量子力學(第十章微擾論)課件

第十章微擾論本章所講的主要內(nèi)容束縛態(tài)微擾論(10.1)散射態(tài)微擾論(11.2)10.1

束縛態(tài)微擾論

在量子力學中，體系的能級和定態(tài)波函數(shù)可以通過求解定態(tài)Schr?dinger方程得到。但除了少數(shù)體系外,大多數(shù)問題不能嚴格求解，而必須采用近似方法。例如微擾論，變分法等。各種近似方法都有其優(yōu)缺點和適用范圍，其中應(yīng)用最廣泛的就是微擾論。

設(shè)體系不顯含時間的Hamilton為,能量本征方程為

(1)在一般情形下，要嚴格求解這個方程是困難的，但是如果可以分成兩部分

(2)

其中的本征值及本征函數(shù)是已知的，或者容易解出。而另一部分很小，可以看作是加于上的微擾。的本征值和正交歸一化本征態(tài)已解出可能是不簡并的（），也可能是簡并的（）。首先不考慮微擾的時候,體系處于非簡并能級，(k選定，它可以是任一非簡并態(tài)),相應(yīng)的零級能量本征波函數(shù)為：把（4）代入（1），得約定：波函數(shù)的各級高級近似解與零級近似解都正交，即按照微擾論的逐級展開的精神，令比較等式兩邊的同級項，可得到各級能量近似本征方程式（6b）、（6c）和（6d在書上p176）兩邊左乘，并利用式（5），可以得到0級1級2級式（6b）兩邊左乘，并利用（7c），得利用的厄米性，以上兩邊左邊應(yīng)相等，得利用此式，可以直接用微擾一級近似波函數(shù)來計算能量的三級近似。得：把式(12)和（13）代入（7b），得2.二級近似解討論(a)用微擾論處理具體問題的同時，要恰當?shù)倪x取。在有的問題中，和的劃分是很顯然的，例如在Stark效應(yīng)和Zeeman效應(yīng)中，分別把外電場和外磁場的作用看成微擾。但在有些問題中，特別是在某些模型理論計算中,往往根據(jù)如何使計算簡化來決定和的劃分，同時兼顧計算結(jié)果的精確度。即一方面要求的本征值的計算比較容易,或的本征解已知(不管它是怎樣求出的)，還要求的矩陣元的計算也較容易。另一方面，又要求的主要部分盡可能包含在中，使的矩陣元比較小，以保證使微擾論計算收斂較快，因為高級微擾修正的計算是很麻煩的。(b)

計算中，要充分利用的對稱性以及相應(yīng)的選擇定則，以省掉一些不必要的計算。(c)從(14b),(16)各式可以看出，如在的近鄰有一條或幾條其他能級(即近簡并情況)，則上述微擾論也不大適用。需用其他辦法來處理。例題1：電介質(zhì)的極化率

考慮各向同性電介質(zhì)在外電場作用下的極化現(xiàn)象。當沒有外電場作用時，介質(zhì)中的粒子在其平衡位置附近作小振動，可視為簡諧運動。設(shè)沿x方向加上以均勻外電場，對帶電q

的離子，Hamilton量為

因為外電場沿x方向，對y，z方向的振動不發(fā)生影響，故略去不加討論，取

即諧振子Hamilton量,其本征函數(shù)為

為歸一化常數(shù)。相應(yīng)的能量本征值為

利用公式

可求出

既原來零級波函數(shù)中，混進了與它鄰近的兩條能級的波函數(shù)。在不加外場時，在具有確定宇稱的態(tài)下,粒子位置的平均值：這是很自然的,因為本來我們的坐標原點就取在諧振子的平衡位置。當加上外電場時,粒子平衡位置將發(fā)生偏離,用式(7)和(5)不難求出：即平衡位置偏離了。正離子沿電場方向挪了，而負離子則沿電場反方向挪動了。因此，由于外電場而產(chǎn)生的電偶極矩為(25)極化率定義為，則極化率為本題可以嚴格求解。例題3：設(shè)用微擾論計算能量修正（準到二級修正）。解：利用微擾論計算能量修正公式一級修正例4：考慮一個粒子在位勢準至一級修正的能量為即經(jīng)典和量子的差別:經(jīng)典粒子不能運動到

區(qū)域中去。而在量子力學中，粒子有一定幾率在

區(qū)域中。在這區(qū)域中，有所以粒子受到的排斥力比處于純諧振子勢中的粒子小。以至于，

事實上，由于

由定理可證得

設(shè)：

的基態(tài)為

例5．求氦原子的基態(tài)能量即

于是以方向為Z方向,所以

由于

所以，準至一級的能量為10.1.2簡并態(tài)微擾論實際問題中，特別是處理體系的激發(fā)態(tài)時，常常碰到簡并態(tài)或近簡并情況。在此情況下,上節(jié)所述微擾論方法是不適用的。能級的簡并性與體系的對稱性密切相關(guān),當考慮圍繞以后，如體系的對稱性在某種程度上被破壞，則能級將發(fā)生分裂，簡并將被部分解除或全部解除。假設(shè)我們要處理的簡并能級為(k是任意的,但要事先取定),即由于能級的簡并性，它對應(yīng)的零級波函數(shù)是不確定的。其一般形式為用式（26），（27）代入式（6b），得左乘，考慮到式（5）的約定，得這就是滿足的線性齊次代數(shù)方程組。它有非平庸解的充要條件是上式是滿足的次方程（也稱為久期方程）根據(jù)的Hermite性，方程(29)必有個實根，記為然后把每一個根分別代入式(28),可求出相應(yīng)的解。對應(yīng)于的解記為這樣一共可以得出組解。于是我們求得了個新的零級波函數(shù)：它們是原來屬于能級的諸簡并態(tài)的疊加,相應(yīng)的能量本征值為：此即計及微擾一級修正后的能量本征值。以上

假定了式(29)的解無重根。此時,原來的重簡并的能級就完全解除簡并,分裂為條能級，相應(yīng)的波函數(shù)由式(30)給出。但如式(29)的根有重根,則能級簡并尚未完全解除，而屬于重根的零級波函數(shù)仍然不能完全確定下來。在繼續(xù)討論簡并態(tài)一級微擾之前，先討論一個具體的例子。例題：氫原子的Stark效應(yīng)

當原子置于外電場中，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂，這稱為Stark效應(yīng)。為簡單起見,下面考慮氫原子的Lyman線系的第一條譜線的分裂。在不計及電子自旋時,氫原子基態(tài)是不簡并的,第一激發(fā)能級(n=2)是4重簡并的，即對應(yīng)于能級：有4個量子態(tài)：2s態(tài)2p態(tài)為表述方便起見，進行編號，分別記為即：設(shè)外場沿z軸方向。通常實驗室中的外電場，在原子大小范圍內(nèi)變化極微,可以視為均勻電場。因此,外電場對電子(帶電-e)的作用能為:不難看出，考慮微擾后,因,電子的角動量的z分量仍為守恒量。所以微擾對于磁量子數(shù)m是對角化的。計算矩陣元，要用下列公式:

可以看出，只當兩個態(tài)的角量子數(shù)差,磁量子數(shù)相同(

)時，的矩陣元才不為零。不為零的矩陣元為

方程(28)表示為:它有非平庸解的充要條件是系數(shù)行列式為零，解得：用代入式(36),求出，，因此，歸一化的波函數(shù)可表示為：相應(yīng)的能量為：用代入式(36),求出，，因此，歸一化的波函數(shù)可表示為：相應(yīng)的能量為：相應(yīng)的能量為：是二重根，代入式(36),得,但與不能唯一確定。這是由于簡并未完全消除的緣故,如下圖所示。圖中我們?nèi)杂迷瓉淼牧慵壊ê瘮?shù)來標記，這樣波函數(shù)的正交歸一性仍可以保證。氫原子的第一激發(fā)能級在外電場中的分裂圖討論所求出的新的零級近似波函數(shù)和

一級微擾近似下的能量本征值,有下列一些性質(zhì):

(a)新的零級波函數(shù)也彼此相交，即（b）在的諸簡并態(tài)張開的維子空間中，若選為基矢，則微擾(因而H)是對角化的,(c)如最初的零級波函數(shù)選擇得很恰當，已經(jīng)使微擾對角化,即則有如無簡并，就已經(jīng)是我們要找的零級波函數(shù)了。在處理正常Zeeman效應(yīng)和反常

Zeeman效應(yīng)中已經(jīng)用到這一點了。簡并態(tài)微擾論中,零級波函數(shù)的選擇是很重要的,應(yīng)充分考慮體系的對稱性。最初選用的零級波函數(shù)要盡可能使接近于對角化。特別是,如果選擇的零級波函數(shù)同時又是某守恒量(與和都對易)的本征態(tài)(即用一個好量子數(shù)來標記零級波函數(shù)),則計算將大為簡化.(d)

近簡并情況設(shè)的能譜中，有一些能級特別靠近，即使這些能級每條都不簡并，非簡并微擾論公式仍然并不適用，因微擾首先可能引起這些這些相鄰能級的本征態(tài)的強烈相混。(更一般的情況是這些相鄰能級每條本身也可能是簡并的,在式中未明顯把簡并量子數(shù)標記出來。)在這種情況下，常常首先在屬于這一些緊鄰能級的狀態(tài)所張開的子空間中把微擾對角化,即在求解時，在這子空間中展開，令只對這些近簡并的諸能級中的各態(tài)求和,(包括可能出現(xiàn)的簡并態(tài)，這實際上相當于把這些緊鄰能級的各態(tài)，包括簡并態(tài),一視同仁，進行編號，n就代表編號)，由此可得左乘，得：利用齊次方程有非零解的充要條件可以求得的根：，并求出相應(yīng)的波函數(shù)。例題：二能級體系

設(shè)體系有兩條很靠近的能級,即使每條能級都不簡并,上節(jié)的簡并微擾也不適用。但如果其它能級都離開這兩條能級很遠，則在零級近似下，不妨先略去其他能級不計，則體系為一個二能級體系，可以嚴格求解。(計及遠處其它能級影響的微擾論高級近似處理，見曾謹言，量子力學（I）§10.2.6)設(shè)體系的Hamilton量為

有兩條靠的很近非簡并的能級和，其它離的很遠。

在表象中(以和為基矢所張開的空間),

表成下列矩陣,的本征態(tài)可表示為

的本征方程表示為

此方程有非平庸解的充要條件為

解之，可以得到的兩個根

為方便(見圖10.5),令(兩能級的重心)

則

式中

是表征作用重要性的參量,當(即),則可視為微擾(弱耦合)。反之，如，則為強耦合。為方便，令(圖10.5)

若為實，則(斥力),或(引力)。(圖10.5)

用根代入式本征方程，可以得出

相應(yīng)于的本征態(tài)可以表示為類似可求出相應(yīng)于的本征態(tài)討論：(a)設(shè),即(弱耦合),,則

(見圖10.6)

(66)即下能級的主要成分為，上能級的主要成分為。(b)設(shè)(二重簡并),(引力),即d=0,,(強耦合極限),則(見圖10.6)為與的同相疊加,引力作用使從位置下降,而為與的反相疊加(相差),從上升。圖10.610.2

散射態(tài)微擾論從量子力學觀點看，散射態(tài)是一種非束縛態(tài)，涉及體系的能譜的連續(xù)區(qū)部分。束縛態(tài)理論的興趣在于研究體系的分立的能量本征值和本征態(tài)以及它們之間的量子躍遷。在實驗上則主要是通過光譜分析（譜線的波數(shù)，強度，選擇定則等）來獲取有關(guān)信息。而在散射問題中，人們感興趣的不是能量本征值（能量可連續(xù)變化），而是散射粒子的角分布以及散射過程中粒子的各種性質(zhì)（例如，角關(guān)聯(lián)，極化等）的變化。由于散射實驗的觀測都是在離開“靶子”很遠的地方（，是粒子波長）進行，角分布等觀測量依賴于波函數(shù)在處的漸近行為，它與入射粒子能量，相互作用等有關(guān)。如入射粒子與靶粒子還有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，并且在散射過程中發(fā)生改變，這也是散射理論最關(guān)心的問題。10.2.1散射態(tài)的描述一.散射的經(jīng)典力學描述，截面

從經(jīng)典力學來看，在散射過程中，每個入射粒子都以一個確定的碰撞參數(shù)

b和方位角射向靶子。由于靶粒子的作用，入射粒子軌道發(fā)生偏轉(zhuǎn)，沿某方向射出，其運動軌道由Newton方程確定。當然，在實際的散射實驗中，人們并不對每一個粒子的軌道有興趣，而是想了解入射粒子束經(jīng)過散射后沿不同方向出射的分布。設(shè)一束粒子以穩(wěn)定的入射流密度（單位時間穿過單位截面的粒子數(shù)）入射，由于靶粒子的作用，設(shè)在單位時間內(nèi)有個粒子沿方向的立體角出射。顯然，。令即

的量綱是面積，故稱為散射截面，一般來說，它與有關(guān)。

如把沿各方向出射的粒子都計算在內(nèi)，即稱為總截面?，F(xiàn)在來討論如何用經(jīng)典力學來計算。通常假定，入射粒子與靶子相互作用只依賴于它們的相對距離，記為。bb+db0a圖12.1：經(jīng)典力學中粒子與勢場的碰撞此時，入射粒子將做平面運動，散射角分布與方位角無關(guān)，只需要分析出射粒子隨角的分布。顯然，偏轉(zhuǎn)角依賴于。在方向立體角元中射出的粒子，是來自從定義的環(huán)面積元中入射的粒子。所以

但按截面定義。由此可得出利用，也可表示成如已知道或（通過求解中心場中粒子運動的Newton方程），即可求出截面。二.散射的量子力學描述，散射波幅

為簡單起見，假設(shè)在碰撞過程中入射粒子和靶粒子的內(nèi)部態(tài)不改變（內(nèi)部激發(fā)自由度凍結(jié)），即彈性散射。在此過程中，只有相對運動狀態(tài)發(fā)生改變。設(shè)相互作用用定域勢表示，是入射粒子與靶粒子的相對坐標。這樣的兩體問題總可以化為單體問題來處理。我們還假定具有一定的力程，即只當時，相互作用才值得考慮。

在散射實驗中，有一個粒子源，它提供一束穩(wěn)定的接近于單色的平行入射粒子束，從遠處射向靶粒子（散射中心）。入射粒子波束可以近似用一個平面波來描述，即（為方便不妨取入射方向為軸方向），為入射粒子能量，是動量的本征態(tài)（，）。由于靶粒子的作用，入射粒子的動量并非守恒量，即有一定概率改變方向，或者說要產(chǎn)生散射波。設(shè)相互作用為一個中心勢，則角動量為守恒量?？梢哉撟C，當時，散射波的形式為即往外出射的球面波，的量綱為[長度]，稱為散射波幅，是的函數(shù)，不依賴于角。

概括起來說，在中心勢作用下，波函數(shù)在時的漸近行為是第一項代表入射波，第二項代表出射的球面波，它描述由于靶粒子作用所出現(xiàn)的散射現(xiàn)象。在上述波函數(shù)的漸近形式下，入射粒子流密度為，而散射粒子流（徑向）(4)為因此，在方向的立體角元中單位時間的出射粒子數(shù)為按截面定義式(1)，有這就是散射截面（也稱微分截面，或角分布）與散射波幅的關(guān)系。在理論上，散射波幅可以由求解Schr?dinger方程并要求時的漸近行為如式(4)所示而定出。求出后即可計算出微分截面，并與實驗測出的微分截面（按照(1)式，）比較，還可以計算出總截面上述理論中作了許多近似考慮：（a）實際的散射實驗中，靶子含有許多散射中心（原子，原子核，或其他粒子），但各散射中心之間的距離可認為很大，因而從不同的散射中心出來的散射波的干涉效應(yīng)被忽略了。（b）實驗上往往把靶子做得很薄，使入射粒子束中絕大部分粒子不受影響（無碰撞）地通過靶子，只有很少一部分粒子經(jīng)受一次散射后即出射（不經(jīng)受多次散射）。（c）截面是一個統(tǒng)計概念，入射束流強度要求較大，使散射粒子數(shù)很大，且保證入射粒子之間相互作用可以不考慮。10.2.2Lippman-Schwinger方程

下面給出散射問題的一種處理方法，即采用積分方程的形式，這個方法的特點是不去進行分波，而把散射振幅作為一個整體，從求解一個積分方程得出。這個方法對于高能量粒子的散射較為適用，因為在此情況下，相當多的分波都對散射振幅有可觀的貢獻。粒子被勢場的散射，歸結(jié)為求解Schr?dinger方程(是入射粒子能量），滿足下列邊條件：(10)(11)

定義Green函數(shù)，它滿足可以證明滿足方程(10)。因為，利用式(12)，(12)(13)

但式(13)解不是唯一的，因為也滿足方程(10)，只要滿足齊次方程這種不確定性可由入射波和出射波的邊條件來確定。例如，對于有限力程作用[當（力程），]，要求（入射粒子具有確定動量，用平面波描述）此即Lippman-Schwinger方程，通常要求滿足出射波邊條件(17）(16）下面來討論Green函數(shù)的求解。根據(jù)方程(3)的空間平移不變性，應(yīng)表示成下列形式其Fourier變換為代入式(3)，利用(18）可得或因此(19）(20）令，則(取方向為極軸方向）

是被積函數(shù)的一級極點，容易用殘數(shù)定理計算出積分。(21）積分值與積分圍道選取有關(guān)，這相當于不同的散射波邊條件，通常感興趣的是要求給出出射波，此時，空間積分圍道應(yīng)如下選取，見右圖。此時即(22）代入式(16)，得這就是方程(1)的解，它滿足邊條件(2)。由于積分內(nèi)含有待求解的未知函數(shù)，所以是一個積分方程。具體計算時，往往只能采用逐級近似法求解。(23)10.2.3Born近似

如把入射粒子與靶的相互作用V看成微擾，按微擾論的精神：作為一級近似，式(23)中的可用代替，則此即勢散射問題的Born一級近似解。根據(jù)它在的漸近行為，與式(11)比較，即可求出散射波幅的一級近似解。(24)

假設(shè)具有有限力程，則式(24)中對的積分實際上局限于空間中一個有限區(qū)域。當時式(24)被積函數(shù)中，分母是一個光滑的緩變化函數(shù)，當時，可徑直用代替，但分子是一個隨迅速振蕩的函數(shù)。(25)其中，是出射粒子動量，對于彈性散射，。這樣，由式(24)、(25)可得出與式(11)比較，得式中(27)(26)(28)

是散射過程中粒子的動量轉(zhuǎn)移（見左圖），是與的夾角，即散射角。還與入射粒子能量有關(guān)系，但式(27)中未明顯標記出。由圖可看出和越大，則動量轉(zhuǎn)移越大。除一個常數(shù)因子外，散射波幅(27)即相互作用的Fourier變換。若是中心力場（或?qū)τ谌肷浞较蚓哂休S對稱性），則與角無關(guān)。計算式(27)的積分時，可選擇方向為軸方向，采用球坐標系，可得出而散射截面表為(29)(30)可以看出，愈大，則愈小，即入射粒子受到勢場的影響愈小。由此可以看出，對于高能入射粒子（很大），主要集中在小角度范圍內(nèi)。Born近似的適用條件在Born近似下如Born近似為一個好的近似，就要求勢場對散射波的影響，在靶子鄰域內(nèi)最強，因此上述條件可換成設(shè)為中心場，則此即Born近似成立的條件。10.2.4全同粒子的散射

全同粒子相碰撞，由于波函數(shù)的交換對成性，將出現(xiàn)一些很有趣的現(xiàn)象。這完全是一種

量子效應(yīng)。為了比較，先討論無自旋的不同粒子的碰撞，然后討論無自旋的兩個全同粒子的碰撞,最后討論自旋為的全同粒子的碰撞。

1.粒子與氧原子核的碰撞粒子()與氧原子核()的基態(tài)自旋都是0，考慮碰撞。(a)(b)

圖10.7圖10.7是質(zhì)心系中的圖像。與是兩個探測器。圖10.7(a)是在方向測得的一個粒子。而在()方向測得一個核。圖10.7(b)則正好與核交換了一下。設(shè)在方向測得一個粒子的散射振幅為，微分截面為。按照圖10.7(b)，核在方向的散射振幅與粒子在()方向的散射振幅相同，截面為。因此，在方向測得粒子(不論是,還是核)的微分截面為(31)

2.碰撞

對于兩個粒子的碰撞，考慮到