高中數(shù)學(xué)：學(xué)案2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第三冊條件概率

1.1條件概率導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.在具體情境中，了解條件概率.掌握條件概率的計算方法.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題【自主學(xué)習(xí)】知識點一條件概率條件設(shè)46為兩個事件，且夕(4>0含義在事件4發(fā)生的條件下，事件且發(fā)生的條件概率記作P{B\A)讀作4發(fā)生的條件下2發(fā)生的概率計算公式(1)事件個數(shù)法：尸(用冷=當(dāng)黑(2)定義法：P(引用一生,知識點二條件概率的性質(zhì)(1)0。孫)W1；(2)PUH)=1；⑶如果8與?；コ?，則P(BUC\A)=P[B\A)+P[C\A).【合作探究】探究一利用定義求條件概率【例1】一個袋中有2個黑球和3個白球，如果不放回地抽取兩個球，記事件“第一次抽到黑球”為4事件“第二次抽到黑球”為區(qū)(1)分別求事件4B,4C4發(fā)生的概率；(2)求產(chǎn)(冽冷.［思路點撥］首先弄清“這次試驗”指的是什么，然后判斷該問題是否屬于古典概型，最后利用相應(yīng)公式求解.［解］由古典概型的概率公式可知2⑴夕(4=三，52X1+3X2

2X1+3X2

5X4_8__220=?110-101~2=4'5歸納總結(jié)：.用定義法求條件概率2(而用的步驟(D分析題意，弄清概率模型；(2)計算產(chǎn)(冷,P(AC助;(3)代入公式求P(B\A)=.結(jié)合古典概型分別求出事件46的概率，從而求出一(引用，揭示出夕(冷,產(chǎn)(而和夕(用用三者之間的關(guān)系.【練習(xí)1］甲、乙兩市都位于長江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,兩地同時下雨占12%,記尸(4=0.2,P(而=0.18,PC4C而=0.12,則夕(4囪=,P{B\A)=.…山、2 3【口案】g5「上八小&ICB)2八&4C功3］［由公式產(chǎn)儲 a?―=三，p^b\A) a..-=m］探究二利用基本事件個數(shù)求條件概率【例2】現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率.［思路點撥］第(1)、(2)問屬古典概型問題，可直接代入公式；第(3)問為條件概率，可以借用前兩問的結(jié)論，也可以直接利用基本事件個數(shù)求解.［解］設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B,則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AQB.(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事件數(shù)為〃(Q)=解=30,根據(jù)分步計數(shù)原理"(4)=A；A；=20,于是產(chǎn)(冷=招=噂=1r\Q)303

/\e衛(wèi)/ 7.2丁日/qn(AC\B)122(2)因為=A；=12,于是尸(40為=「=正=三Z7(”) 305(3)因為〃(/n⑤=12,n[A)=20,所以—(所以—(用用=■n(AQB)123

n(A)=20=5'歸納總結(jié):【練習(xí)2】本例條件不變，試求在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到語言類節(jié)目的概率.［解］.設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件用第2次抽到語言類節(jié)目為事件。，則第1次抽到舞蹈節(jié)目、第2次抽到語言類節(jié)目為事件in?！?4)=A；XA；=20.〃(力n。=A；XA；=8.P{C\A)"400P{C\A)"400__8__2=n(A)=20=5探究三條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0?9中任選一個.某人在銀行自動提款機上取錢時，忘了密碼的最后一位數(shù)字.求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.［思路點撥］(D不超過2次，即第1次按對或第1次未按對第2次按對；(2)條件概率，利用互斥事件的條件概率公式求解.［解］設(shè)第/次按對密碼為事件4(/=1,2),則4=4U(%⑷表示不超過2次按對密碼.(1)因為事件4與事件互斥，由概率的加法公式得以力)=/(4)+〃(44)=1 9X1 1W+10X9=?一1(2)用8表示最后一位按偶數(shù)的事件，則。(川皮=夕(4|夕+。((力4)|而=三十□4X125X4=?歸納總結(jié)：.利用公式peua4)=p(引用+尸(。⑷可使條件概率的計算較為簡單，但應(yīng)注意這個性質(zhì)的使用前提是“B與。互斥”..為了求復(fù)雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率.【練習(xí)3］在一個袋子中裝有10個球，設(shè)有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率.［解］設(shè)“摸出第一個球為紅球”為事件4"摸出第二個球為黃球”為事件B,“摸出第三個球為黑球”為事件CE，、1 ,e1X2 1 /八1X3 1川P⑺=行，P(岫=10X9=45*〃 =10X9=30'所以P{B\A)= =45-io=9,’9冷==30-10=3-9 1 5所以P(BUC\A)=P(B\A)+尸⑷A)=-+-=-5所以所求的條件概率為課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題9 11.根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為強下雨的概率為著,Q既吹東風(fēng)又下雨的概率為而.則在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為（ ）A.tC.8HD.9H【答案】C8【解析】在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為需=5,故選C.304.根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，某酒店一商務(wù)房間1天有客人入住的概率為匚，連續(xù)2天有客人入住的概率為W，在該房間第一天有客人入住的條件下，第二天也有客人入住的概率為（）TOC\o"1-5"\h\zA.- B.- C.- D.-3 2 5 4【答案】D—— —4 3 3【解析】設(shè)第二天也有客人入住的概率為P，根據(jù)題意有解得尸=了，5 5 4故選D..已知力與6是兩個事件，P⑵=；,P（g=：,則等于（）o1-1-4

R.【答案】:D解析：由條件概率的計算公式，可得尸（4皮=例=:=）Iyo）iZ4.甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件力為“三個人去的景點不相同”，6為“甲獨自去一個景點”，則概率夕（人面等于（）1C1C,2D-3【答案】：C解析：由題意可知，〃（0=C；22=12,n{AB）=A：=6.,n（AB）6 1.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A.0.8 B.0.75C.0.6 D.0.45【答案】：A解析：根據(jù)條件概率公式。（用用=鏢，得所求概率為瞿=0.8.1AA） U./□

6.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記4=｛兩次的點數(shù)均為奇數(shù)｝,月=｛兩次的點數(shù)之和為4｝,則夕(引用等于()1Bq

2

D.-【答案】：C解析:由題意事件力包含的基本事件是(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)共9個,在月發(fā)生的條件下,事件4包含的基本事2件是(1,3),(3,1)共2個，所以尸(6]4=石.7.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件4：“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件8：“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(8|4)等于()1-1-41-2

B.D.【答案1B解析：尸(4=罟=|,〃(的=!$,由條件概率的計算公式得饋8.從1,2，3,4，5,6,7,8,9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，5為“第二次取到的是3的整數(shù)倍"，則/?A)【答案】B【解析】由題意P(A)='|，事件AflB為“第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”，若第一次取到的為3或9,第二次有2種情況；若第一次取到的為1,5,7,第二次有3種情況，故共有2x2+3x3=13個事件，13 13P(AnB)=-^-=—,9x872由條件概率的定義P(B|A)=Pf丫)=曇,故選民P(A)40二、填空題9.投擲兩顆均勻的骰子，已知點數(shù)不同，設(shè)兩顆骰子點數(shù)之和為人，則啟6的概率為.2【答案】：75解析：設(shè)/=“投擲兩顆骰子，其點數(shù)不同”，B=“啟6”，=尸(第=§，.?.尸⑷⑷10.設(shè)某種動物能活到20歲的概率為0.8,能活到25歲的概率為0.4,現(xiàn)有一只20歲的這種動物，它能活動25歲的概率是.【答案】：0.5解析:設(shè)事件力為“能活到20歲”，事件6為“能活到25歲”，則產(chǎn)(4=0.8,P⑵=0.4,而所求概率為夕(6］冷，由于醫(yī)4故〃(力而=戶(而，

羊n―仆世)網(wǎng)歷0.4十足P{B\A)-汽冷一氣冷一。.8-0-5'所以一只20歲的這種動物能活到25歲的概率是0.5..一個口袋中裝有6個小球，其中紅球4個，白球2個.如果不放回地依次摸出2個小球，則在第1次摸出紅球的條件下，第2次摸出紅球的概率為.【答案】|2【解析】尸(制外=誓整=等=：，故【答案】為］.P(A)25 534 2.某氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率為不，刮四級以上風(fēng)的概率為百，既刮四級以上的風(fēng)又下雨的概率為、，設(shè)A為下雨，B為刮四級以上的風(fēng)，則P(B\A)=,P(A|B)=.3［答案］-,—8 42 1【解析】由已知P(A)=jpP(B)=—,P(AB)=—,：.P(B|A)=P(AB)：.P(B|A)=P(AB)

P(A)P(A|B)=P(AB)P⑻3 33“故【答案】為限?三、解答題13.某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學(xué)共同在一社區(qū)進行民意調(diào)查.參3加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5:3,其中甲班中女生占：，乙班中女生占;.求該社區(qū)居民遇到一位進行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率.【答案】【解析】如果用4與■分別表示居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班，B表示是女生.TOC\o"1-5"\h\z5 5 -3則根據(jù)已知，有P(A)=二二三，尸(㈤二三，3+3X o3 - 1而且尸(8|A)=g,P(B\A)=~,題目所要求的是尸(8),- -53311由全概率公式可知尸(8)=尸(A)P(8|A)+P(A)尸(8|4)=￡￡+/彳=彳.8583214.已知口袋中有2個白球和4個紅球，現(xiàn)從中隨機抽取兩次，每次抽取1個.(1)若采取放回的方法連續(xù)抽取兩次，求兩次都取得白球的概率；(2)若采取不放回的方法連續(xù)抽取兩次，求在第一次取出紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率.3【答案】(1) (2)-21【解析】(1)兩次都取得白球的概率尸二工'Z=^.oo9(2)記事件A：第一次取出的是紅球；事件8：第二次取出的是紅球，4x5? 4x2?則尸(A)===±,P(AB)=-=-6x53 6x55利用條件概率的計算公式，可得P(例A)=考黑=]x：=±..某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去8餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.【答案】0.7.【解析】設(shè)4="第1天去/餐廳用餐"，耳="第1天去6餐廳用餐"，4=“第2天去/餐廳用餐”，則。=4U4,且A與用互斥.根據(jù)題意得P(A)=尸閨)=05,P(&lA)=0.6,P(4l即=0.8,由全概率公式， 得P(A2)=P(Ai)P(A2\Ai)+P(Bi)P(A1\B,)=0.5x0.64-0.5x0.8=0.7,因此，王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.7..10張獎券中有3張有獎，甲，乙兩人不放回的各從中抽1張，甲先抽，乙后抽.求：(1)甲中獎的概率；(2)乙中獎的概率；(3)在甲未中獎的情況下，乙中獎的概率.3 3 1【答案】⑴?⑵歷;⑶釬3【解析】(1)設(shè)“甲中獎”為事件A，則P(A)=6.(2)設(shè)“乙中獎”為事件8,則P(B)=P(A8+XB)=P(AB)+P(^5),ao1 _ 73 7又尸(A3)=—x—=—,P(AB)=—x-=—,10915 10930? - 17 9 3所以尸(5)=P(A3)+尸(A5)=—+—=一=一.15303010(3)因為砥否=〈,P(AB)=^-?所以尸(81回)=仝學(xué)=岑二.10 30 P(A)310B組能力提升一、選擇題.將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件力表示“三個點數(shù)都不相同”，8表示“至少出現(xiàn)一個6點“，則概率夕（）面等于（ ）60A-9l1B-2591c.—D.18216【答案】：A解析：因為〃（4|而=然，,rcldc；6060PkAB)-63-63-216，- 53 12591P(助一\/(B)—1 3—1 -6 21b"216,60cri,z,RAB)21660所以尸(川而一毆-91-91216.從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張，將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，則第2張也是假鈔的概率為（）17B，38

【答案】：D解析：設(shè)事件月表示“抽到2張都是假鈔"，事件B為“2張中至少有一張假鈔”，所以為“4㈤.而-C的=卷=。P⑦*=技:?P(A\協(xié)=4瑞=卷.二、填空題.某校組織甲、乙、丙、丁、戊、己等6名學(xué)生參加演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在''學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生丙第一個出場的概率為.【答案】y4【解析】設(shè)事件A：“學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”;事件8：“學(xué)生丙第一個出場”，對事件A,甲和乙都不是第一個出場，第一類：乙在最后，則優(yōu)先從中間4個位置中選一個給甲，再將余下的4個人全排列有CiA：種；第二類：乙沒有在最后，則優(yōu)先從中間4個位置中選兩個給甲乙，再將余下的4個人全排列有A；?A：種，故總的有〃⑷=C：?A：+A?A：.對事件AB,此時內(nèi)第一個出場,優(yōu)先從除了甲以外的4人中選一人安排在最后，n(AB)再將余下的4人全排列有C：A：種，n(AB)故P(例A)== 1 r 4=7'故故P(例A)=n(A)C；A：+A1A：4 44.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以4，4和4表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是.①2(8)=二；②P(BlA)=t；③事件B與事件4相互獨立；④4,4，4是兩兩互斥的事件.【答案】②④【解析】因為每次取一球，所以4，4，4是兩兩互斥的事件，故④正確;55

X 因為尸(A)*,P⑷=焉,「(&)=■，所以a)=饋^=改/1=(10TOC\o"1-5"\h\z故②正確；24 34 v X 同理p出4)=*=修=巴，尸㈤&)=必=『=&,”。(兒) 2_ 11 p(a3) ± 11,10 105 5 2 4 3 4 9所以P(8)=P(%)+P(%)+P(%)=而*行+歷x^+^x^=五，故①③錯誤,故【答案】為②④.三、解答題.現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞