平面及其基本性質(zhì)（教師版）講義-高二上學期數(shù)學滬教版（2020）必修第三冊

高二數(shù)學秋季班—第1課高二基礎(chǔ)課程教材20/20教師版第1課：平面及其基本性質(zhì)教學目標1、理解平面的基本性質(zhì)；2、能夠熟記公理一、二、三，并能進行相應問題的證明；3、會畫立體幾何體的直觀圖.重點1、公理三及相關(guān)證明；2、斜二測畫法的基本步驟.難點公里三證明點在線或者線共點的問題.（一）平面及其基本性質(zhì)【知識梳理】1、平面的兩個特征：①無邊界②無厚度平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性.2、平面的表示方法：一般用一個大寫的英文字母或小寫的希臘字母表示，如平面、平面或平面、平面來表示，也可以用平面上的三個（或三個以上）點的字母來表示，比如平面等.3、平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面（1）一個平面的畫法：（2）直線、平面相交的畫法：【注意事項】畫線面相交時或者兩個相交平面時，若一個圖形的一部分被另一個圖形遮住，應把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫（如圖）4、用集合的語言理解點線面空間圖形的基本元素是點、直線、平面.可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示.點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形符號語言文字語言（讀法）點在直線上點不在直線上點在平面內(nèi)點不在平面內(nèi)直線、交于點直線在平面內(nèi)直線與平面無公共點直線與平面交于點平面、相交于直線集合中“”的符號只能用于點與直線，點與平面的關(guān)系，“”和“”的符號只能用于直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號，但在讀法上仍用幾何語言.5、平面的基本性質(zhì)公理1：如果直線上有兩個點在平面上，那么直線在平面上.（直線在平面上）用集合語言表述：公理2：不在同一直線上的三點確定一個平面.（這里“確定一個平面”的含義是“有且只有一個平面”）推論：1、一條直線和直線外的一點確定一個平面.用集合語言表述：2、兩條相交直線確定一個平面.用集合語言表述：3、兩條平行的直線確定一個平面.用集合語言表述：公理3：如果不同的兩個平面有一個公共點，那么的交集是過點的直線.（平面與平面相交）用集合語言表述：【知識補充】①確定兩個平面的交線，即先找兩個平面的兩個公共點，再作連線；②判定兩個平面相交，即兩平面只要有一個公共點即可；③判定點在直線上，即點是某兩平面的公共點，線是這兩平面的公共直線，則這個點在這條直線上.【例題精講】平面及其性質(zhì)例1、給定下列四個命題：（1）任何一個平面圖形就是一個平面；（2）平面的形狀是平行四邊形；（3）三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面；（4）3個平面重疊起來，比2個平面重疊起來厚；（5）一個平面的長是，寬是；（6）一個平面被另一個平面遮住時，被遮部分的線段應畫成虛線或不畫，則其中正確的命題有個．【難度】★★【答案】2【解析】解：平面是無限延展的：故（1）任何一個平面圖形就是一個平面，錯誤；（2）平面的形狀是平行四邊形，錯誤；（5）一個平面的長是，寬是，錯誤；可以用平面圖形表示平面；故（3）三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面，正確；平面沒有厚度，故（4）3個平面重疊起來，比2個平面重疊起來厚，錯誤；（6）一個平面被另一個平面遮住時，被遮部分的線段應畫成虛線或不畫，正確，故正確的命題有：2個，故答案為：2．【鞏固訓練】1、判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）可畫一個平面，使它的長為，寬為； （ ）（2）一個平面的面積為； （ ）（3）光滑的桌面就是一個平面； （ ）（4）一條直線把它所在的平面分成兩部分，一個平面把空間分成兩部分； （ ）（5）若一條直線和一個平面僅有一個公共點，則稱該平面經(jīng)過這條直線； （ ）（6）若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則稱該平面經(jīng)過這條直線； （ ）（7）空間兩個平面將空間分成四部分． （ ）【答案】1．╳2．╳3．╳4．√5．╳6．√7．╳【解析】點線面之間的關(guān)系例2、看圖填空：（1）點平面；（2）直線___________；（3）直線平面=；（4）直線平面；（5）直線___________；（6）平面平面___________；（7）平面平面___________；（8）平面平面平面___________．【難度】★★★【答案】；O；，O；//；；；；【解析】【鞏固訓練】1、如圖所示，用符號語言可表達為A．，， B．，， C．，，， D．，，，【答案】【解析】解：如圖所示，兩個平面與相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線和直線相交于點，故用符號語言可表達為，，，故選：．公理一及其應用例3、可以用集合語言將“公理1：如果直線上有兩個點在平面上，那么直線在平面上．”表述為A．，且，，則 B．若，且，，則 C．若，且，，則 D．若，且，，則【難度】★★【答案】【解析】解：在空間幾何中，點可以看成是元素，線和面應看成是集合，根據(jù)元素屬于集合，子集包含于全集可得：公理1：如果直線上有兩個點在平面上，那么直線在平面上，用集合語言應表示為：若，且，，則，故選：．【鞏固訓練】1、若直線上有兩個點在平面內(nèi)，則下列說法正確的序號為①直線上至少有一個點在平面外；②直線上有無窮多個點在平面外；③直線上所有點都在平面內(nèi)；④直線上至多有兩個點在平面內(nèi)．【答案】③【解析】解：若直線上有兩個點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)，所以直線上所有點都在平面內(nèi)．所以正確的命題是③．故答案為：③．公理二及其應用例4、下列命題正確的是A．三點確定一個平面 B．一條直線和一個點確定一個平面 C．梯形可確定一個平面 D．圓心和圓上兩點確定一個平面【難度】★★【答案】【解析】解：對于選項：當三點共線時，不能確定一個平面，故錯誤．對于選項：當該點在直線上時，不能確定一個平面，故錯誤．對于選項：由于梯形由兩條對邊平行，所以確定的平面有且只有一個，故另兩條邊也在該平面上，故正確．對于選項：當圓心和圓上的兩點在同一條線上時，不能確定一個平面，故錯誤．故選：．【鞏固訓練】1、當人們停放摩托車時，只要將摩托車的腳撐放下，摩托車就穩(wěn)了，這里用到了A．兩條平行直線確定一個平面 B．兩條相交直線確定一個平面 C．不共線三點確定一個平面 D．三點確定一個平面【答案】【解析】解：當人們停放摩托車時，只要將摩托車的腳撐放下，摩托車就穩(wěn)了，這里用到的是三角形的穩(wěn)定性，即不共線的三點確定一個平面．故選：．推論及其應用例5、下列命題錯誤的是A．直線及直線外一點，確定一個平面 B．兩條平行直線，確定一個平面 C．兩條相交直線，確定一個平面 D．三條相交直線兩兩相交，確定一個平面【難度】★★【答案】【解析】解：由公理三知直線及直線外一點，確定一個平面，故正確；由公理三知兩條平行直線，確定一個平面，故正確；由公理三知兩條相交直線，確定一個平面，故正確；三條相交直線兩兩相交，確定一個或三個平面，故錯誤．故選：．例6、已知：如圖所示，，，．求證：直線，，在同一平面內(nèi)．【難度】★★★【答案】見解析【解析】解：，、確定一平面，又，，，，，，，直線，，在同一平面內(nèi)．【鞏固訓練】1、三條直線相交于一點，則它們最多能確定個平面．【答案】3【解析】解：當三條直線共面時，顯然這三條直線只確定1個平面，當三條直線不共面時，以三棱錐的三條側(cè)棱為例，任意兩條側(cè)棱都確定一個側(cè)面，而三棱錐有三個側(cè)面，故相交于一點的三條直線最多可確定3個平面，故答案為：3．2、如圖：在正方體中，，分別為，的中點，，；（1）點，，，是否共面？并說明理由；（2）若直線與平面的交點為證明：點，，共線．【答案】見解析【解析】解：（1）點，，，共面．證明：由于和在同一平面內(nèi)，且不平行，故必相交，設(shè)交點為，則，同理，直線與與相交，設(shè)交點為，則，故與重合，得與交于，故，，，共面．（2）在正方體中，連接，，平面，又，平面，即是平面與平面的公共點，同理是平面與平面的公共點，平面平面，平面，，平面，平面，故點，，共線．公理三及其應用例7、如圖，正方體中．、分別是、的中點．求證：、、三線共點．【難度】★★★【答案】見解析【解析】證明：連結(jié)、、，由題可知，、分別是、的中點，，且，，且，為梯形．則可令．由面，面，面面，、、共點于．得證．【鞏固訓練】1、如圖所示，在四面體中，若直線和相交，則它們的交點一定A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上 D．都不對【答案】【解析】解：直線和相交，設(shè)交點為，平面，平面，平面，且平面，平面平面，，與的交點在直線上．故選：．（二）多面體的直觀圖【知識梳理】1、直觀圖直觀圖是觀察者站在某一點觀察幾何體畫出的空間幾何體的圖形.2、利用斜二側(cè)畫法畫空間圖形的平面直觀圖的一般步驟：（1）建立直角坐標系在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的軸、軸，兩軸相交于點；（2）畫出斜坐標系在畫直觀圖的平面上畫出對應的，使（或），它們確定的平面表示水平平面；（3）畫對應圖形在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度為原來的一半.（4）擦去輔助線圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線.3、立體圖形直觀圖的畫法畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面垂直的軸，且平行于的線段長度保持不變，其他同平面圖形的畫法.【例題精講】例8、下列關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法中正確的有①三角形的直觀圖是三角形．②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形．③菱形的直觀圖是菱形．④正方形的直觀圖是正方形．A．① B．①② C．③④ D．①②③④【難度】★★【答案】【解析】解：由斜二測畫法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據(jù)兩軸的夾角為或知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯誤；根據(jù)平行于軸的長度不變，平行于軸的長度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯誤．故選：．【鞏固訓練】1、如圖，△是的直觀圖，其中，軸，軸，那么是A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】【解析】解：根據(jù)斜二測畫法中平行與坐標軸的直線，平行關(guān)系不變，且平行于軸的線段，長度不變，平行于軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，直觀圖△的原來圖形是直角三角形，且，不是等腰直角三角形．故選：．例9、用斜二測畫法畫水平放置的邊長為2的正方形所得的直觀圖的面積是A． B． C． D．【難度】★★【答案】【解析】解：水平放置的正方形的面積與斜二測畫法所得的直觀圖是一個四邊形，兩者面積之比為，由邊長為2的正方形的面積為4，所以這個四邊形的直觀圖面積為．故選：．【鞏固訓練】1、如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為，上底為1，腰為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是A． B． C． D．【答案】【解析】解：依題意，如圖四邊形是一個底角為，上底為1，腰為的等腰梯形，過，分別做，，則三角形，和三角形為斜邊長為的等腰直角三角形，所以，又，所以梯形的面積．又因為在斜二測畫直觀圖時，直觀圖的面積與原圖的面積之比為，所以，所以．故選：．例10、如圖為正方體的平面展開圖．（1）作出該正方體的直觀圖；（2）在正方體中，求證：平面．【難度】★★★【答案】見解析【解析】解：（1）根據(jù)幾何體的平面展開圖，轉(zhuǎn)換為正方體的直觀圖為：如圖所示：（2）證明：由于，平面，平面，所以：平面．【鞏固訓練】1、正方體的直觀圖如圖所示，則其展開圖是（要求把可能的序號都填上）．【答案】（4）【解析】解：根據(jù)題意，可得：對于（1），展開圖中的上下兩邊的正方形的對邊中點連線應該呈左右方向顯現(xiàn)，故（1）的圖形不符合題意；對于（2），展開圖中最右邊的“日”字形正方形的對邊中點連線應該是上下方向呈現(xiàn)，且應該在含有圓形的正方形的左邊放置，故（2）的圖形不符合題意；對于（3），展開圖中最右邊的正方形應該與含有圓形的正方形相鄰，故（3）的圖形不符合題意；對于（4），沿如圖的紅線將正方體的側(cè)面剪裁，展開可得如（4）項圖的形狀，故（4）的圖形符合題意．故選：（4）．【實戰(zhàn)演練】一、填空題1、用符號語言表示“點在直線上，在平面外”為__________.【答案】.【解析】由題,則表示為,故答案為:2、已知表示不同的點,l表示直線,表示不同的平面,則下列推理錯誤的是______(填序號).①,,,;②,,,;③,.【答案】③【解析】解:①為判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù),故正確;②為判斷兩個平面相交的依據(jù),故正確;③中,,則,即為經(jīng)過點A的一條直線而不是點A,故錯誤.故答案為：③3、給出下列三個命題：①空間四點共面，則其中必有三點共線；②空間四點中有三點共線，則此四點必共面；③空間四點中任何三點不共線，則此四點不共面其中所有真命題的序號是_______.【答案】②【解析】平行四邊形的四個頂點，任意三個點都不共線，但平行四邊形仍是平面圖形，故①③錯誤；因為過一條直線與該直線外一點有且只有一個平面，所以空間四點中有三點共線，則此四點必共面；即②正確；故答案為②4、下列說法中正確的有______個.①空間中三條直線交于一點，則這三條直線共面；②一個平行四邊形確定一個平面；③若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等；④已知兩個不同的平面和，若，，且，則點在直線上.【答案】2【解析】反例：正方體的一個頂點處的3條棱，確定3個平面，所以①不正確；由于平行四邊形對邊平行，結(jié)合兩條平行線可以確定一個面，可得②正確；如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補，所以③不正確；，，且，則A在上，滿足平面的基本性質(zhì)，所以④正確，即正確的個數(shù)有2個，故答案為：2.已知等邊三角形ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為，則等邊三角形ABC的面積為_____________．【答案】.【解析】如圖所示，按照斜二測畫法的規(guī)則，把圖(1)中的等邊三角形ABC的平面直觀圖△A′B′C′還原為圖(2)中的等邊三角形ABC，設(shè)AB＝x，則B′C′＝x，等邊三角形ABC的高為x，所以△A′B′C′的高為，所以△A′B′C′的面積為，解得x＝1，所以△ABC的面積為.6、空間5點，其中有4點共面，它們沒有任何3點共線，這5個點最多可以確定___個平面.【答案】7【解析】空間中有五個點，其中有四個點在同一平面內(nèi)，但沒有任何三點共線，同一平面的四個點一定能兩兩連線，最多可連6條線，由三點確定一平面知任意一條線加上第五個點都會形成一個面，因此有6個面，再加上4點確定的面總共是7個面．故答案為：7二、選擇題7、在下列各種面中，不能被認為是平面的一部分的是（）A．黑板面 B．乒乓球桌面C．籃球的表面 D．平靜的水面【答案】C【解析】黑板面、乒乓球桌面、平靜的水面都可被認為是平面的一部分，籃球的表面是曲面，不能認為是平面的一部分，故選：C8、如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是（）A．A，B，C，D四點中必有三點共線 B．直線與相交C．A，B，C，D四點中不存在三點共線 D．直線與平行【答案】C【解析】因為空間四點A，B，C，D不共面，所以這四個點的位置如三棱錐的頂點和底面三角形的頂點，所以只有C選項正確，若A，B，C，D四點中有三點共線，則空間四點A，B，C，D共面，與題設(shè)矛盾，故A錯誤；若直線與相交，則空間四點A，B，C，D共面，故B不正確；若直線與平行，則空間四點A，B，C，D共面，故D不正確，故選：C.9、下列命題中正確的是（）A．三點確定一個平面B．垂直于同一直線的兩條直線平行C．若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則直線D．若是三條直線，且與都相交，則直線共面.【答案】D【解析】A.不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；B.由墻角模型，顯然B錯誤；C.根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不垂直，故C錯誤；D.因為，所以確定唯一一個平面，又與都相交，故直線共面，故D正確；故選：D.10、在正方體中，，，，分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中，，，四點共面的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】選項A，點，，確定一個平面，該平面與底面交于，而點不在直線上，故，，，不共面，選項A錯誤；選項B，連接底面對角線，則由中位線定理可知，，又易知，則，故，，，共面，選項B正確；選項C，顯然，，所確定的平面為正方體的底面，而點不在該平面內(nèi)