五年級奧數(shù)專題05：帶余數(shù)除法

/7…，依題意知設(shè)這串數(shù)為a1,a2,a3, a1992,…，依題意知a1=1a2=1+1a3=1+1+2a4=1+1+2+3a5=1+1+2+3+4a1992=1+1+2+3+???+1991=1+9961991因為9965=199-1,19915=3981-1,所以9961991的積除以5余數(shù)為1,1+9961991除以5的余數(shù)是2.因此,這串數(shù)左起第1992個數(shù)除以5的余數(shù)是2.9因為222222=2111111=21111001=211171113所以222222能被13整除.又因為2000=6333+2222…2=222…200+22~~X~T--'2000個19982213=1…9所以要求的余數(shù)是9.52設(shè)小明應(yīng)扔n次，根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為1+2+3+?-+n=—n(n+1)2…… 1依題意知，2n(n+1)能被106整除，因此可設(shè)3n(n+1)=106a即n(n+1)=212a又212a=2253a,根據(jù)n與n+1為兩個相鄰的自然數(shù)，可知22a=52(或54).當22a=52時,a=13.1當22a=54時,a=132,a不是整數(shù)，不符合題意舍去.因此，n(n+1)=5253=52(52+1),n=52，所以小明扔52次.76假設(shè)十萬位和萬位上填入兩位數(shù)為 x,末兩位上填入的數(shù)為 y,(十位上允許是 0),那么這個七位數(shù)可以分成三個部分3007200+10000X+y,3007200除以101的余數(shù)是26,10000X除以101的余數(shù)為X,那么當x+y+26的和是101的倍數(shù)時，這個七位數(shù)也是101的倍數(shù).如：當y=1時，x=74；當y=2時，x=73,……而當y=76時，x=100,而0x99,x不可能是100,所以y也不可能是76.由此可知末兩位數(shù)字是76時，這個七位數(shù)不管十萬位上和萬位上的數(shù)字是幾 ，都不是101的倍數(shù).1設(shè)這個自然數(shù)為m,且m去除63,90,130所得的余數(shù)分別為 a,b,c,則63-a,90-b,130-c都是m的倍數(shù).于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是m的倍數(shù).又因為258=2343.則m可能是2或3或6或43(顯然m1,86,129,258)，但是a+b+c=25，故a,b,c中至少有一個要大于8(否則,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,這與a+b+c=25矛盾).根據(jù)除數(shù)m必須大于余數(shù)，可以確定m=43.從而a=20,b=4,c=1.顯然,1是三個余數(shù)中最小的.15我們把1至IJ30共30個自然數(shù)根據(jù)除以7所得余數(shù)不同情況分為七組 .例如，除以7余1的有1,8,15,22,29這五個數(shù)，除以7余2的有2,9,16,23,30五個數(shù)，除以7余3的有3,10,17,24四個數(shù)，…要使取出的數(shù)中任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù)，那么能被7整除的數(shù)只能取1個，取了除以7余1的數(shù)，就不能再取除以7余6的數(shù)；取了除以7余2的數(shù)，就不能再取除以 7余5的數(shù)；取了除以7余3的數(shù)，就不能再取除以7余4的數(shù).為了使取出的個數(shù)最多，我們把除以7分別余1、余2、余3的數(shù)全部取出來連同 1個能被7整除的數(shù)，共有5+5+4+1=15(個)所以，最多能取出15個數(shù).10.347根據(jù)使組成的符合條件的三位數(shù)，其最大三位數(shù)盡可能小的條件，可知它們百位上的數(shù)字應(yīng)分別選用 3,2,1;個位上的數(shù)字應(yīng)分別選用 7,8,9.又根據(jù)最小的三位數(shù)是 3的倍數(shù)，考慮在1。9中應(yīng)填5,得159.則在307,20被3除余2,余1,選用4,6分別填入圓圈中得347,268均符合條件.這樣,最大三位數(shù)是347,次大三位數(shù)是268,最小三位數(shù)是159..每次放回后，桌面上的紙片數(shù)都增加 6的倍數(shù)，總數(shù)一定是6的倍數(shù)加5.而1991=6331+5，所以是可能的..解法一由(1)式得:8與a相乘的積加上余數(shù) 7,為第二次商，即8a+7為第二次商，同樣地，第二次商與8相乘的積加上余數(shù)1,為第一次商，即8(8a+7)+1為第一次商，第一次商與 8相乘的積加上余數(shù) 1,為所求的自然數(shù)，即8[8(8a+7)+1]+1為所求的自然數(shù).同理，由(2)式得所求的自然數(shù)為17(2a17+15)+4由此得方程8[8(8a+7)+1]+1=17(2a 17+15)+48(64a+57)+1=17(34a+15)+4512a+457=578a+25966a=198a=3因此，所求自然數(shù)為512a+457=5123+457=1993解法二TOC\o"1-5"\h\z依題意可知所求的自然數(shù)有兩種表示方法 ：⑴@⑦①①(8) a<8(2)2a15⑥⑦ 2a<17根據(jù)數(shù)的十進制與其他數(shù)的進制的互化關(guān)系 ，可知所求的自然數(shù)是⑴a83+782+181+1=512a+457(2)2a172+15171+4=578a+259由此得512a+457=578a+259

因此，所求的自然數(shù)為512a+457=5123+457=1993［注］解法一根據(jù)被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)”的關(guān)系式，由最后的商逐步推回到原來的自然數(shù)，需要一定的逆向思考能力，解法二要求小選手熟悉數(shù)的十進制與其他數(shù)進制之間的互化 ^.每人都要把手中的錢用完，而且盡可能多買幾本書，意即3元一本的簡裝書要盡量多買，4元一本的精裝書要盡量少買甚至不買.我們分三種情況進行討論：(1)當錢數(shù)被3整除時，精裝書就可以不買；(2)當錢數(shù)被3除余1時,3k+1=3(k-1)+4,精裝書只要買1本淇中k為大于2的自然數(shù).(3)當錢數(shù)被3除余2時,3k+1=3(k-2)+8,精裝書只要買2本淇中k為大于2的自然數(shù).在10至50這41個自然數(shù)中，被3除余1和2的數(shù)均各有14個.所以全班一共買精裝書14+142=42(本).因為73=343<1991<2401=74,不考慮余數(shù)，能用空瓶換三次汽水，由于每7個空瓶可換一瓶汽水，原有空瓶不一定能被7整除,那么第二次以后換時要考慮上一次的余數(shù) ，最多能用空瓶換四次汽水.173)=1707.2825173)=1707.28251991(1+-—772如果買1707瓶汽水，17077=243-6可換243瓶汽水，(243+6)