2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題03

6的正三角形，容器里裝滿了水，現(xiàn)有.在ABC中，ABurnuuruuu貝UPAPBPBuuur

PC2,ACuuirPC,3,BACuuu6的正三角形，容器里裝滿了水，現(xiàn)有.在ABC中，ABurnuuruuu貝UPAPBPBuuur

PC2,ACuuirPC,3,BACuuuPA的最小值是30°,P是ABC所在平面上任意一點,.正數(shù)列｛an｝滿足:1n4an(Sn為前n項之和，貝U2nan=2 _ ...7.設(shè)過點M(2,0)的直線l與拋物線y4x交于點A,B,與圓(x若ACI|BD且AB|CD|,則這樣的直線l的條數(shù)是9\2 22)y16交于點C,D,2017全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題 03一試一、填空題(每小題8分，共64分).已知函數(shù)f(x)log2x,若實數(shù)a,b(ab)滿足f(a)f(b),則a2014b的取值范圍是.函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(a,b?Z)滿足{xf(x)=0}={xf(f(x))=0},貝Ua的最大值為.設(shè)復(fù)數(shù)乙(6a)(4b)i,Z2(32a)(23b)i,z3(3a)(32b)i,(a,b~),則當(dāng)|乙||z21|4|取到最小值時，3a4b.有一個頂點在下且底面呈水平狀的圓錐形容器，軸截面是邊長為.6名男生和x名女生隨機(jī)站成一排，每名男生都至少與另一男生相鄰.至少有4名男生站在一起的概率為4 1 ，一，…p,若p——，則x的最小值為Y100二、簡答題(本大題共.6名男生和x名女生隨機(jī)站成一排，每名男生都至少與另一男生相鄰.至少有4名男生站在一起的概率為4 1 ，一，…p,若p——，則x的最小值為Y100二、簡答題(本大題共3小題，共56分).已知正數(shù)數(shù)列｛an｝滿足：gan1_3anan-"2"5，Ona=~3a21且a1 2,a?10,求｛an｝的通項公式.47ax7(*nN),.二次函數(shù)f(x)的圖像開口向上，與X軸正向交于A,B兩點，與ABC的外接圓與y軸相切，且DAC150°,則X0時，求y軸交于點C,以D為頂點，若三角形工區(qū)的最小值.X2. . 2 _2 _2 X211、已知圓(x1)(y2)R(R0)與橢圓——y 1有公共點，求圓的半徑R的最小值.42017全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題03加試(本題滿分40分)如圖，圓。1、圓。2與圓。3相交于點P,圓。1和圓。2的另一個交點為A,經(jīng)過點A的一條直線分別交圓。1、圓。2于點B、C,AP的延長線交圓別切圓O1、圓02于乂、N.求證：EM交圓。1、圓。2于點B、C,AP的延長線交圓別切圓O1、圓02于乂、N.求證：EM2EN2DEBC.二、(本題滿分40分)若數(shù)列an是項為非負(fù)整數(shù)的不減數(shù)列，且滿足：又,、、、一、、，、，，* ，，人、…、* *成立，記這樣的m的個數(shù)為(an),則得到一個新數(shù)列D一.. * ........意的nN,只有有限個正整數(shù)m使得amn*(an),如此可定義數(shù)列 (an) 等.**求證：(an) an.三、(本題滿分50分)證明：存在無窮多個素數(shù)，使得又?于這些素數(shù)中的每一個 p,至少存在一個nN,滿足：p|20142n2014.四、(本題滿分50分)*平面上有4n(nN)個半徑相同的圓，其中任意兩個圓都不相切，任意一個圓至少與另外二個圓相交.設(shè)這些圓的交點個數(shù)為 f(n),求f(n)的最小值.2cot——2cot—.2cot——2cot—.2nl 2n2cot——2cot—.2cot——2cot—.2nl 2n2017全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題 03、填空題(每小題8分，共64分)1.已知函數(shù)f(x) log2X,若實數(shù)a,b(ab)滿足f(a)f(b),則a2014b的取值范圍是解：由已知f(a)f(b),作圖可知解：由已知f(a)f(b),作圖可知0a1,b1,-0log2b log2a.1,b1^ab1.a2014b2014a a人 2014 令g(a)a——，則g(a)在(0,1)上是減函數(shù).g(a)g(1)2015,從而取值范圍為(2015,).a2.函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(a,b?Z)滿足{xf(x)=0}={xf(f(x))=0},貝Ua的最大值為解：設(shè)A={xf(x)=0},B={xf(f(x))=0}.顯然A非空，取x0?A,即x0?B,故此時b=f(0)=f(f(x0))=0,從而f(x)=asinx(a?Z).當(dāng)a=0時，顯然有A=B.以下設(shè)a10,此時A={xasinx=0}B={xasinA={xasinx=0}B={xasin(asinx)=0}={xasinx=kp,k?Z}.易知A=B當(dāng)且僅當(dāng)對任意x?R,有asinx刮kp(kZ,k?0),即aa的最大值為3.3.設(shè)復(fù)數(shù)乙(6a)(4(a,bR),3.設(shè)復(fù)數(shù)乙(6a)(4(a,bR),則當(dāng)|z1|b)i|Z2|z2(32a)(23b)i,z3(3a)(32b)i|Z3|取到最小值時，3a4b解：|Z1||解：|Z1||Z2|21A|乙Z2Z3||129i|15,當(dāng)且僅當(dāng)32a23b3a1232b9a的值,2a,=2j62a2a(3*—a)<a的值,2a,=2j62a2a(3*—a)<2m(1 1一2a+2a+3M2—5時，取到最小值15,此時，3a4b12.46的正三角形，容器里裝滿了水，現(xiàn)有46的正三角形，容器里裝滿了水，現(xiàn)有個正四棱柱，底面邊長為a(a6),高為h(h6),豎直地浸在容器里，為了使容器溢出的水最多,應(yīng)取為解：取過四棱柱底面正方形相對頂點的軸截面，得一正三角形與其內(nèi)接矩形，其底邊長為設(shè)其高為h,則得，3^^h=^6a, h=343—呼a, V四棱柱=a2(343—"2a)=乎a2(3j2—a)aJ2,AC73,BAC30°,P是ABC所在平面上任意一點,則PAPBPBPCPCPA的最小值是uuuuuuuuruuiruuiruuuurn uuu解PAPBPBPCPCPAPA(PAuuuuur2uuruuuruuuuuuuuuruuuAB3PA2(ABAC)PAABAC3(PA——ABC中，AB5.在uuruuuuuruuuuuur uuiruuruuruuuuuuuur貝Umin1uuu-(AB3uuur6.正數(shù)列AB)(PAAB)2uuuAC)2ABuuur

AC1uuu2-(AB3uuurAC3uuur2AC)(PAAC)J2,AC73,BAC30°,P是ABC所在平面上任意一點,則PAPBPBPCPCPA的最小值是uuuuuuuuruuiruuiruuuurn uuu解PAPBPBPCPCPAPA(PAuuuuur2uuruuuruuuuuuuuuruuuAB3PA2(ABAC)PAABAC3(PA——ABC中，AB5.在uuruuuuuruuuuuur uuiruuruuruuuuuuuur貝Umin1uuu-(AB3uuur6.正數(shù)列AB)(PAAB)2uuuAC)2ABuuur

AC1uuu2-(AB3uuurAC3uuur2AC)(PAAC))2uur1-(AB31uuu-AB3uuurAC{an}滿足：Sn—41nan(Sn為前n項之和，貝U2nan=解：由已知可得:4nSn(Sn所以1bn12bn1 bntan從而anuurAC)uur

ABuuriuuuruuu(PAAC)PAuuurAC、22Sn1)1,令2nSnbn,則bn(bn2bn1) 1,且2，令Cn :，則Cn1 /cnbn 1Ctan2n,從而n1bn Cot2門1,故Snbi 1,bn1tann(0n工…—2nCot2n1,SnSn1標(biāo)比聲1RCOt］，即2anbn1

2bn314、131141282 9314、131141282 9218542 92 27.設(shè)過點M（2,0）的直線l與拋物線y4x交于點A,B,與圓（x-）y16交于點C,D,若AC|BD若AC|BD且AB|CD,則這樣的直線l4.x=21丁-2H4$=0-4=0.在乂、及GB的24種排列中，同時滿足9口胃石。且m6k七。】的有如F8種：H,%C禽&C,。出"AC的條數(shù)是塘物線G：/=5過點（1,0）的直線/與融r交于點J/點￡在*軸上為3與施物統(tǒng)C交千點A、8（點3在算軸上方）.若使IMG二I&D1成立的直線1荷三條，則，的取值范圍是-它們的共詞特點是，線段與毅段3的中點重合一將直線￡與拋物維丁=4工聯(lián)立，消去M很美于7的一元二次方程它們的共詞特點是，線段與毅段3的中點重合一將直線￡與拋物維丁=4工聯(lián)立，消去M很美于7的一元二次方程y—4my-K=0.于是,媼中點的縱坐標(biāo)為兀二Zm.同理,中點的帆坐標(biāo)為九=27、】）’由AE與G＞的中點貴合得?3m工班三r/W~TV，2fE+1）從而㈤-1）=0=網(wǎng)=6i—.所以，滿是條件的直線，共有三條x-Z,y-2*+4-0ty^2x-4=0?8.6名男生和x名女生隨機(jī)站成一排，每名男生都至少與另（1）當(dāng)直線1的斜軍不存在時，1＜仃=（為當(dāng)直線/的斜率存在時,設(shè)令必）4,二*<11).3=翱=-(2k1+4)#+必二0——紇二RMCI=1啊+1ri,+1)1由■麗,得Mi+干=2「-2.由式①、②爐--->0.

r-4散c丸一男生相鄰1至少有4名男生站在一起的概率為 p,若p——，則x的最小值為MMMMMM,MMMMMM,MMMMMM,MM.在每兩名男生組成的解：若每名男生都至少與另一男生相鄰，則必有如下站法之一:MMMMMM,MMMMMM,MMMMMM.1考慮立^法MMMM3空檔之間安排一名女生，進(jìn)而，在4個位置安排余下的x2名女生.因此，這樣的排法有C：1種.2考慮站法MMMMMM,MMMMMM,MMMMMM.這樣將男生分成兩個小組，空檔之間安2排一名女生，進(jìn)而，在3個位置安排余下的x1名女生.因此，這樣的排法有C21種.3考慮站法MMMMMM.將6名男生視為一個整體，與x名女生排列站隊，有X1種排法.2c21x1綜上所述，p——― C313C> x16x68x61一. .故fx100592x594f0 0,故所求x的最小值應(yīng)滿足1 0,易知,f5930.25932592593594 10,_一 _2 _一 一 一__. 一一f594 594 592594594 594 0.從而xm. 594.三、簡答題（本大題共3小題，共56分）5、anan13a214、an5、anan13a214、anan1…*(nN),且a1 2,a210,求｛an｝的通項公式.4,4,解：由13142 5、鼻斗13a21

4jaa二可得：小3皿513皿,? an1 ; an設(shè)bn 1aan13 anbn15bn4,且匕 J13a2a14.則bn115(bn1)bn(bl1)5nan1an3((5n2 1nn1) 1) 5(532)所以：當(dāng)n>2時,anan an1lan1 an2曳a1a1n15k(5k2),k110二次函數(shù)f(x)的圖像開口向上，與x軸正向交于A,B兩點，與ABC的外接圓與y軸相切，且DAC150°,則x0時，求綜上：an 2non13ky軸交于點C,以的最小值.x2n115k(5k2)n21D為頂點，若三角形解：設(shè)f(x)a(xx〔)(xx2)2a(x〔x2)A(x1,0),B(x2,0),a(x〔x2)ABC的外接圓圓心x1x2P( ,ax1x2)?2由|PC||PA|X x2)2x1 x22x〔 x2)22x22f(x)xax1x2a(x〔x2)PADC C C2 22x1 x23x1 3axia(xx1)(x3x1)a(x此時，二次函數(shù)為f(x)a(xxR21,90°,2ax1x2 14axi>2)minPAC為等邊三角形.4而2 43.一 2 一211、已知圓(x1)(y2)2x(R0)與橢圓一41有公共點，求圓的半徑R的最小值.解：設(shè)切點為(2cos,sin)(0，-),則R2(2cos36 (1cos22153._sin(22 221)(sin)4.2sin(cos)求sin2)223cos4(sin153cos)4、.2sin(4)2152sin(223sin((―,—)的最小值.442)4.2sin(一)4J、24)(可cos(..2sin2 (4))4.23、2cos)2sin2cos..2sin< 23292)(2cos3292 21)(丁2?一? .)當(dāng)且僅當(dāng)cos2 1cos 2(另解：求導(dǎo)324.2cos( 4162164.1384:232.2.262cos)sincos ,cos 922、26、3 )此時max時，取到等4131.258.13Rmin6 :15豆3」病■訴.32 192 '2015全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題03加試一證明：連EP交圓。1、圓O2與BC分別為S、T、Q由相交弦定理及切割線定理得：QAQBQSQPQAQCQT兩式相加得:QABCSTQP又DE〃BCAQP:DEPQPBCSTQPQAQPQAEPED所以：BCSTDEBC二、證明：QPQAEP對kEPED，STEP(ESET)義知，對n(an**,((ak)).*--EPESEPET*3NBO2CEM2_2EN**QSO1T表示(an)中，比k小的項的個數(shù)，設(shè)(⑶))1){an}中比n1小的項的個數(shù) {an}中比n小的項的個數(shù)*一、(an)的定….一*一

故(an)是項為非負(fù)整數(shù)的不減數(shù)列.所以:(at)*(at1)又an是項為非負(fù)整數(shù)的不減數(shù)列，所以: **k(否則((ak)) **k(否則((ak))akt(否則(at)akt1(否則(at),即t1)k)*(at) k1)k)*、* .ak t.綜上：((ak))t ak.2n三、證明：假設(shè)結(jié)論不成立，設(shè) p1，p2,L,pk為能整除形如2014 2014這樣的數(shù)中至少其中之一的全部i素數(shù).考慮k1個數(shù)201422014,(i1,2,L,k,k1),由于這些數(shù)是有限數(shù)，故存在一個 qN,n使得這k1個數(shù)中的任何一個都不能被 pq(j1,2,L,k)整除.又201422014可以足夠大，知存在一個n,使20142n2014pqk,其中pmax{p1，p2,L,Pk},對于這個足夠大的20142n2014,將其2nTOC\o"1-5"\h\z質(zhì)因數(shù)分解后，知必存在某個pj的指數(shù)大于q.考慮這個足夠大的20142 2014及2n1 2n2 2nk20142 2014,20142 2014,L,20142 2014