一元函數(shù)微積分學內(nèi)容提要

第四部分一元函數(shù)微積分第11章函數(shù)極限與連續(xù)[內(nèi)容提要]一、函數(shù)：(138-141頁)1、函數(shù)的定義：對應(yīng)法則、定義域的確定、函數(shù)值計算、簡單函數(shù)圖形描繪。2、函數(shù)分類：基本初等函數(shù)(幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)的統(tǒng)稱)；復合函數(shù)(yf[(x)])；初等函數(shù)(由常數(shù)和基本初等函數(shù)構(gòu)成的，且只能用一個式子表達的函數(shù))；分段函數(shù)；隱函數(shù)；幕指函數(shù)(yf(x)g(x));反函數(shù)。3、函數(shù)的特性：奇偶性；單調(diào)性；周期性；有界性.二、極限：1、極限的概念：(141-142頁)定義1:(數(shù)列極限)給定數(shù)列4,如果當n無限增大時，其通項xn無限趨向于某一個常數(shù)a,即區(qū)a無限趨近于零，則稱數(shù)攵Lxn以-a的極限，或稱數(shù)列xn收斂于a,記為limxna,若xn沒有極限，則稱數(shù)列xnn發(fā)散。o定義2:(x x0時函數(shù)f(x)的極限)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域U(x0,)內(nèi)有定義，當x無限趨向于xo(xxo)時，函數(shù)f(x)的值無限趨向于A,則稱x xo時，f(x)以A為極限，記作limf(x)A。xXo左極限：設(shè)函數(shù)f(x)在點Xo的左鄰域(Xo ,%)內(nèi)有定義，當XX。且無限趨向于x0時，函數(shù)f(x)的值無限趨向于常數(shù)A,則稱x xo時，f(x)的左極限為A,記作f(xoo)limf(x)AoxXo右極限：設(shè)函數(shù)f(x)在點Xo的右鄰域(Xo,Xo )內(nèi)有定義，當xXo且無限趨向于xo時，函數(shù)f(x)的值無限趨向于常數(shù)A,則稱x xo時，f(x)的右極限為A,記作f(xoo)limf(x)AoxXo定義3:(x趨于無窮大時函數(shù)f(x)的極限)設(shè)f(x)在區(qū)間xa(ao)時有定義，若x無限增大時，函數(shù)f(x)的值無限趨向于常數(shù)A,則稱當工一……此f(x)以A為極限，記作limf(x)Ax左極限：設(shè)函數(shù)￡仁)在(，a］上有定義，若x時，f(x)的值無限趨近于常數(shù)A,則稱當x時,-f(x)以A為極陋，記作limf(x)A。■I-I-.V Y右極限：設(shè)函數(shù)f(x)在［a,)上有定義，若x時，f(x)的值無限趨近于常數(shù)A,則則稱當x時，f(x)以A為極限，記作limf(x)A。---— x注意：①極限與左右極限的關(guān)系limf(x)Af(x00)f(x00)Axxo［imf(x)A Jimf(x)Jimf(x)A.②討論極限limf(x)時，與f(x)在x0處是否有定義無關(guān)，與函數(shù)值f(x0)Xxo也無關(guān)。2、極限的性質(zhì)：(143頁)(1)唯一性：若limf(x)存在，則極限值唯一。o(2)有界性：若limf(x)A(limf(x)A),則f(x)在U(x0,)內(nèi)(x充分大時)是有界的；o(3)保號性：設(shè)limf(x)A,如果A0(或A0),則在U(x0,)內(nèi),x%o有f(x)0(或f(x)0);反之，如果在U(x。，)內(nèi)有f(x)0(或￡30),則必有A0(或A0).o推廣：設(shè)limf(x)A,limg(x)B,如果AB,則在U(x0,)內(nèi)，有xx0 Xxof(x)g(x);反之，如果在U(x°,)內(nèi)有f(x)g(x),則必有AB。注意：當x 時，保號性結(jié)論類似。3、無窮小量與無窮大量：(146-149頁)(1)無窮小量與無窮大量的概念及關(guān)系：無窮小量：若limf(x)0,則稱函數(shù)”*)為*x0(或x )時的無窮小量。xx0(x)(無窮小量是函數(shù)有極限的特殊情形，即limf(x)0)xx0(x)無窮大量：若x%(或x )時，f(x)無限變大，則稱f(x)為

Xo)Xo)時的無窮大量(無窮大量是函數(shù)沒有極限的特殊情形；即limf(x) )XX0(X)(2)值得注意的幾個關(guān)系：①極限與無窮小量關(guān)系：limf(X)Af(x)A,(其中為無窮小，即lim0);②在自變量的同一變化過程中，若f(X)為無窮大量，則,為無窮小量；f(X)若f(X)(f(X)0)為無窮小量，則，為無窮大量。f(X)0③若limf(x) ,則稱f(x)在U(X0,)(或xM)內(nèi)為無界函數(shù)。XX0(X)即無窮大量必為無界函數(shù)，但無界函數(shù)不一定為無窮大量 。例如：f(x)xsinX在(，)為無界函數(shù)，但當X時，f(x)不是無窮大量。(3)無窮小量的比較：設(shè)x時，(x)0,(x) 0且lim—兇c,x(x)1)若c0為常數(shù)，則稱X時(X)與(X)為同階無窮?。惶貏e的：當c1時，則稱X時(X)與(X)是等價無窮小，記作：X時(x): (x)02)若c0,則稱x時(X)是比(X)高階的無窮小，記作(X)o((X));3)若c,則稱x時(X)是比(X)低階的無窮小。(4)無窮小量的替換定理：設(shè)X時，(x), (x),i(x),i(x)都是無窮小量，且(x):i(x)(x):1(x), 極限lim l(x)存在，貝Ulim (x) lim l(x)。x 1(X) x (x) x i(x)

例:1cosx-：例:1cosx-：-2tanxlim-22

x0x2xlimq」lim-^-3- -x0x3xx0x3x912，入函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)的概念：(149-147頁)名 稱定 義函數(shù)在點％連續(xù)若limf(x)f(xo),則稱f(x)在點xo處連續(xù).xxo或若limyolimf(xo x)f(xo) oxo xo u u則稱f(x)在點xo處連續(xù).左連續(xù)若limf(x) f(xo),稱f(x)在點xo處左連續(xù).xxo右連續(xù)若limf(x) f(xo),稱f(x)在點xo處右連續(xù).xxo函數(shù)在點xo處連續(xù)的充要條件f(x)在點xo處左連續(xù)且右連續(xù).即limf(x)limf(x)f(xo)xxo xxo函數(shù)在(a,b)內(nèi)連續(xù)若f(x)在(a,b)內(nèi)的每一點均連續(xù)，稱f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù).函數(shù)在［a,b］上連續(xù)若f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在點a右連續(xù)(limf(x)f(a)),xa在點b左連續(xù)(limf(x)f(b)),稱函數(shù)在［a,b］上連續(xù).xb2、間斷點及其分類：(147-151頁)定義：函數(shù)f(x)的不連續(xù)點叫其間斷點分類：設(shè)xo為f(x)的間斷點

(1)若f(Xo0)及f(Xo0)均存在，則Xo叫f(x)的第一類間斷點,若f(Xo0)=f(Xo0)(即limf(x)存在)xo叫f(x)第一類可去間斷點;Xx(2)若f(X00)及f(X00)有一個不存在，則X0叫f(x)的第二類間斷點.3、連續(xù)函數(shù)的運算：(148頁)(1)四則運算：兩個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為連續(xù)函數(shù).(2)反函數(shù)的連續(xù)性：若原函數(shù)單值、單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù)也單值、單調(diào)且連續(xù).(3)復合函數(shù)的連續(xù)性：兩個連續(xù)函數(shù)所復合成的復合函數(shù)必連續(xù).(4)初等函數(shù)的連續(xù)性：結(jié)論：一切基本初等函數(shù)在其定義域均連續(xù).初等函數(shù)在其定義區(qū)間均連續(xù).4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：(148-149頁)(1)有界性：設(shè)f(x)在［a,b］上連在續(xù)，則f(x)在［a,b］上有界.(2)最值定理：設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上必有最大值M和最小值m.即 為,X2［a,b］，使得x［a,b］,有mf(x1) f(x)f(x2)M.(3)零點存在定理：設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，且f(a)f(b)0,則c(a,b),使得f(c)0.(函數(shù)值為零的點叫該函數(shù)的零點)(4)介值定理:設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù),f(a)f(b),C是介于f(a)與f(b)之間的任何實數(shù)，則必(a,b)之間的任何實數(shù)，則必(a,b)，使得f()C.推論：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M推論：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.四、計算極限的常用方法：(類型：0,-，0 ' , 0,1,00等等)★(1)觀察法例如：lim★(1)觀察法例如：limnlimX23x22

xlimX2~2Xnimqnnimqn0(q1)★(2)四則運算法則若limf(x)A,limg(x)B,則i)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)i)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ii)lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB推廣：limkf(x)klimf(x)kA(k常數(shù))，f(x)iii)lim—g(x)limfn(x)limf(x)n Af(x)iii)lim—g(x)limf(x)公(B0)limg(x)B★(3)兩個重要極限公式sinx/ 1★(3)兩個重要極限公式sinx/ 1lim 1,lim(1-)x0xxx1e或lim(1x)xe(4)利用函數(shù)的連續(xù)性：若f(x)在點％處連續(xù)，則limf(x)f(%).xxo(5)利用無窮小量的性質(zhì)：在同一自變量的變化過程中，i)有限個無窮小量的代數(shù)和與乘積仍是無窮小量；ii)無窮小量與有界量的乘積仍是無窮小量；iii)無窮小量與有極限的變量之積仍是無窮小量；iv)若(不恒為零)為無窮小量，則工為無窮大量.v)無窮小量的等價代換：0時：sinx:0時：sinx:x,tanx:x, 2ex1:x,ax1:xlna,n1~x1:—, 1cosx:—.n 2(7)極限存在的充要條件：limf(x)A f(x00)f(x00)Axx[imf(x)AJimf(x)Jimf(x)A(8)洛必達法則(0或一)：),lim-f-(x)存在(或為(x),lim-f-(x)存在(或為(xa)g(x)),則若limf(x)limg(x)0(或xx0 xx)(x) (x)limf^后四(xa)g(x)(xa)g(x)

第12章一元函數(shù)微分學［內(nèi)容提要］、導數(shù)與微分：導數(shù)概念：(156-159頁)(1)導數(shù)的定義名 稱定 義函數(shù)在點X0的導數(shù)y f(xf(x0)lim——lim \0， X0x X0lim-f(X)-f(Xo)xx0 XX0導數(shù)的記方：f(x0) yX)f(x0)Xlimf(x0h)f(x0)h0 hdy df(x)xx0 dxx& dxxX。左導數(shù)f(Xo)limf(Xo X)f(X0) limf(X)f(X0)X0 X XX0 XX0右導數(shù)一、..f(X0 X)f(Xo)limX0 Xf(X0) limf(x)f(X0)111M ?xX0 XX0函數(shù)在點X0處可導的充要條件f(X0)和f(X0)均存在且相等.即f(X0)f(X0)f(X0)X(a,b),有fMlimf(XX)f(x)..f(Xh)f(x)函數(shù)在(a,b)內(nèi)可導f(X)lXm0 X導數(shù)的記號：f(X)ylimh0 hdydf(x)?dxdx函數(shù)在［a,b］上可導右函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)可導，且f(a)及f(b)都存在，則稱yf(x)在［a,b］上可導.高階導數(shù)二階及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù)， f(x)叫一階導數(shù).即 y⑺y(n1)(2)(2)導數(shù)的幾何意義：k切線rzdxf(X0),XX0曲線yf(x)在點M(Xo,丫0)處的切線方程：yf(x°)f(x°)(xx°)1法線方程： yf(x0) (xx0)f(xo)(3)可導與連續(xù)的關(guān)系：定理：若函數(shù)y f(x)在點x。處可導，則函數(shù)在該點必連續(xù).注意：可導連續(xù)，但連續(xù)卻不一定可導.2、導數(shù)的運算：(1)基本導數(shù)公式(共16個)(159-161頁)函數(shù)導數(shù)公式常函數(shù)(C) 0,C為任意常數(shù)幕函數(shù)(x)x1, 為任意常數(shù)指數(shù)函數(shù)ax/x、 x, /x、 x(a)aIna,(e)e對數(shù)函數(shù)lOgax, 、 1 、 1(lOgax) ,(lnx)xlna x三角函數(shù)(sinx)cosx (cosx) sinx2 2(tanx)secx(cotx) cscx(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx反三角函數(shù), ■ 、 1(arcsinx),，1V~^1(arccosx) , 蟲x2(arctanx) 21x2(arccotx) 21x

（2）求導法則（160-165頁）函數(shù)求導公式四則法則u(x)v(x)uvuvu(x)v(x)uvuvuv,推廣：uv uvuvuvCu(x)CuCu(C常數(shù))u(x)v(x)uuvuv2v v復合函數(shù)若yf(u),u(x)復合：yf(x)dy dy du f(u) (x)dx du dxf[ (x)] (x)反函數(shù)y”*）是* （y）的反函數(shù)1f(x)(y)隱函數(shù)（對數(shù)求導法）F(x,y)0確定Jy是x的函yf(x)方程的兩端（或取對數(shù)后的方程的兩端）同時對x求導，然后解出y.（3）、高階導數(shù)的公式及法則:/ x/ x、(n) nxn(a)aIna特例：（ex）（n）ex(sinx)(n)sin(xn—),(cosx)(n)cos(xn—),ln(1x)(n) (1)(sinx)(n)sin(xn—),(cosx)(n)cos(xn—),ln(1x)(n) (1)n1(n1)!(1x)n'1axb(n)nnn!a(1) 「axbCu(x)Cu(x)⑺Cu(n)(x),(C為常數(shù))u(x)v(x)(n)uu(x)v(x)(n)u(n)(x)v(n)(x)3、微分概念：(165-166頁)(1)微分的定義： 設(shè)函數(shù)y f(x)在U(xo,)內(nèi)有定義，xo xU(X0,)且yf(xox)f(xo)Axo(x)其中A是不依賴于x的常數(shù)，而o(x)是比x高階的無窮小量，則稱yf(x)在點x處可微，其中Ax稱為yf(x)在點x處的微分.，記作dy或df(x),即dyAx或dyAdx.(2)可微與可導的關(guān)系：定理函數(shù)yf(x)在點x處可微yf(x)在點x處可導.且Af(x),dyf(x)dx(注意：可微可導)(3)微分的幾何意義yf(x)在xo處的微分dyf(x0)dx的幾何意義是：dyPQ(切線MT的增量).f(xo)tan(切線MT的斜率).(4)微分的基本公式和四則運算法則(162-163頁)基本公式：df(x)f(x)dx或dyydx(略)微分的四則運算法則： d[Cu(x)]Cdu(x)(C為常數(shù))d[u(x)v(x)]du(x)dv(x)

d[u(x)v(x)]u(x)dv(x)u(x)dv(x)d[()]~—~~~~~■ (v(x)0)v(x) v(x)df(u)f(u)du(一階微分形式的不變性)二、中值定理與導數(shù)應(yīng)用：1、中值定理：(167-168頁)名稱條件結(jié)論羅爾定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：①在［a,b］上連續(xù)，②在(a,b)內(nèi)可導，③f(a)f(b).在(a,b)內(nèi)至少存在一點，滿足f()0.拉格朗日定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：①在［a,b］上連續(xù),②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.至少存在一點 (a,b),使得f(b)f(a)f()(ba)或f()fbfjba(拉格朗日中值公式)拉格朗日定理推論1在區(qū)間I上包有：f(x)0f(x)C(C常數(shù)).拉格朗日定理推論2在區(qū)間I上包有：f(x)g(x)f(x)g(x)C(C常數(shù))2、洛必達法則：計算極限0，—,0 , ,1,0,00(168-171頁)03、函數(shù)的單調(diào)性與極伯：(171-175頁):

名稱條 件結(jié)論函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)yf(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導且f(x)0f(x)在［a,b］上單調(diào)增加函數(shù)yf(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導且f(x)0f(x)在［a,b］上單調(diào)減少極值的判別法(I)函數(shù)f(x)在x0處o連續(xù)，在U(xo,)內(nèi)可導，f(xo) 0(或/、存在)xx0時，f(x)0x%時，f(x)0f(x0)是極大值xx0時，f(x)0x%時，f(x)0f(x0)是極小小極值的判別法(II)f(x°) 0,f(x0)0f(x0)0f(x0)是極小小f(x。)0f(x0)是極大值可導函數(shù)極值存在的必要條件f(x)在點x0處可導，且f(x。)為極為f(x0)0(此時x0叫f(x)的駐點)注意：由定義知：極值概念是局部性的，最值概念是整體性的。0設(shè)函數(shù)f(x)在U(Xo,)內(nèi)有定義，若xU(Xo,)，恒有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極太值,(或極小值),.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,若xI,恒有f(x)f(xo)(或f(x)f(x。))，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的最太值,(或最小值)..4、函數(shù)的凹凸性和拐點：(175-176頁)定義：如果連續(xù)曲線總位于其切線的之上(下),則稱此曲是叫一(口).的.凹凸性的判定法：設(shè)在區(qū)間I上f(x)存在,(1)若f(x) 0,則曲線y f(x)是凹的(f(三「2) fMx2));(2)若f(x) 0,則曲線y f(x)是凸的(f(x1x2) f(Xl)f(x2)).2 2拐點：連續(xù)曲線yf(x)上凹弧與凸弧的分界點(%,f(。))，稱為該曲線的拐點6、曲線的漸近線：(177頁)定義：無限延伸的曲線如若與某直線的距離無限趨于 0,則稱此直線為該曲線的漸近線.(1)水平漸近線若limf(x)A(常數(shù))，稱yA是曲線yf(x)的水平漸近線.x()(2)鉛直漸近線若limf(x)稱xx0是曲線yf(x)的垂直漸近線.xx '(xx°)(xx0)第13章一元函數(shù)積分學［內(nèi)容提要］一、不定積分(187-196頁).原函數(shù)與不定積分的概念：原函數(shù)的定義：若［F(x)c］f(x)；則F(x)c叫f(x)的全體原函數(shù)。不定積分的定義：f(x)dxF(x)c.不定積分的性質(zhì)：kf(x)dxkf(x)dx(k0為常數(shù))；f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx;f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx；F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C;.牢記基本積分公式(牢記13個)：xkdx-^xk1C(k1常數(shù))k1特例duuC1」.C一dxlnxCxv 1Vaxdx axC(a0,a1)lna

exdxexCsinxdxcosxCcosxdxsinxCsec2xdxcsc2xdxsec2xdxcsc2xdx12-cosx1dxtanxCsin2xdxcotxCsecxtanxdxsecxcscxcotxdxcscx「1「1=dxarcsinx,1x2CarccosxCarccotxC1 arccotxC 2dxarctanxC1x2.不定積分的積分法名稱具體方法方法示例公式法利用定義、性質(zhì)、公式求不定積分的方法例：2xexdx (2e)xdxx(2e)Cln(2e)湊微分法已知g(u)duG(u)c,則f(x)dx(恒等父形)改寫g[(x)] (x)dx湊微分g[(x)]d(x)求積分G(x)C例：excos(3ex2)dx1 V V-cos(3ex2)d(3ex2)1 x 一-sin(3ex2)C3設(shè)f[(t)](t)dt=F(t)C,則f(x)dx(換元)換元規(guī)則：(1) f(4axb)dx,令 daxbt ,

換元積分法令x(t)f[(t)](t)dt求積分F(t)C變量回返F 1(x) C.n1ntdx dtaf(Ja2x2)dx,令xasint,dxacostdtf(，a2x2)dx,2令xatant,dxasectdtf(Jx2a2)dx,令xasect,dxasecttantdt分部積分法：u(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)u(x)dx簡記為： udvuvvdu例：xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC二、定積分1、定積分的概念：(196-197頁)b n定義：f(x)dxlimf(i)xi；a 0i1b幾何意義：f(x)dx=曲邊梯形面積的代數(shù)和,a特別的：@dxba；函數(shù)f(x)在［a,b］上可積的必要條件：f(x)在閉區(qū)間［a,b］上有界;函數(shù)f(x)在［a,b］上可積的充分條件：f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)。2、定積分的性質(zhì):(197-198頁)規(guī)定：b aaf(x)dx規(guī)定：b aaf(x)dxbf(x)dx,a bf(x)dx0,f(x)dxa abf(t)dta線性性質(zhì):b①線性性質(zhì):b①[f(x)

ag(x)]dxb bf(x)dxg(x)dxa a可加性：不等式性:…b②kf(x)dx可加性：不等式性:…b②kf(x)dxabf(x)dxaf(x)dx(k為常數(shù))c bf(x)dxf(x)dxa c①若如果在[a,b]上,有f(x)g(x),則f(x)dx0a, b②若x[a,b],有f(x)g(x),則f(x)dxabg(x)dxab③f(x)dx

aabf(x)dx(ab)積分中值定理：若f（x）在［a,b］, b②若x[a,b],有f(x)g(x),則f(x)dxabg(x)dxab③f(x)dx

aabf(x)dx(ab)積分中值定理：若f（x）在［a,b］上連續(xù),則至少存在一點[a,b],使得b 、f(x)dxf()(ba)或f()abf(x)dx——a——f(x)a3、變上限定積分（變上限函數(shù)）：（199頁）定義：設(shè)f（x）在［a,b］上連續(xù)，稱函數(shù)（x）xf（t）dt為變上限定積分，它a是上限變量x函數(shù)，定義域為［a,b］。性質(zhì)：▲（x）為可導函數(shù)， （x）ddxf(t)dtf(x);▲若（x）g(x)f(t)dt,則(x)ddxg(x)f(t)dtf[g(x)]g(x)a4、定積分的計算：（199-204頁）名稱計算公式▲牛頓-萊布尼茲公式b — ?baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)▲f(x)在[a,b]上連續(xù),且F(x)f(x)湊微分法▲沒換元，也不換限已知g(u)duG(u)c,則b b bf(x)dx g[(x)](x)