數(shù)學新課程數(shù)學標準必修4知識點總結

數(shù)學新課程數(shù)學標準必修4知識點總結數(shù)學新課程數(shù)學標準必修4知識點總結第一章三角函數(shù)(約16課時)1.任意角、弧度了角任意角的看法和弧度制，能進行弧度與角度的互化。2.三角函數(shù)（1）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；（2）借助單位圓中的三角函數(shù)線推導出引誘公式（2,的正弦、余弦、正切），能畫出的圖象ysinx,ycosx,ytanx，認識三角函數(shù)的周期性；（3）借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2]，正切函數(shù)在(性質（即單調性、最大和最小值、圖象與軸交點）（4）理解同角三角函數(shù)的基本關系式:,)上的22sin2xcos2x1,sinxtanxcosx（5）結合詳盡實例，認識yAsin(x)的實質意義；能借助計算器或計算機畫出yAsin(x)的圖象，觀察參數(shù)A,,對函數(shù)變化的影響；（6）會用三角函數(shù)解決一些簡單實責問題，領悟三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。第二章平面向量（約12課時）1．平面向量的實質背景及基本看法經(jīng)過力和力的解析等實例，認識向量的實質背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何意義。2．向量的線性運算（1）經(jīng)過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；（2）經(jīng)過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；（3）認識向量的線性運算性質及其幾何意義；3．平面向量的基本定理及其幾何意義（1）認識平面向量的基本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；（3）會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；（4）理解用坐標1表示的平面向量共線的條件。Page1of．平面向量的數(shù)量積（1）經(jīng)過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；、（2）領悟平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系；（3）掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系。．向量的應用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實責問題的過程，領悟向量是一種辦理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實責問題的能力。第三章三角恒等變換（約8課時）．經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導出兩角關匠余弦公式的過程，進一步領悟向量方法的作用；．能從兩角差的余弦公式化導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，認識它們的內在聯(lián)系；．能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括指引導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）參按例題例1海水受日月的引力，在必然的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。在平時情況下，船在漲潮時駛進航道，湊近船塢；卸貨后落潮時返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表：時刻0:003:006:00水深/米時刻9:0012:0015:00水深/米時刻18:0021:0024:00水深/米5.02.55.0（1）采納一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系，給出2整點時的水深的近似數(shù)值；（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全縫隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度為4米，安全縫隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必定停止卸貨，將船駛向較深的水域？Page2of新課標數(shù)學必修4知識點總結數(shù)學必修4知識小結第一章《三角函數(shù)》一，任意角與弧度制，角的定義：一條射線繞著極點旋轉到另一個地址所成的圖形。逆時針方向旋轉為正角，順時針方向旋轉為負角，不作任何旋轉形成零角。2，角的象限：角的極點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，則角的終邊落在哪一個象限，這個角就稱為哪一象限的角。第一象限的角2k,2k,kZ，第二象限的角2k,2k,kZ，22332k,kZ，第四象限的角2k,22k,kZ，22第三象限的角2k,3，所有與角終邊相同的角的會集：S|2k,kZ，弧度制：若是半徑為r的圓的圓心角所對的弧長為l，那么角的弧度數(shù)的絕對值是弧度與角度的互化：180radlr1180rad121801rad12r其中,r,l分別為扇形的圓心角弧25，弧長公式：lr扇形的面積公式：S扇形＝rl度、半徑、弧長增強訓練：1，已知角是第二象限角，試確定角2，的終邊所在的地址22，（1）若角與角的終邊關于x軸對稱，則與的關系是_____________________（2）若角與角的終邊關于原點對稱，則與的關系是_____________________3，以下列圖，試分別表示終邊落在陰影地域的角，若角是第四象限角，則是第_______象限角，在扇形中，已知半徑為8，弧長為12，則圓心角是_________弧度，扇形面積是__________6，已知一扇形的周長為40cm，當它的半徑和圓心角各取多少時，才能使扇形的面積最大？最大面積為多少？武漢市第十五中學高一數(shù)學組－數(shù)學必修4知識小結二，任意角的三角函數(shù)1，三角函數(shù)的第必然義：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點Px,y則siny，cosx，tanyx2，三角函數(shù)的第二定義：設是一個任意角，在角的終邊上任取一點P(x,y)，令OPr則sinyxy，cos，tanrrx113，三角函數(shù)線：有向線段MP，OM，AT分別為角的正弦線，余弦線，正切線，合稱三角函數(shù)線。4，同角三角函數(shù)關系平方關系：sincos1商數(shù)關系：22PPTMOAT2OM4A264-1-1sintan(k,kZ)cos25，sina與cos，sina與cos的大小關系角的終邊在陰影部分內，則sincos角的終邊在陰影部分外，則sincos角的終邊在陰影部分內，則sincos角的終邊在陰影部分外，則sincos增強訓練1，已知角的終邊上有一點P3a,4a，分別求sin,cos,tan的值2，已知cos0,tan0，試判斷角所在的象限3，在0,2內，使sincos成立的的取值范圍是_____________4，化簡：12sin5cos5_____________5，已知sin1，且角為鈍角，求cos,tan的值36，已知tan2，求sin,cos的值武漢市第十五中學高一數(shù)學組－數(shù)學必修4知識小結，已知tan2，求以下各式的值4）sin2cos222）sin3cossin2cos3cos4sin8，已知sincos7,0，求1）sincos2）sincos3）tan54三，三角函數(shù)的引誘公式公式一：sin2ksin,cos2kcos,tan2ktan公式二：sin＋－sin,cos＋－cos,tan＋tan公式三：sinsin,coscos,tantan公式四：sinsin,coscos,tantan公式五：sincos,cossin22公式六：sin＋cos,cos＋－sin引誘公式的規(guī)律：奇變偶不變，符號看象限。k,kZ的三角函數(shù)值可化為角的三角函數(shù)值。（當k為奇數(shù)時，函數(shù)名改變;當k2k,kZ所在象為偶數(shù)時，函數(shù)名不變。角的函數(shù)值前面加上視為銳角時，原函數(shù)值在2意思是：限內的符號。）增強訓練：1，求以下各三角函數(shù)的值（1）sin(945)（2）tan35331（3）3sin1200coscos585tan346的值2，（1）已知sin15，求sin233（2）已知cos3，已知4m，求sin的值631tan322，求cos2sincos2sin2的值1tan武漢市第十五中學高一數(shù)學組－數(shù)學必修4知識小結四，三角函數(shù)的圖像和性質，正弦函數(shù)：ysinx的性質１）定義域為R，值域為1,12）最小正周期為23）單調性單調增區(qū)間4）奇偶性奇函數(shù)）對稱性對稱軸：直線x2，余弦函數(shù)：ycosx的性質１）定義域為R，值域為1,12）最小正周期為2）單調性單調增區(qū)間2k,2k,kZ，單調減區(qū)間2k,2k,kZ4）奇偶性偶函數(shù)）對稱性對稱軸：直線xk,kZ，對稱中心：點3，正切函數(shù)：ytanx,x１）定義域為x|xR,x32k,2k,kZ，單調減區(qū)間2k,2k,kZ22222k,kZ，對稱中心：點k,0,kZ5k,0,kZ22k,kZ的性質k,kZ，值域為R2）最小正周期為23）單調性單調增區(qū)間4）奇偶性奇函數(shù)k,k,kZ，22k,0,kZ215）對稱性對稱中心：點4，三角函數(shù)的圖像變換三種基本變換：）周期變換：ysinysinx0，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹?）相位變換：ysinysin(x)，向左0或向右0平移個單位。“加左減右”3）振幅變換：ysinyAsinxA0，橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍。ysinyAsin(x)0,A0，三個參數(shù)不相同，所以要經(jīng)過三個基本變換，每一個基本變換改變一個參數(shù)。變換的步驟一般是先進行相位變換，再進行周期變換，最后進行振幅變換。，已知三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)yAsin(x)，A0,0解析式武漢市第十五中學高一數(shù)學組－數(shù)學必修4知識小結由最大（最小）值求出A，由周乞求出，由特別點的坐標代入求出。（注意，取零點時要注意是第一零點還是第二零點。）相鄰的兩個最高點或最低點的間距為一個周期；相鄰的兩個最值點的間距為半個周期；相鄰的兩個對稱中心的間距為半個周期；最高點和與之相鄰的對稱中心的間距為四分之一個周期增強訓練：，函數(shù)y2sin(1x)的周期，振幅，初相分別是_______,________,_______242，函數(shù)ycos(2xA．x2)的圖象的一條對稱軸方程是（）3，要獲取函數(shù)y=sin(2x-)的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象（）3A.向左平行搬動個單位B.向左平行搬動個單位36C.向右平行搬動個單位D.向右平行搬動個單位365,，則值域是（）664，若函數(shù)ycos2x2sinx的定義域為xA.,2B.2,2C.5，函數(shù)ycos(6，函數(shù)y177,D.2,444x)的單調遞加區(qū)間是6_______________________234-2o-4y4x2lg12sinx的定義域為__________________7，如圖是函數(shù)yAsin(x)(A0,0,2)的圖象的6x一部分。則函數(shù)的解析式是___________，函數(shù)y2sin(x)由y=sinx（xR）的圖象怎樣變換獲取的？武漢市第十五中學高一數(shù)學組－數(shù)學必修4知識小結第二章《平面向量》一，向量的基本看法1，向量的定義：既有大小又有方向的量，叫做向量。2，向量的表示：）字母表示：a，AB）幾何表示：可以用有向線段表示向量，但有向線段不是向量。3，向量的基本看法1）模：向量的大小，也就是向量的長度，也稱為模，記作a）零向量：長度為0的向量3）單位向量：長度為1的向量）共線向量：方向相同或相反的非零向量為共線向量，也稱平行向量，記作a//b。）相等向量：長度相等且方向相同的向量稱為相等向量。6）相反向量：長度相等且方向相反的向量稱為相反向量。增強訓練，以下說法正確的選項是（）（A）長度相等的向量就是相等向量（B）共線向量就是在一條直線上的向量C）零向量的長度是0（D）方向相同或相反的向量是平行向量A2，如圖，三角形ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別為AC，AB，BC的中點）寫出EF與共線的向量2）寫出所有與EF模相等的向量FEBD二，平面的線性運算1，向量的加法1）加法法規(guī)（1）平行四邊形法規(guī)：共起點（2）三角形法規(guī)：首尾相連CCDBABACABACADABBCAC7）相關結論（1）ababab（2）abba（3）abcabc，向量的減法減法法規(guī)三角形法規(guī)：共起點。CABACCB武漢市第十五中學高一數(shù)學組－6AB數(shù)學必修4知識小結，數(shù)乘運算）定義：規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記做a。長度與方向規(guī)定以下：（1）aa（2）當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反）相關結論：（1）aa（2）aaa（3）abab（4）00）向量共線定理：a為非零向量，則a//bba（為唯一確定的實數(shù)））三點共線問題：若A、B、C三點共線AB//AC或AB//BC推論：若OAmOBnOC，則A、B、C三點共線mn1增強訓練：，在平行四邊形ABCD中OAa,OBb,OCc,ODd,則以下運算正確的選項是()(A)abcd0(B)abcd0(C)abcd0(D)abcd0，化簡以下各式，結果為零向量的個數(shù)為________個1）ABBCCA2）ABACBDCD3）OAODAD4）NQQPMNMPDFCEA3，如圖，已知平行四邊形ABCD的邊BC，CD的中點分別為E，F(xiàn)，且AEa,AFb，試用a,b表示BC,CDB4，設P是三角形ABC所在平面內的一點，BCBA2BP，則（）(A)PAPB0(B)PBPC0(C)PCPA0(D)PAPBPC015，在三角形ABC中，已知D是AB邊上的一點，若AD2DB，CDCACB，則_____836，已知兩非零向量a,b，設OAab，OBa2b，OCa3b，判斷A，B，C的地址關系武漢市第十五中學高一數(shù)學組－數(shù)學必修4知識小結三，平面向量基本定理及坐標表示1，平面向量基本定理）平面向量基本定理：若是e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么關于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù),，使ae1e2）基底：不共線的兩個向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。兩個向量成為基底的唯一限制是不共線。任意兩個不共線的向量都可以作為平面的基底。3）向量共線定理的推論：若a1e11e2，b2e12e2，則a//b1221（交織相乘，積相等）4）向量的夾角：作OAa,OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角。顯然0,180，當0時，a，b同向；當180時，a，b反向，當90時，稱a，垂直，記作ab。，平面向量的正交分解及坐標表示）正交分解：把一個向量分解成兩個相互垂直的兩個向量，叫做平面向量的正交分解。2）坐標表示：取分別與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，關于平面內的一個向量a，則axiyj。我們將有序數(shù)對x,y叫做向量a的坐標，記作a＝x,y。）向量的坐標運算若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則abx1x2,y1y2，abx1x2,y1y2，ax1,y1）向量平行的坐標表示若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則a//bx1y2x2y10增強訓練1，設e1,e2為兩個不共線的向量,若ae1e2與b(2e13e2)共線，則_____9，在三角形ABC中，設ABa，ACb，點D在線段BC上，且BD3DC，則把AD用a,b表示為。3，ABCD的3個極點為A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，則它的第4個極點D的坐標是____________4，已知ABC的三個極點A、B、C及所在平面內一點P滿足PAPBPCAB，則點P與ABC的關系是：（）、P在ABC內部B、P在ABC外面武漢市第十五中學高一數(shù)學組－數(shù)學必修4知識小結C、P在直線AB上D、P在ABC的AC邊的一個三均分點上5，兩點P(4,-9),Q(-2,3),y軸與直線PQ交于M且PMMQ則為___________6,如圖，直線PQ經(jīng)過ABC的重心G，分別與AB，AC交于P,Q兩點，A11設APmAB，AQnAC，則_____mn7，如圖，ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，試用PQGBCAAB,AC表示CEB8，若向量a(1,2)，b(x,1)，，當a2b與2ab平行時，則x=______DEC9，如圖，平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，G為BF，DE的交點，若ABa,ADb，試以DFCa,b表示DE,BF,CG四，平面向量的數(shù)量積AGEBb，1，數(shù)量積的定義：兩個非零向量a，b，我們把數(shù)量abcos叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a其中是向量a，b的夾角。特別地，我們把acos叫做a在b方向上的投影。等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcos的乘積。2，數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a3，運算律：b＝ab3）abc＝acbcb＝ba2）ab＝a1）a4，相關結論：22a02）abab03）aa4）abab1）05）ab22222a2abb6）ababab，數(shù)量積的坐標表示：若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則abx1x2y1y2，坐標運算的相關結論221）若a＝x,y，則axy2）若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則abx1x2y1y2010武漢市第十五中學高一數(shù)學組－數(shù)學必修4知識小結ab3）cosabx1x2y1y2xy2121x2y222，向量與三角形的“四心”已知點P是三角形所在平面內的一點，）若PAPBPC0，則點P是三角形ABC的重心；）若PAPBPBPCPCPA，則點P是三角形ABC的垂心；2223）若PAPBPC，則點P是三角形ABC的外心；；）令ABc,BCa,CAb,若aPAbPBcPC0，則點P是三角形ABC的內心。增強訓練121，若等邊三角形ABC的邊長是23，平面內一點M滿足CMCBCA，則MAMB。63，b2，ab7，則a與b的夾角的余弦值為_________________2，若a13，a(2,1),b(3,4),則向量a在向量b方向上的投影為___________________4，若向量a(1,2)，b(x,1)，當a2b與2ab垂直時，求x.5，已知ab2,8，ab8,1