立方根知識(shí)點(diǎn)講解(含例題)

或三次1■立方根的概念和性質(zhì)或三次定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的.方根.這就是說，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.例如：53=125,那么5是125的立方根．表示方法：一個(gè)數(shù)a的立方根，用符號(hào)“3方”表示，讀作：“三次根號(hào)a”，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù).拓展：互為相反數(shù)的兩數(shù)的立方根也互為相反數(shù)．2■開立方(1)定義：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做 .(2)性質(zhì)：①正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根 ，0的立方根是0；③（③（3a）3(3)開立方是一種運(yùn)算，正如開平方與平方互為逆運(yùn)算一樣，開立方與立方也互為 .開立方所得的結(jié)果就是立方根.3■平方根和立方根的區(qū)別和聯(lián)系1.被開方數(shù)的取值范圍不同在土贏中，被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即a>0；在3方中，被開方數(shù)a是任意數(shù).2.運(yùn)算后的數(shù)量不同一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，負(fù)數(shù)沒有平方根，而一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根.K知識(shí)參考答案:1.(1)立方根1.(1)立方根2.(1)開立方(2)負(fù)數(shù)(3)逆運(yùn)算K—重點(diǎn)立方根的概念和性質(zhì)，開立方K—難點(diǎn)利用立方根的性質(zhì)解方程K—易錯(cuò)混淆平方根和立方根的意義一、求立方根和開立方根據(jù)開立方與立方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，我們可以求一個(gè)數(shù)的立方根，或者檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是某個(gè)數(shù)的立方根．【例1】-64的立方根是A.-4B.4C.±4D.不存在【答案】A【解析】?(4)3=64，…64的立方根疋4，故選A.【例2】3(—1)3的立方根是A.－1B.0C.1D.±1【答案】C【解析】：°3(-1)3=T，?:3(一I)3的立方根是3—1=T，故選A.【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了立方根的定義，求一個(gè)數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的立方．由開立方和立方是互逆運(yùn)算，用立方的方法求這個(gè)數(shù)的立方根．注意一個(gè)數(shù)的立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號(hào)相同．例3】下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的是B．34C.D.A.30.125B．34C.D.答案】DI__2 2【解析】A.正確；B.正確；C.正確；D.—3—125——(—5)=5，故錯(cuò)誤，故選D.12^5 5 5例4】例4】求下列各數(shù)的立方根：(1)-343；2)8125【解析】(1)因?yàn)?—7)3二—343所以-343的立方根是-7.

(2(2)因?yàn)?5)3=8125所以島的立方根是5丄乙J J例5】求下列各式的值：⑴時(shí)；（2）3-343；（3）-3」.3125 勺27【解析】（1）30.001二0.12)2)二、利用立方根的知識(shí)解方程只含有未知數(shù)或某個(gè)關(guān)于未知數(shù)的整體的三次方的方程，可以先通過“移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1”等變形為X3=m或（ax+b）3=m的形式，再利用開立方的方法求解.【例6】若a3=-8,則a= .【答案】-2【解析】°.°a3=-8,.°.a=-2.故答案為：-2.【例7】求下列各式中的x：（1） 8x3+125=0；（2）（x+3）3+27=0.【解析】因?yàn)?x3+125=0所以8x3=—125c125所以x3二—一85所以x二-2（2） 因?yàn)椋▁+3）3+27=0所以(x+3)3=—27所以x+3=—3所以x=—6三、平方根和立方根的綜合應(yīng)用在解決立方運(yùn)算與開立方運(yùn)算時(shí)，遵循的原則為正數(shù)的立方和立方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方和立方根為負(fù)數(shù)．【例8】64的平方根和立方根分別是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因?yàn)?±8)2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分別是±8，4，故選D．【例9】已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的立方根是4,求a+b的平方根.【解析】丁2曠1的平方根是±矢二牛?■.'3^-1的立方根是扎1=(54,.?丄=刃,'.ci-b=55fn的平方根是士 ?【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了立方根和平方根的意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)平方根，求出2a-l=9，根據(jù)立方根求出3a+b-l=64，轉(zhuǎn)化為解方程得問題解決.【例10】已知x+12的算術(shù)平方根是&3，2x+y-6的立方根是2.(l)求x，y的值；(2)求3xy的平方根.【解析】(1)°.°x+12的算術(shù)平方根是上J,2x+y-6的立方根是2.???x+12=(J13)2=13,2x+y-6=23=8，.*.x=1，y=12.(2)當(dāng)x=1，y=12時(shí)，3x