立體幾何專題

專題五立體幾何三視圖與直觀圖（1課時）【知識要點】三視圖：正視圖：從前往后 側(cè)視圖：從左往右 俯視圖：從上往下畫三視圖的原則： 。直觀圖：斜二測畫法斜二測畫法的步驟：（1） .平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；（2）?平行于y軸的線長度. ，平行于x，z軸的線長度 ;【基礎(chǔ)演練】正｛主）視圖側(cè)融）視圖如圖是由大小相同的長方體木塊堆成的幾何體的三視正｛主）視圖側(cè)融）視圖圖，則此幾何體共由 塊木塊堆成.—個多面體的直觀圖及三視圖如下圖所示（左），則該多面體的體積為王ft朋王ft朋側(cè)（左）視圖正（主）視圖則它的表面積為4. [2014.新課標(biāo)全國卷I側(cè)（左）視圖正（主）視圖則它的表面積為4. [2014.新課標(biāo)全國卷I]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）A.6邁B.6C.4-：12D.4【典例分析】例1?如圖所示的直觀圖，其平面圖形的面積為（ ）A.3 B.3^2 C.6 D.3邁【方法小結(jié)】/or1 2例2.已知一個正三棱錐的正視圖如右圖所示，則此正三棱錐的側(cè)面積等 【方法小結(jié)】例3.已知一個正三棱柱的三視圖如下圖所示，則其體積為 Z例3.已知一個正三棱柱的三視圖如下圖所示，則其體積為 Z正規(guī)捌 側(cè)視歯 幣視圉【方法小結(jié)】【鞏固提升】【2012高考湖南】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）2.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是（）A.32 B.16+16邁C.48 D.16+32邁2.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是（）A.32 B.16+16邁C.48 D.16+32邁3?如下圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是 .A.8該四面體四個面的面積中,B.6邁D.8邁C.10正視圖4.某四面體的三視圖如圖所示,最大的是（）i川（＜■.*覘國5.[2015?全國卷I]圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖1-4所示.若該幾何體的表面積為16+20n，則r=（）專題五立體幾何體積與表面積（1課時）【知識要點】圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式1&E3Tfl-ZM=7Tri3西總倩=）12.空間幾何體的表面積和體積公式__ 常你丿IH阿林''''呂圧AI4P! &Ml-^―$J=z~^—S"F—i 1 -r1球,v=4jiR2=WE3?空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和2圓柱的表面積 ； 3圓錐的表面 ；4圓臺的表面積 ； 5球的表面積 4?空間幾何體的體積1柱體的體積 ； 2錐體的體積 ；3臺體的體積 ；4球體的體積【基礎(chǔ)演練】長、寬、高分別為4、3、2的長方體的表面積為（）A?26 B.52 C.12-'2 D?12、亍[2013?新課標(biāo)全國卷I]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.16+8n B.8+8n C.16+16n D.8+16n半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積是（）A.上3兀R3 B.上3兀R3 C.二5冗R3 D.上5冗R324 8 24 8[2016?全國卷I]如圖1-1,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓C廠28n y丿丿及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是則它的表'面積是（ ） （-—IA.17nB.18nC.20nD.28n【典例分析】例1?某棱錐的三視圖如右圖所示,求該棱錐的表面積（單位：cm2）.【方法小結(jié)】例2?球的表面積為324兀，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積.【方法小結(jié)】【鞏固提升】有一個幾何體的三視圖及其尺寸如右下（單位：cm），則該幾何體的表面積為（）正視ai 刪袒國A. 12兀 cm2 B. 15兀 cm2正視ai 刪袒國C. 24兀 cm2 D. 36兀 cm2底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為5,它的對角線長分別是9和15,則這個棱柱的側(cè)面積為（）A.130B.140C.150D.160.圓臺上、下底面面積分別是兀、4n，側(cè)面積是6兀，這個圓臺的體積是（）A.蘭3兀 B.2J3兀 C.公3兀 D.公3兀3 6 3.一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是門、丫3、、6，則這個長方體的對角線長是.如圖，在正三棱柱ABC—A代q中，D為棱AA』勺中點，若截面厶BC』是面積為6的直角三角形，求此三棱柱的體積?專題五立體幾何平行關(guān)系（1課時）【知識要點】1?判定線線平行的方法TOC\o"1-5"\h\z（1） 平行于同一直線的兩直線互相 ;（2） 如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交白 和這條直線平行；（3） 如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的 平行；（4） 線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直 ?（5） 利用中位線的性質(zhì)；2?直線與平面平行的判定如果平面外一條直線和這個平面平面內(nèi) 平行，那么這條直線和這個平面平行；若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的 直線與另一個平面平行.3?兩個平.面平行的判定一個如果平面內(nèi)有兩條 直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行；依據(jù)垂直于同一 的兩平面平行來判定；③利用面面平行傳遞性依定義.【基礎(chǔ)演練】1．下列四個命題：（1）分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線；（2）和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條；（3）和兩條異面直線都相交的兩條直線必異面；（4）若a與b是異面直線，c與b是異面直線，則a與c是異面直線?其中真命題個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0a，B是兩個不重合平面，l，m是兩條不重合直線，那么a//卩的一個充分條件是（）A-/ua,mua且l//P.m//P B-lua,mu^，且l//BC-l丄a,m丄P，且l//m D-l//a,m//P，且l//m3?已知正方體ABCD-A]B]C]D]，下面結(jié)論中，正確的結(jié)論是 ?（1）AD[//BCi；（2）平面AB1D1//平面BDC]；（3）AD1//DC]；（4）ADy//平面BDC]?4.[2016?全國卷II]?，B是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①如果mln,mda,n〃“，那么a丄〃.②如果m丄a,n〃a,那么mln.如果a〃“，ma,那么m〃“.如果m〃n,a〃“，那么m與a所成的角和n與“所成的角相等.其中正確的命題有 （填寫所有正確命題的編號）【典例分析】例1.已知ABC-ABC是三棱柱，D是AC的中點?求證：AB//平面DBC?11111

例2?在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一點F，使平面C1CF//平面ADD]A]?若存在，求點F的位置，若不存在，請說明理由.方法小結(jié)】【鞏固提升】給出下列四個命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行?②垂直于同一平面的兩條直l是異面直線，則與直線l，l都相交的兩條直線是異面直線?其中假命題是.22.線互相平行?③若直線l，l與同一個平面所成的角相等，則l與l是異面直線，則與直線l，l都相交的兩條直線是異面直線?其中假命題是.22.12已知a、b、c為三條不重合直線，u、P、丫為三個不重合的平面，直線均不在平面內(nèi),給出下列幾個命題：①a//qb//cJna//b②a//Yb//Y]na//b@U//cP//c④U//Y[nu//P@u//c]na//u@U//Y卩〃Y1a//cJa//Yna//u其中正確的有 .3.(北京2011)如右圖，在四面體PABC中,3.PC丄AB,PA丄BC，點D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點.求證：de〃平面BCP；求證：四邊形DEFG為矩形.專題五立體幾何線線、線面垂直關(guān)系（2課時）【知識要點】1．兩直線垂直的判定：轉(zhuǎn)化為證線面垂直．直線和平面垂直的判定：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條 直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直;兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平 ；一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它 于另一個平面；面a丄面B， 1，aua,a丄lna丄B-【基礎(chǔ)演練】1.設(shè)a,卩，丫為平面，m,n,1為直線，則m丄0的一個充分條件是（）A.a丄0,ac0=1,m丄1 B.any=m,a丄丫，0丄YC.a丄y,0丄y,m丄y D.n丄a,n丄0,m丄a2．給定下列四個命題：（1）若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；（2）若一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直；（3）垂直于同一直線的兩條直線相互平行；（4）若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與一個平面也不垂直．其中為真命題的是（）A.（1）和（2）B.（2）和（3）C.（2）和（4）D.（3）和（4）[2013年高考全國新課標(biāo)II]已知m,n為異面直線，m丄平面a,n丄平面B.直線l滿足l丄m,l丄n,lu/a，lu/B,貝V：（A）a〃B且l〃a（B）a丄B且l丄B（C）a與B相交，且交線垂直于l（D）a與B相交，且交線平行于l[2008年高考全國新課標(biāo)卷]已知平面a丄平面B，aPB=1,點AWa,A年1,直線AB〃1,直線AC丄l,直線m〃a,m〃B,則下列四種位置關(guān)系中，不.一.定.成立的是（）AB〃mB.AC丄mC.AB〃BD.AC丄B【典例分析】例1?已知四棱錐p-abcd中，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，ZPDA=45°，證明：MN丄平面PCD.例2.已知長方體ABCD-ABCD的底面ABCD是邊長為4的正方形，高AA=4/2,1111P為CC的中點，AC、BD交于點O.1（1）求證：BD丄平面AACC；（2）求證：BD丄OP.11【方法小結(jié)】【鞏固提升】四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD丄底面ABCD,貝下列結(jié)論中不正確的是（）A.AC丄SBB.AB〃平面SCDC.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角對于平面a和直線m、n,給出下列命題若m〃n,則m、n與a所成的角相等；若m丄a,皿丄n,貝9n〃a;若m與n是異面直線，且m〃a,則n與a相交.TOC\o"1-5"\h\z其中真命題的個數(shù)是（ ）(A)0 (B)l (C)2 (D)33.在四棱錐P—ABCD中，PA丄底面ABCD，AB丄AD,AC丄CD,ZABC=60°PA=AB=BC，E是PC的中點.(1)證明CD丄AE；(2)證明PD丄平面ABE. P.專題五立體幾何面面的垂直關(guān)系(2課時)【知識要點】兩個平面垂直的判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條 ，那么這兩個平面互相垂直.(在一個面中找另一個面的一條垂線：在一面內(nèi)作兩面交線的垂線，即為所求)；定義法：找一個平面與這兩個平面都垂直相交，證明兩交 為直角.性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于 的直線與另一個平面垂直?！净A(chǔ)演練】1?在四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)M滿足 時，平面MBD丄平面PCD(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)[2013年高考全國新課標(biāo)II卷]已知m,n為異面直線，m丄平面a,n丄平面B.直線l滿足l丄m,l丄n,lu/a,lu/B,貝9:( )(A)a〃B且l〃a (B)a丄B且l丄B(C)a與B相交，且交線垂直于l (D)a與B相交，且交線平行于l[2008年高考全國新課標(biāo)卷]已知平面a丄平面B，anB=l，點AGa，A年1，直線AB〃1,直線AC丄1,直線m〃a,m〃B，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()A.AB〃mB.AC丄mC.AB〃BD.AC丄B[2016年高考全國新課標(biāo)II卷]a,B是兩個平面，m,n是兩條直線，有下列四個命題：如果m丄n,m丄a,n//B，那么a丄B；如果m丄a,n//a，那么m丄n；如果a//B,mua,那么m//B；如果m//n,a//B，那么m與a所成的角和n與B所成的角相等.其中正確的命題有 .(填寫所有正確命題的編號)【典例分析】例1.P是矩形ABCD所在平面外一點，PA丄平面ABCD,求證:平面PCD丄平面PAD

例2?如圖，在AABC中，ZABC=60°,ZBAC=90°,AD是BC上的高，沿AD把AABC折起，使ZBCD=90°.證明：平面ADB丄平面BDC?【方法小結(jié)】【鞏固提升】1?若a,B表示平面，a,b表示直線，則a【方法小結(jié)】【鞏固提升】1?若a,B表示平面，a,b表示直線，則a〃a的一個充分條件是( )a丄B，且a丄B BaQB二b,且a〃bCa〃b,且b〃a Da〃B，且auB2?如圖，已知四邊形ABCD是正方形，PA丄平面ABCD,則圖中所有互相垂直的平面共有 ( )8對7對6對5對3?如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD.底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足 時，平面MBD丄平面PCD.4?已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點B、C、D重合于一點P.(1)求證：AP丄EF；(2)求證：平面APE丄平面APF.專題五立體幾何兩異面直線所成的角(2課時)【知識要點】1異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a‘||a、b‘||b,則把直線a和bf所成的 ,叫做異面直線a和b所成的角.兩條異面直線所成角的范圍是 .若兩條異面直線所成的角是 ，我們就說這兩條異面直線互相垂直.【基礎(chǔ)演練】正方體ABCD-ABCD中：liiiTOC\o"1-5"\h\z(1)AB與CC所成的角是 ；(2)AC與AD所成的角是 .i i ii i如圖，在正方體ABCD—ABCD中，M、P分別為DD與iiii iAB的中點，O為底面ABCD的中心，則AM與OP所成的角為ii()A.30。 B.60。C.90° D.45°正四面體A-BCD中，AB與CD所成的角為 .4?[2014年高考全國新課標(biāo)II卷]直三棱柱ABC-ABC中，ZBCA=90°，M，N分別是AB，AC的中點，BC=CA=CC,11111111則BM與AN所成的角的余弦值為( )B.30C.B.30C.1o~D.【典例分析】 _ _例1?如圖，在三棱錐S-ABC中，AC=2，bc=<i3，SB=?刀9，求異面直線SC與AB所成角的余弦值.AL BC

例3.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB\\DC,ZDAB=90,PA丄底面ABCD,1且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中點.求AC與PB所成p2p的角的余弦值.【方法小結(jié)】【鞏固提升】TOC\o"1-5"\h\z一個正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：①AB丄EF②AB與CM成600③EF與MN是異面直線④MN〃CD，其中正確的是 （ ）A①② B③④C②③ D①③空間四邊形P-ABC中，M,N分別是PB,AC的中點，PA=BC=9,MN=3,PA與BC所成的角的余弦值為 .已知空間四邊形A-BCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC，M、N分別為BC、\o"CurrentDocument"AD的中點?則異面直線CN與AM所成的角的余弦值為 .（2011北京理16）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是菱形,AB=2,上BAD=60.（1）求證：BD丄平面；⑵若PA=AB,求PB與AC所成角的余弦值.專題五立體幾何直線與平面所成的角（2課時）【知識要點】定義： 圖形：取值范圍： 【基礎(chǔ)演練】1.在正方體ABCD-ABCD中，AB與平面ABCD所成的角為11111112-在三棱錐P-ABC中’PA二PB=卩°=BC，且ZBAC=2'則PA與底面ABC所成角C為 .C3?如圖，正三棱柱ABC-ABC的9條棱長均相等，則AC與面1111BBCC所成的角的余弦值為 .11[2015年高考全國新課標(biāo)II卷數(shù)學(xué)改編]（本小題滿分12分）如圖，長方體ABCD-ABCD中，AB=16，BC=10，1111AA=8,點E，F(xiàn)分別在AB，DC上,11111AE=DF=4.過點E，F(xiàn)的平面a與此長方體的面11相交，交線圍成一個正方形,則直線AF與平面a所成角的正弦值為. 。【典例分析】例1.如圖，四面體S-ABC中，SA、SB、SC兩兩垂直，ZSBA=45°,ZSBC=60°,M為AB中點.（1）求證：ab丄平面SMC（2）求SC與平面ABC所成角的正切值

[2016年高考全國新課標(biāo)III卷數(shù)學(xué)(理)第19題](本小題滿分12分)D如圖，四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD,ADBC,AB=AD=ACD=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點，AM=2MD,N為PC的中點.證明MN〃平面PAB；求直線AN與平面PMN所成角的正弦【方法小結(jié)】【鞏固提升】1?在正三棱柱ABC-Awl中，側(cè)棱長為運，底面正三角形的邊長為1,則BC與側(cè)面TOC\o"1-5"\h\zACCA所成的角的大小是 .11[2008年高考全國新課標(biāo)卷理數(shù)改編]如圖，已知點P在正方體ABCD-AzBzCD'的對角線BDZ上,ZPDA=60°.貝VDP與CC'所成角的大小為 ；DP與平面AA'D'D所成角的大小為 .2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ZADC=450,AD=AC=1,O為AC中點，PO丄平面ABCD,PO二2,M為PD中占I八、、?DOAB(1)證明：PB//平面ACM；(2)證明：AD丄平面PAC；DOAB(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.⑵求二面角A—A⑵求二面角A—AiC—B的大小.專題五立體幾何(理科專用)二面角(2課時)【知識要點】二面角：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角.二面角的平面角：以二面角的棱上一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作 棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角范圍是求法：(1)定義法；(2)垂面法；(3)三垂法.基礎(chǔ)演練】若一個二面角的兩個半平面分別平行與另一個二面角的兩個半平面,則這兩個二面角的大小關(guān)系為是()A.相等B.互補C.相等或互補 D.不能確定TOC\o"1-5"\h\z2?在正四面體ABCD中，E為AD中點，二面角E-BC-D的平面角的余弦值為 .在正方體ABCD-ABCD中，二面角A-BC-A大小為 ;二面角B-AC-B1111111111的余弦值為 .［2014年高考全國新課標(biāo)I卷理數(shù)改編］丄蟲厶，^CBB^=60\AB=BC,如圖三棱柱中，側(cè)面為菱枚-扭丄gO則 -二一二三一’二■ ■為\o"CurrentDocument"［典例分析】 °例1.(2009陜西⑼如圖，直三棱柱ABC-/Ci中,AB二1，AC-勒匕3,ZABC=600.(1)證明：AB丄AC；1【方法小結(jié)】例2.(2008湖南18)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,ZBCD=600，E是CD的中點，PA丄底面ABCD，PA=、：3.證明：平面PBE丄平面PAB；求二面角A-BE-P的大小.【方法小結(jié)】【鞏固提升】1.E、F、G是正方體ABCD-ABCD棱AA,AB，AD的中點，則面EFG與面111111111ABCD所成的角(銳角)為余弦值為 .在直三棱柱ABC一ABC中，AB=AC=1，ZBAC=90。，且異面直線AB與BC所111111成的角等于6Oo，設(shè)AA=a.1)求a的值；1)求a的值；(2)求平面ABC與平面BBC所成的銳二面角的大小.1111C1(2008天津19).如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2邁，ZPAB=60。.證明AD丄平面PAB；求異面直線PC與AD所成的角的正切值；求二面角P一BD一A的正切值.

專題五立體幾何(理科專用)立體幾何中的向量方法(3課時)【知識要點】1?異面直線所成角的求法設(shè)a,b分別是兩異面直線lj2的方向向量，則a與b的夾角Bl1與l2所成的角9范圍(0,n)求法cosB=2.直線和平面所成角的求法:如圖所示,設(shè)直線l的方向向量為e,平面a的法向量為n,直線l與平面a所成的角為?，兩向量e與n的夾角為。,則有sin?=lcos91= 二面角的求法a如圖①,AB,CD是二面角a-l-B兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小9= .b.如圖②③,nl,n2分別是二面角a-l-B的兩個半平面a,B的法向量，則二面角的大小9滿足cos9= 或 .【基礎(chǔ)演練】1.兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=(1,0,-1),?2=(—2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是().A.