三種方法的使用中，若要求打印出每一次選入或剔除變量進(jìn)行模型擬合時(shí)的所有統(tǒng)計(jì)量，可以加選DETAILS。.NOINT一一表示擬合無常數(shù)項(xiàng)(截距)的回歸模型與屏幕輸出有關(guān)的選項(xiàng)有：CORRB一一輸出參數(shù)估計(jì)的相關(guān)陣STB一一輸出標(biāo)準(zhǔn)化偏回歸系數(shù)矩陣

P——輸出個(gè)體觀測(cè)值、預(yù)測(cè)值及殘差。若已選了CLI、CLM、R,則無需該選項(xiàng)R——輸出每個(gè)個(gè)體觀測(cè)值、殘差及標(biāo)準(zhǔn)誤差CLM——輸出每個(gè)觀測(cè)值因變量期望值的95%的上、下限CLI——輸出每個(gè)個(gè)體觀測(cè)值的95%的上、下限與殘差分析有關(guān)的選項(xiàng)有：VIF輸出變量間相關(guān)性的方差膨脹系數(shù)（VarianceInflationFactor）,VIF越大,說明由于共線性存在，使方差變大。COLLIN——輸出條件數(shù)（Conditionindex），它表示最大的本征性與每個(gè)自變量本征值之比的平方根。一般情況下，條件數(shù)越大越可能存在共線性。TOL——表示共線性水平的容許值，TOL（ToleranceValue）越小說明其可用別的自變量解釋的部分多，自然可能與別的自變量存在共線性關(guān)系。DW——D^出Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量3.其他選擇語句注意，這部分的語句可以在REG過程被被激活后，以交互式方式運(yùn)行。OUTPUT語句一一建立SAS的輸出結(jié)果數(shù)據(jù)集語句格式為：OUTPUTOUT=SAS數(shù)據(jù)集名關(guān)鍵字名=輸出數(shù)據(jù)集中的變量名其中關(guān)鍵字名為需要的統(tǒng)計(jì)量名，它們有P（預(yù)測(cè)值）、R（殘差）、L95M（期望值的95%的下限）、U95M（期望值的95%的上限）、L95（個(gè)體預(yù)測(cè)值的95%的下限）、U95（個(gè)體預(yù)測(cè)值的95%的上限）、STDP（期望值的標(biāo)準(zhǔn)誤差）、STDR（殘差的標(biāo)準(zhǔn)誤差）、STDI（預(yù)測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差）、STUDENT（學(xué)生化殘差）、COOKD（COOK氏D值）PLOT語句一一繪制兩變量的散點(diǎn)圖語句格式為：PLOTX*Y/選項(xiàng)ADD變量名列表——向模型中增加變量DELETE變量名列表一一刪除原擬合模型中的有關(guān)變量REFIT——重新擬合模型PRINT——輸出有關(guān)模型的相關(guān)信息七、應(yīng)用舉例例31.1廣告花費(fèi)X與銷售額Y的回歸模型。大多數(shù)公司最終會(huì)詢問關(guān)于花費(fèi)在廣告上的費(fèi)用對(duì)公司產(chǎn)品銷售額的影響程度。由于廣告需要一定的時(shí)間才能達(dá)到它的效應(yīng)，同時(shí)它的效應(yīng)也不是永久持續(xù)的，它的影響也許僅僅延續(xù)開頭的一段時(shí)期。假設(shè)公司相信銷售額與當(dāng)月以及前兩個(gè)月內(nèi)所花的廣告費(fèi)有較密切的關(guān)系，即意味著：Yt與Xt,Xt-1,Xt-2有密切的關(guān)系。假設(shè)它們之間存在線性關(guān)系，建立模型為：Yt=3o+31Xt+32Xt-1+33Xt-2+et我們現(xiàn)在有某公司15個(gè)月內(nèi)有關(guān)廣告花費(fèi)X與銷售額丫的數(shù)據(jù)，如表31.1所示。表31.1廣告額與銷售額月t月銷售額Yt月廣告花費(fèi)Xt129452802429540035645450

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