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文檔簡介
2023高考數(shù)學模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機到達小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.2.已知拋物線,F(xiàn)為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦,若,,則的面積為()A. B. C. D.3.函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.4.秦九韶是我國南寧時期的數(shù)學家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入、的值分別為、,則輸出的值為()A. B. C. D.5.雙曲線的左右焦點為,一條漸近線方程為,過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.26.復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.設集合,,則().A. B.C. D.8.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.9.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10.數(shù)學中的數(shù)形結合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結論:①曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④11.如圖所示,三國時代數(shù)學家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影),設直角三角形有一個內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒(大小忽略不計,?。瑒t落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.20 B.27 C.54 D.6412.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復數(shù)z是純虛數(shù),則實數(shù)a=_____,|z|=_____.14.若變量,滿足約束條件,則的最大值為__________.15.在三棱錐P-ABC中,,,,三個側面與底面所成的角均為,三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.16.如圖是一個算法流程圖,若輸出的實數(shù)的值為,則輸入的實數(shù)的值為______________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是等腰直角三角形,.分別為的中點,沿將折起,得到如圖所示的四棱錐.(Ⅰ)求證:平面平面.(Ⅱ)當三棱錐的體積取最大值時,求平面與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列,是數(shù)列的前項和,且、、成等比數(shù)列,.設數(shù)列的前項和為,且滿足.(1)求數(shù)列、的通項公式;(2)令,證明:.19.(12分)已知函數(shù).⑴當時,求函數(shù)的極值;⑵若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)定義:若數(shù)列滿足所有的項均由構成且其中有個,有個,則稱為“﹣數(shù)列”.(1)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有多少種?(2)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.21.(12分)已知函數(shù).(1)若是的極值點,求的極大值;(2)求實數(shù)的范圍,使得恒成立.22.(10分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點,且滿足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.
2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【答案解析】
設出兩人到達小王的時間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進行求解即可.【題目詳解】設小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點為開始算起,則有,在平面直角坐標系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【答案點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學運算能力.2.A【答案解析】
根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【題目詳解】由題意可知拋物線方程為,設點點,則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點的弦,所以,則,所以.故選:A【答案點睛】本題考查拋物線的方程應用,同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.3.D【答案解析】由題意得,函數(shù)點定義域為且,所以定義域關于原點對稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,故選D.4.B【答案解析】
列出循環(huán)的每一步,由此可得出輸出的值.【題目詳解】由題意可得:輸入,,,;第一次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán),,,,跳出循環(huán);輸出.故選:B.【答案點睛】本題考查根據(jù)算法框圖計算輸出值,一般要列舉出算法的每一步,考查計算能力,屬于基礎題.5.A【答案解析】
設,直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關系化簡到,得到離心率.【題目詳解】設,直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因為,所以為線段的中點,所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.【答案點睛】本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學生的計算能力和轉化能力.6.B【答案解析】
利用復數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【題目詳解】解:,則復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為:,位于第二象限.故選:B.【答案點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義,屬于基礎題.7.D【答案解析】
根據(jù)題意,求出集合A,進而求出集合和,分析選項即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意,則故選:D【答案點睛】此題考查集合的交并集運算,屬于簡單題目,8.B【答案解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知,函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0,1),故選B.9.A【答案解析】
根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【題目詳解】∵當函數(shù)為冪函數(shù)時,,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【答案點睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應用,屬于基礎題.10.B【答案解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【題目詳解】,解得(當且僅當時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.【答案點睛】本題考查曲線與方程的應用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結論,考查學生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.11.B【答案解析】
設大正方體的邊長為,從而求得小正方體的邊長為,設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,利用概率模擬列方程即可求解?!绢}目詳解】設大正方體的邊長為,則小正方體的邊長為,設落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為,則,解得:故選:B【答案點睛】本題主要考查了概率模擬的應用,考查計算能力,屬于基礎題。12.B【答案解析】
先考慮奇偶性,再考慮特殊值,用排除法即可得到正確答案.【題目詳解】是奇函數(shù),排除C,D;,排除A.故選:B.【答案點睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷,屬于??碱}.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.11【答案解析】
根據(jù)復數(shù)運算法則計算復數(shù)z,根據(jù)復數(shù)的概念和模長公式計算得解.【題目詳解】復數(shù)z,∵復數(shù)z是純虛數(shù),∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案為:1,1.【答案點睛】此題考查復數(shù)的概念和模長計算,根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解,計算模長,關鍵在于熟練掌握復數(shù)的運算法則.14.【答案解析】
根據(jù)約束條件可以畫出可行域,從而將問題轉化為直線在軸截距最大的問題的求解,通過數(shù)形結合的方式可確定過時,取最大值,代入可求得結果.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:將化為,則最大時,直線在軸截距最大;由直線平移可知,當過時,在軸截距最大,由得:,.故答案為:.【答案點睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解,關鍵是能夠將問題轉化為直線在軸截距的最值的求解問題,通過數(shù)形結合的方式可求得結果.15.【答案解析】
先確定頂點在底面的射影,再求出三棱錐的高以及各側面三角形的高,利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【題目詳解】設頂點在底面上的射影為H,H是三角形ABC的內(nèi)心,內(nèi)切圓半徑.三個側面與底面所成的角均為,,,的高,,設內(nèi)切球的半徑為R,∴,內(nèi)切球表面積.故答案為:.【答案點睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題,考查學生空間想象能力,本題解題關鍵是找到內(nèi)切球的半徑,是一道中檔題.16.【答案解析】
根據(jù)程序框圖得到程序功能,結合分段函數(shù)進行計算即可.【題目詳解】解:程序的功能是計算,若輸出的實數(shù)的值為,則當時,由得,當時,由,此時無解.故答案為:.【答案點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷,理解程序功能是解決本題的關鍵,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)見解析.(Ⅱ).【答案解析】
(I)證明平面得出平面,根據(jù)面面垂直的判定定理得到結論;(II)當平面時,棱錐體積最大,建立空間坐標系,計算兩平面的法向量,計算法向量的夾角得出答案.【題目詳解】(I)證明:分別為的中點,,又平面平面,又平面平面平面(II),為定值當平面時,三棱錐的體積取最大值以為原點,以為坐標軸建立空間直角坐標系則,設平面的法向量為,則即,令可得平面是平面的一個法向量平面與平面所成角的正弦值為【答案點睛】本題考查了面面垂直的判定,二面角的計算,關鍵是能夠根據(jù)體積的最值確定垂直關系,從而可以建立起空間直角坐標系,利用空間向量法求得二面角,屬于中檔題.18.(1),(2)證明見解析【答案解析】
(1)利用首項和公差構成方程組,從而求解出的通項公式;由的通項公式求解出的表達式,根據(jù)以及,求解出的通項公式;(2)利用錯位相減法求解出的前項和,根據(jù)不等關系證明即可.【題目詳解】(1)設首項為,公差為.由題意,得,解得,∴,∴,∴當時,∴,.當時,滿足上式.∴(2),令數(shù)列的前項和為.兩式相減得∴恒成立,得證.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用,難度一般.(1)當用求解的通項公式時,一定要注意驗證是否成立;(2)當一個數(shù)列符合等差乘以等比的形式,優(yōu)先考慮采用錯位相減法進行求和,同時注意對于錯位的理解.19.(1)當時,函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2)【答案解析】試題分析:(1),通過求導分析,得函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2),所以,通過求導討論,得到的取值范圍是.試題解析:(1)函數(shù)的定義域為當時,,所以所以當時,,當時,,所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,所以當時,函數(shù)取得極小值為,無極大值;(2)設函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同,則所以所以,代入得:設,則不妨設則當時,,當時,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,代入可得:設,則對恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,又所以當時,即當時,又當時因此當時,函數(shù)必有零點;即當時,必存在使得成立;即存在使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同.又由得:所以單調(diào)遞減,因此所以實數(shù)的取值范圍是.20.(1)16;(2)115.【答案解析】
(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計算公式可得,當時根據(jù)題意有,共個;當時求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【題目詳解】解:(1)三個數(shù)乘積為有兩種情況:“”,“”,其中“”共有:種,“”共有:種,利用分類計數(shù)原理得:為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有:種.(2)與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項共有種,根據(jù)古典概型有:,再根據(jù)組合數(shù)的計算公式能得到:,時,應滿足,,共個,時,應滿足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,(否則),下設,則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡上式關系式可以知道:,均為偶數(shù),設,則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,.檢驗:符合題意,共有個,綜上所述:共有個數(shù)對符合題意.【答案點睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時也考查了組合數(shù)的運算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意21.(1).(2)【答案解析】
(1)先對函數(shù)求導,結合極值存在的條件可求t,然后結合導數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性,進而可求極大值;(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時恒成立,構造函數(shù)g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,結合導數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.【題目詳解】(1),x>0,由題意可得,0,解可得t=﹣4,∴,易得,當x>2,0<x<1時,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,當1<x<2時,f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故當x=1時,函數(shù)取得極大值f(1)=﹣3;(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0時恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時恒成立,令g(x)=x2+(t﹣2
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