安徽大學(xué)-2008–2009-學(xué)年第-1-學(xué)期電動力學(xué)試卷

安徽大學(xué)2002009學(xué)年第1學(xué)期《電動力學(xué)》考試試卷(A卷)(時間120分鐘)院（系）物理與材料科學(xué)專業(yè) 姓名 學(xué)虧題虧 得分

四 總分一、簡答(每小4分,共20分;無需推,不限字,建議回答少50字) 得分.,?.直接寫出庫倫規(guī)范和洛倫茲規(guī)范的表達(dá)式.(如果忘了,的推導(dǎo))?、計算(每小15,共15分) 得分(15分)l,a,b.忽略同軸電纜的電阻.,V,,.均勻帶電,I.,載有穩(wěn)定.???????++++++++++?????(5分)E.(5分計算中間部分的磁感強(qiáng)度(5分)計算中間部分的PoyntingS、綜合題（每小題20分，共20分）

=1E×B.μ0得分(20分)如圖所示,矩形波導(dǎo)管,管壁看成沒有電阻的導(dǎo)體,中間看成真空.a,b,a>.zTE波,ω,k,真空中的zc.磁感強(qiáng)度的zBz

滿足微分方程（?2

?2 ω2 ＼z?x2+?y2+ c2?k2 z1

(x,y)=0,和邊界條件

z1 =?B

1 =, ?B

1?B

=0.?B?x1?Bx=0

?x 1x=ax

?y1zy=0z

?y1

zy=bzazby.(12分)試采用分離變量法計算B 的本征解.z(8分)k.四、證明(3小題，分) 得分(15分)ΦA(chǔ)定.

E

B

=B確(10分),:電場強(qiáng)度打下面等式確定?tE=??Φ??A.?t5分)對千確定的E和B,如果我們選取一組,A)A，=A+

Φ

?λ,?t其中λ是任意的一標(biāo).證:( ,A)和,A)對應(yīng)千相同的E 和B.(10分)Poynting的矢量定義為S=E×H,電磁場的能量密度的定義為

w=1EE2

1μH2.20 2 0(5分)證明:,有下面的等式成立?·S=

?w.??t?(5分),Poynting矢量的含義.) 一個參考系相對千另外一個參考系S沿其x軸正方向以大小為v勻速運(yùn),圖所示.此時,兩個參考系中描述同一時空點(diǎn),其時空坐標(biāo)的關(guān)系是2y-vOˉO xzˉz= γ?vt)γ=(1v2/c2)?1/2.

= =zx=γ(tx

(1))有一質(zhì)點(diǎn)在參考系ˉ中以速度ˉ沿ˉ.:參考系S中描述該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度u為 ˉ+vu=1+ˉv/c2.(5分)證明:.(5分)S中兩個事件之間的時空間隔定義為I=c2(?t)2?(?x)2?(?y)2?(?z)2,應(yīng)用變換關(guān)系(1)證明:這一間隔在參考系Sˉ中是不變的.(5分)I>0,我們稱這樣的間隔為類時間隔.證明:類時間隔情況下,某一參考系S中不同時刻發(fā)生的事, 無法通過洛倫茲變換找到另一參考系S事件同時發(fā)生.附：常用的公式和一些參數(shù)的定義Maxwell方程組

使得在S，中,兩個f?·D=ρf

, E= ?B?????·B=0, ?×H=

+?D其中 1

f ?tD=E0E+P,

H= B?Mμ03PAGEPAGE8一些可能用到的數(shù)學(xué)公式)=A×(?×B)+B×(?×A)+(A+(B?·(fA)=f(?·A)+A·(?f)?×B)=B×A)?A×B)?×(fA)=f(?×A)?A×)?×(A×B)=(B?(A+A(?)?B(?《電動力學(xué)》考試參考答案(A)一、簡答題(每小題4分,共20分;無需推導(dǎo),不限字?jǐn)?shù),建議回答少千50字),,定.極性分子在外場中,打原來的混亂狀態(tài)過渡到不混亂狀態(tài),是轉(zhuǎn)動的過程.沒有極性,變得有極性,.為了保證隨時間變化的情況下,.=0,洛倫茲規(guī)范為+1?φ=0.c2?t:.1.(15分)(5分)解:,r,h的圓筒,打千兩端沒有電場通量,所以總的電場通量為E2πrh=hλ/E0,其中λ表示單位長度上的電荷數(shù).得到電場強(qiáng)度之后,可以計算出電勢差rV=所以最后得到的電場強(qiáng)度大小為

b λa E=

dr=V

λ lnb2πE0 arlnba方向沿徑向正方向.(5分)解:,r,,分和電流的關(guān)系為B2πr=μ0I這樣得到

μ0IB=2πr方向沿繞軸的方向,和內(nèi)部的電流方向構(gòu)成右手關(guān)系.(5分)解:,所以其矢量積的大小為VI方向沿內(nèi)部的電流方向.、綜合題（分）1.(20分)

S=2πr2lnba(12分)解:采用分離變量,B 可以寫成zzB(x,y)= X(x)Y(y)z把這個放入微分方程中,可以得到1d2X+

1d2Y

+ω2

2=0Xdx2 Ydy2 c2 k ,考慮到部分相互獨(dú)立,我們引入1d2X=

2 1d2Y 2其本征值滿足關(guān)系式

Xdx2ω2

?kx??2x??

Ydy2 =?ky (2)?2 2?方程(2)的通解是

kc2

k k =0y

(3)X(x)= C1coskxx+D1sinkxx,考慮邊界條件,我們可以得到

Y(y)=C2coskyy+D2sinkyy. (4)D =0,

= mπ, D =0, k =nπ, m,n=0,1,2,...1 x a

2 y b那么Bz的解為 mπx nπyBz=AcosBz

cosa b其中A是任意系數(shù),根據(jù)輸入的電磁波的能量確定,n和m不能同時為0.(8分)解:從方程可以得到?2 ω2?

2 2

m2π2

n2π2k=c2

k k x y

? ?c2 a2 b2?或者寫成?

Ik=

m2π2

?n2π2c2 a2

b2.要保證波導(dǎo)管中有電磁波傳播,要求k為實(shí)數(shù),所以根據(jù)方程(3),有ω2 2 2 m2π2

+n2π2c2>kx+ky= a2 b2那么后面一項(xiàng)最小的可能取值是

m=1, n=0.此時,截止頻率ω播

便是這最小的頻率,低千這個頻率的電磁波無法在這一波導(dǎo)管中傳πc1.(15分)

ωc= a.(10分)從麥克斯韋方程組知?×E=??B=??×A)=×?A?t ?t ?t得到?× E+?A =0?t考慮到任意一個標(biāo)量的梯度是無旋的,我們引入標(biāo)量ΦE+?A=?t

??Φ這樣,當(dāng)隨時間變化的場退化到不隨時間變化的情形時,標(biāo)量Φ是靜電場中的電勢,這樣電場強(qiáng)度表示為?t(5分)證明:?t

E=?A. 口?×A，=?×(A

+?λ)=?×A+0=B并且?A，

?λ ?A

??A2.(10分)

= ? ? =? =E. 口?t ?t ?t ?t ?t(5分)證明:,?t?×H)=H×E)?E×H)=·?B?t

? E ?D? ?t11同時11??w ?

·?D

?H·?B=? ( EE2+ μH2)=?t ?t 20其中D所以

2=E0E,

B=μ0H

?t ?t?·S= ?w. 口??t(5分)從上面的關(guān)系式可以看出,Poynting,所以Poynting.,穿過單位面積的電磁場能量.3.(20分)dt):中的速度dtˉ=

dˉ

(x?vt)] =dx?vdt

dx?v =u?vc2c2c2c2dtˉ

d[γ(t?vx)] dt?

vdx 1 vc2dt c2dxu??1改寫一下,得到 ˉ+vdxu??1u=1+ˉv/c2. 口):當(dāng)ˉ=,,可以得到c+vu= =c,1+ cv/c2即光速不變.(5分):I=?t2??ˉ2??ˉ2??ˉ2v=c2(γ(?t?

?x))2?(γ(?x?v?t))2?(?y)2?(?z)2c2? + 2

2(v2

1) 2

?